当前位置:首页 >> 数学 >>

一道数列最值题的思考


2 4  

数 学通 讯— — 2 O 1 2年 第 3期 ( 上 半月)  

? 辅教导学 ?  



道 数 列最 值 题 的 思 考 
张   俊  
( 江苏省兴化市第一中学 , 2 2 5 7 0 0 )  

问题  设 等差数 列 { a

  ) 的前 / , / 项和 为 S   , 若  S   ≥1 0 , S s ≤1 5 , 则a  的最 大值 为  .   本题 为 2 0 0 8 年高 考 四川卷第 1 6 题, 是 一道很 

由  

’、  

于是 a 4一一 ( 2 a 1 +3 d ) +3 ( 口 1 +2 d )  
≤ 一 5+ 3× 3= 4,  

有趣 的 问题 , 表 面上 看 是 一 个 以数 列 为载 体 的最  值 问题 , 但实质 却是一 个线 性 规划 问题 , 体 现 了命  题 手法 的新突破 , 具体解 法 如下 :  
解 法 一  设 等 差 数 列  { a   }的首 项 为 a   , 公 差 为 d,   由 S ‘ ≥ 1 O , S s ≤ 1 5得 
f 2 口 l +3   ≥ 5,  

当[
大值 4 .  

2 aa+

  +2 I 口 1

1  

1 时’ 口 . 取最 

‘  

解法 3 巧妙地 利用整体 思想将 a 。 用2 口   +3  ,   a 。 +2 d来线 性表 出 , 再结合 不等式性 质 获得 口 . 的  范围, 进而求 出 a  的最 大 值 . 为了找到用 2 口 。 +  3 d, 口   +2 d线性 表 出 a 。的系数 , 还 运 用 了待 定 系  数法 , 体现 了方 程思想 的魅力 .  
图 1  

I 口 1 +2 d≤ 3 ,   因 此 , 问 题 转 化 为 以 

{ l 2   . + 3 d  5 ’ 为 约 束 条 件 ,   a l +2 d≤ 3 … … … 一  
a  = a   +3 d为 目标 函数 的线 
性 规划 问题.  

口 t 的最 大值 4 正好是其下标 , 这 一看似 巧合 的  结果 诱发 我们 提 出如 下猜想 :   设等 差数 列 ( a   )的前 , z 项为 S   , 若S 。≥ 1 O ,   S   ≤ 1 5 , 则a  的最 大值 为 .   下 面我 们 考 虑 一个 更 一 般 的 问题 : 设 等 差 数 

列{ a   )的前 , z 项 和为 S . , 若S  ≥ p, S   ≤g , 求a   值为 4 .   。 的最 大值 , 其 中 m, , z ,  ∈ N  , 且 m< , l ≤2 k 一1 .   这 道试题 巧妙 地将线 性 规 划思 想应 用 于 数列  我们借 鉴原 问题 的第 三种方 法 来 处理 这 个 一  问题 , 新 颖 别致 , 耐 人 寻 味. 这 种 不 拘 泥 于 题 型约  般 性 问题. 设 等 差数列 { 口   } 的首 项 为 a 。 , 公差 为 d,   束 的命 题方 式着实 令人余 香 缭 绕 , 回味无 穷. 值 得  并引 入参数 ,  , 令 a  = 口  + ( 忌 一1 ) d= ; i S  +  我们 继续思 考 的是 , 直 接运 用 不 等式 的相 关 知识 ,  
=  

图1 中的阴影 部分 为可行域 , 易 得 目标 函数 口   =a   +3 d在 P( 1 , 1 ) 处取 得最 大值 , 即口 。 的最大 

能解 决本题 吗 ?  

[ 撇  +  

二  d ] +  [ 撒  +  

解法二   由{  


’ 得  

丛 

] , 因此有 
f 嗽 +  一 1 ,  
l m( m一 1 ) X+ n ( n一 1 )  一 2 ( 是一 1 ) ,  

I f 2 ( 口 4 — 3 d ) + 3 d ≥ 5 ,   f 2 a 4 — 5 ≥3 d , . 。   ( 口 4 — 3 d ) + 2 d ≤3 甄 1 口   一 3 ≤d ,一  ‘  
5≥ 3 ( 口 4 —3 ) , . ’ . a 4 ≤ 4 .  

解 得  一  m

 

— 



,   =  。  

L   ~   m J  .  

 ̄ : a 4 - 4 ,  ̄ j { 2 5   ≥ 3   ’ 或 {  兰 : . .  


 ̄ 4-






l , 进而 a  一 1 , 故a 。 一1 , d一 1 时, a t 取 最大值 

由 m <   ≤ 2 k - 1 知 (   妻   于 是 口 t —   s  
+ S  ≤ p+   , 故当S  : P, S  一 q , 即 a 1=  


4 .  

解法二 以 a  和 d为 主元 , 利 用 不等 式 的传 递  性得 到 a   ≤4 , 方法 简洁 , 易 于理解 , 不过要 注意 的 

1 7 , 1 . 1 " 1  , z— m  

d一  

m/ l  

一 m ,  

时, 口  

是需 要判 断 a  能 否取到最 大值 4 .  
解法 三  引人参 数 ,  , 令a  = 日 。 +3 d— 
( 2 a 1+ 3 d )+  ( 口 l +2 d ) ,  

取得最 大值 p+  .   特别 的 , 当 m一 4 , 7 , / =5 , 忌=  , P= 1 0 , 口=   l 5时 , 即得 口  的最 大值 为 / / - .   本 题这 种崭 新 的命 题 视角 还触 发 了 我们 命 制 

?

辅教 导学 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 2年 第 3期 ( 上 半月)  

2 5  

类 似试题 的灵 感 , 下 面 给 出笔 者 新 编 拟 的 几 道 试 
题 , 权作 抛砖 引玉 .   新题 l   设 等 差数 列 ( a   ) 的前 n 项为S   , 若a  

S t ≥ 1 0 , S s ≤ 1 5 , 求  的取 值范 围 ?  
a5

≥ 1 0 , a  ≤ 1 5 , 求S  的最大 值.   新题 2   设等 差 数列 { 口   ) 的前 项 为 S  , 若口   ≥ l O , S  ≤ 1 5 , 求a  的最 大值.   新题 3 设 等差 数列 { a   ) 的前 项 为 S   , 若口 t   ≥ 1 O , S   ≥ l 5 , 求 S  的最 小值 .   新题 4   设 等差 数 列 ( a   }的前  项 为 S   , 若 

道 好 的试 题 蕴 藏 着 巨大 的能 量 , 但 怎 样 激  活它, 使 它发 生裂 变 以释 放 最 大能 量 , 充 分 发 挥其 


应 有 的教育 价 值 , 是 我 每 位 教 师 责 无 旁 贷 的责 任  和 义务 . 发挥 高 考好 题 的裂变 效应 , 我们 在路 上.  
( 收稿 日期 : 2 0 1 1 —1 1 —1 2 )  

盘 点 三 角 问题 的 “ 构造 ” 策 略 
张得南  
( 甘 肃 省 永 昌 县 第一 高 级 中 学 , 7 3 7 2 0 0 )  

在求 解 一些 三 角 问题 时 , 若能避免繁、 难、 易 

错 的解 题 思路 与 方 法 , 而 用 转 化 后 的一 些 巧 妙 方  法 来快 速 有效 的解 决 问题 , 显 然 是 我 们 学 习 者 所  追 求 的理 想效 果 . 本 文 就 以三 角 问题 为 例 来 说 明  用构造法 解 三 角题 的方法 与 技巧 , 以 供 学 习 者  参 考.  


一一C O S   5 0 。 +÷.  
所以 2 M =2 一c o s   5 o 。 +c o s   5 o 。 一百 1一   ,  
厶 

0 

即M 一手,  
‘ ±  
o 



构 造 对 偶 式 

故s i n 。 3 5 。 +s i n 。 8 5 。 一s i n   3 5 。 s i n   8 5 。 一 ÷.  
画龙 点 睛  在 求解 或 证 明一 些 三角 问题 时 ,   如果 能灵 活运 用 对 偶 的 数 学 思 想 , 注 意 到 问 题 的  结 构 特征 , 巧妙 地构 建 出对 偶 式 , 并 对原 式 和对 偶  式进行 和、 差 或 积 的 运 算 ,问 题 就 可 以 巧 妙 地  解决.   二、 构 造几 何模 型  例3   化简 s i n 。 3 5 。 +s i n 。 8 5 。 一s i n   3 5 。 s i n   8 5 。 .   分析  如果 直 接利 用三 角 公 式 进 行 化 简 求  值, 有 一定 的 困难 ,   将 s i n 。 3 5 。+ s i n 。 8 5 。一 s i n   3 5 。 s i n   8 5 。化 为 
s i n 。 3 5 。 + s i n 。 8 5 。 一 2 s i n   3 5 。 s i n   8 5 。 C O S   6 O 。 。  

例 1   求值 : s i n   1 0 。 s i n   3 0 。 s i n   5 0 。 s i n   7 0 。 .   分 析  构造对 偶式 , 设 
M — s i n   1 0 。 s i n   3 0 。 s i n   5 0 。 s i n   7 0。 .  

N — C OS   1 0。 C O S   3 0 。 C OS   5 0 。 C O S   7 0 。 .  

则 

而 1 ?( 2 s i n l 0   c o s l 0  ̄ )?( 2 s i n 3 0  ̄ C O S 3 。 。 )?  
( 2 s i n 5 0 。 c o s 5 0 。 )?( 2 s i n 7 0 。 c o s 7 0 。 )  

去. S i n 2 0 。 ? s i n 6 0 。 . s i n 1  . S i n 1 4 0 。  
N ,  

所 以 M =  .  
上 U 

例 2   化简 s i n   3 5 。 +s i n 。 8 5 。 一s i n   3 5 。 s i n   8 5 。 .   分 析  构造 对偶 式 , 设 
M — s i n   3 5。 + s i n   85 。 一 s i n   3 5 0 s i n   85 。 ,  

构造 三角形 且 三个 内角为 A 一 3 5 。 , B= 6 O 。 ,   C一 8 5 。 ,联 想 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 可 得 :  
4 R  s i n   35 。 + 4 R  s i n0 8 5 。一 4 R0.2s i n   3 5 。 s i n   8 5 。.  
0 

C O S   6 0 。 : 4 R0 s i n   6 0 。 =4 R  . ; .  
4  

N — C O S 。 3 5 。 + C O S   8 5 。 一 C O S   3 5 。 C O S   8 5 。 ,  

则 N + M 一 2一 C O S   5 0 。 ,  
N — M — C OS   7 0 。+ C OS   1 7 0 。一 C os   1 2 0 。  
1  

即s i n 。 3 5 。 +s i n   8 5 。 一s i n   3 5 。 s i n   8 5 。 一 导  4 
、  

一c o s ( 1 2 0 。 一5 0 。 ) +c o s ( 1 2 0 。 +5 0 。 ) +去 

画龙 点睛  通 过构 造与 已知 条件 密切联 系 的  特殊 三角 形模 型 , 数 形结 合 , 可 以获 得解 决 问题 的 


相关文章:
数列中常见的最值问题
1、知道数列中求最值问题的常见类型,理解函数单调性与数列单调性的关系,掌握用...数列中常见的最值问题的方法 —— 思考练习: 思考练习: 练习 数列{an}的通...
一道学生的错解引发的思考
1/2 相关文档推荐 一道中考数学应用题学生错... 暂无评价 12页 3.00元 因...等差数列的内容,探究等差数列的最值问题时,一位学 生的解答引发了笔者的思考。...
数列最值的类比教案
数列的最值问题华东模范中学 翁自慧 教学目标: 教学目标:1、能利用数列单调性、...部分同学局限于就题解题,对所运用的知识缺少深刻 的理性的思考,缺少前后知识的...
从不同角度思考一道高考数列题
从不同角度思考一道高考数列题_数学_高中教育_教育专区。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 从不同角度思考一道高考数列题 作者:侯宇虹 崔文 来源:《高中...
一道求最值问题的思考
一道最值问题的思考兴义九中 陈鹤 2010 年 3 月 14 日, 我在贵阳医学院听了童嘉森老师关于下列题目的解法并 给予听者留下“谁有新解法”的余味,经过思考...
运用函数性质解决数列的最值问题
运用函数性质解决数列的最值问题_专业资料。运用函数性质解决数列的最值问题一、...思考 6:结合所给题目,你是否可以提出一个一般化的问题,并进行研究? 例 2、...
数列中的最值问题
an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S3≤3,S4≥4,S5≤10,则 a6 的最大值是 二、典型例题1.(1)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .①若 S4...
数列求最值
教学重点: 教学重点: 1、 2、 研究数列最值问题的三种基本思路的理解和应用;...3 3 2 二、思考与巩固练习: 1、已知数列 {a n } 的通项 a n = n ?...
数列最值问题与单调性
数列的最值问题及单调数列问题例 1、已知一个正项等差数列前 20 项的和为 100,那么 a 7 a14 最大值为 A.25 B.50 C.100 D.不存在 () 解:依题意, ...
数列最值得做的12类题
数列最值得做的 12 类题题型一:递推问题 3+an . 2 (1)试求 a1 的值,使得数列{an}是一个常数数列; (2)试求 a1 的取值范围,使得 an+1>an 对任何自...
更多相关标签:
二年级数学思考题60道 | 高考数列大题20道 | 洞道干燥实验思考题 | 数列累加法例题20道 | 牛津剑桥的37道思考题 | 牛津剑桥的59道思考题 | 街道落实党规党纪思考 | 热门赛道冷思考 |