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2013年大连市高三第一次模拟考试-数学文答案


2013 年大连市高三一模测试

数学(文科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的 程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得

分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不 再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1.A;2.D;3. A;4. B;5.B;6. D;7.C;8. C;9. A;10.C;11.B;12. A. 二.填空题 13. ?

1 ; 14. 4

5 ;15. 3? ;16. (Ⅱ)(Ⅲ) , . 2

三. 解答题 17.解: (Ⅰ)∵ an?1 +an ? n?1 ? an ? 0 ,∴ a ∴

an?1 ? an ?an?1 ? an ?0, an ?an?1

?1? 1 ? 1 ,∴数列 ? ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.4 分 a1 ? an ? 1 1 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n , an ? . ··················· 6 分 n an

1 1 ? ? 1,3 分 an ?1 an

(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)知

2n =n?2n . an

··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· Sn =1? 21 +2 ? 22 +?+n ? 2n . ························① ··········· ·········· · ·········· ··········· · 2Sn =1? 22 +2 ? 23 +?+n ? 2n+1 . ······················ ② ··········· ··········· ·········· ········ 9 分 ··········· ·········· ··········· ········ ·········· ··········· ··········· ········ 由① ? ②得 ?Sn =2 +2 +?+2 ? n ? 2
1 2 n n?1



∴ Sn =(n ?1)2n?1 ? 2 . ··························· 分 ·························· 12 ·········· ··········· ····· 法二:令 bn ? n? ? cn?1 ? cn ,令 cn ? ( An ? B)? n , 2 2
2

∴ bn ? cn?1 ? cn ? ( An ? A ? B)? 2

n?1

? ( An ? B)? n ? n? n . 2 2

∴ A ? 1,B ? ?2 . ·····························9 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· ∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? c2 ? c1 ? c3 ? c2 ? ? ? cn?1 ? cn ? cn?1 ? c1 ··········· ···· ·········· ···· ? (n ? 1 ? 2)? n ? (1 ? 2)? n ?1)2n?1 ? 2 .···············12 分 2 2=(
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18.解: (Ⅰ) 2 ? 2 列联表如下 甲工艺 一等品 非一等品 合计 50 50 100

乙工艺 60 40 100

合计 110 90 200 ··········· ·· 分 ··········· ·· ·········· ·· 3

200? (50 ? 40 ? 60 ? 50) 2 ? ? ? 2.02 ? 3.841, ················· 6 分 ··········· ······ ·········· ······· 100? 100? 110? 90
2

所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出来一等品有关. ············ 8 分 ··········· · ·········· ·· (Ⅱ)甲工艺抽取的 100 件产品中,一等品有 50 件,二等品有 30 件,三等品有 20 件, 所以这 100 件产品单件利润的平均数为

10 分

1 (50 ? 30 ? 30 ? 20 ? 20 ? 15) ? 24 . ················· 12 分 100
19.解: (Ⅰ)解: (Ⅰ)如图,连结 A1B 与 AB1 交于 E,连结 DE,则 E 为 A1B 的中点, ∴ 1∥ BC DE, DE ? 平面 AB1D , BC1 ? 平面 AB1D , ∴BC1 ∥平面 AB1D . ·······························6 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· (Ⅱ)过点 D 作 DH ? A B1 ,∵正三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,∴AA ? 平面A B1C1 , 1 1 1

AA1 ? DH , AA1 ? A1B1 ? A1 ,∴DH ? 平面 ABB1 A1 . DH 为三棱锥 D ? ABB1 的高 8 分
1 1 S ?ABB1 ? ?AB ?BB1 ? 2 MH ? A1 B1 ? 2 ,················ 10 分 ··········· ····· ·········· ······ 2 2

DH ? A1D tan

?
3

?

1 3 6 3 .∵ VB ? AB1D ? VD ? ABB1 ? ? .······12 分 ······ ····· ? 2? 3 2 6 2

20.解: (Ⅰ)设以 PF1 为直径的圆经过椭圆 M 短轴端点 N , ∴ |NF1| ? a ,∵ e ?

1 ? ,∴ a ? 2c ,∴ ?NF1 P ? , |F P| ? 2a .3 分 1 2 3

∴ F2 (c,0) 是以 PF1 为直径的圆的圆心,∵该圆和直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切, ∴ 2c ?

c?3 1 ? ( 3) 2

,∴ c ? 1, a ? 2, b ? 3 ,∴椭圆 M 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. · 分 5 4 3

(Ⅱ)法一:

? x2 y 2 ? 1, ? ? 设点 A( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,则点 B( x1 , ? y1 ) ,设直线 PA 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,联立方程组 ? 4 3 ? y ? k ( x ? 3). ?
化简整理得 (4k ? 3) x ? 24k x ? 36k ?12 ? 0 ,由 ? ? (24k 2 )2 ? 4 ? (3 ? 4k 2 ) ? (36k 2 ? 12) ? 0 得 k 2 ?
2 2 2 2

3 . 5

则 x1 ? x2 ?

24k 2 36k 2 ? 12 , x1 x2 ? . ··························8 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

直线 BC 的方程为: y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) , x2 ? x1
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72k 2 ? 24 72k 2 ? 2 2 y x ? y2 x1 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) 4 令 y ? 0 ,则 x ? 1 2 ? = 4k ? 3 2 4 k ? 3 = 24k y1 ? y2 x1 ? x2 ? 6 3 ?6 2 4k ? 3 4 ∴ Q 点坐标为 ( , 0) . ·································12 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· 3
法二: 设点 A( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,则点 B( x1 , ? y1 ) ,

? x ? my ? 3, ? 设直线方程为 x ? my ? 3 .由 ? x 2 y 2 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 18my ? 15 ? 0 , ? ? 1. ? 3 ?4

18m ? ? y1 ? y2 ? ? 3m 2 ? 4 , ? 5 由 ? ? (18m)2 ? 4 ?15 ? (3m2 ? 4) ? 0 得 m2 ? . ? ········ 分 ······· 8 ······· 3 ? y ?y ? 15 . ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
直线 BC 的方程为: y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) , x2 ? x1

15 2m? 2 y1 (my2 ? 3) ? y2 (my1 ? 3) 2my1 y2 3m ? 4 = 4 . 令 y ? 0 ,则 x ? ? 3? =3+ 18m y1 ? y2 y1 ? y2 3 ? 2 3m ? 4 4 ∴ Q 点坐标为 ( , 0) . ·································12 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· 3
21. 解: (Ⅰ) m ? 2 时, f ( x) ? 2 x2 ? 2e x , f ?( x) ? 4 x ? 2e x ? 2(2 x ? e x ) . 令 g ( x) ? 2 x ? e x , g ?( x) ? 2 ? e x , ··························· 2 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ 当 x ? (??,ln 2) 时, g ?( x) ? 0 , x ? (ln 2, ??) 时, g ?( x) ? 0 ∴ g ( x) ≤ g (ln 2) ? 2ln 2 ? 2 ? 0 . ∴ f ?( x) ? 0 .∴ f ( x) 在 (??, ??) 上是单调递减函数. ··········· 4 分 (Ⅱ)①若 f ( x) 有两个极值点 a, b(a ? b) ,则 a , b 是方程 f ?( x) ? 2mx ? 2e x ? 0 的两不等实根. 解法一:∵ x ? 0 显然不是方程的根,∴ m ? 令 h( x) ?

ex 有两不等实根. ··········· 6 分 ··········· ·········· · x

ex e x ( x ? 1) ,则 h?( x ) ? 当 x ? (??,0) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, h( x) ? (??,0) x x2

x ? ( 0 , 1 ) h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增, 时,

ex 有两不等实根,应满足 m ? h(1) ? e ,∴ m 的取值范围是 (e, ??) . x (注意:直接得 h( x) 在 (??,1) 上单调递减, (1, ??) 上单调递增) ···········12 分 . ··········· ··········
要使 m ? 解法二: h( x) ? f ?( x) ? 2mx ? 2e x ,则 a , b 是方程 h( x) ? 0 的两不等实根.
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∵ h?( x) ? 2(m ? e x ) , 当 m ≤ 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (??, ??) 上单调递减, h( x) ? 0 不可能有两不等实根 当 m ? 0 时,由 h?( x) ? 0 得 x ? ln m ,当 x ? (??,ln m) 时, h?( x) ? 0 , x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 ∴当 hmax ( x) ? h(ln m) ? 2(m ln m ? m) ? 0 ,即 m ? e 时, h( x) ? 0 有两不等实根 ∴ m 的取值范围是 (e, ??) .························ 8 分 22.解: (Ⅰ)证明? ? ? BD,??ABC ? ?BCD . ················· 2 分 ··········· ······ ·········· ······· AC ? 又? EC 为圆的切线,??ACE ? ?ABC, ? ?ACE ? ?BCD . ·········· 分 ········· 5 ········· (Ⅱ)? EC 为圆的切线,∴ ?CDB ? ?BCE , 由(Ⅰ)可得 ?BCD ? ?ABC ···························· 7 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ·······

CD BC ? ,∴ BC =3. ················ 10 分 ··········· ····· ·········· ······ BC EB 2 2 23.解:(Ⅰ)曲线 C1 的一般方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,
∴△ BEC ∽△ CBD ,∴ 曲线 C 2 的一般方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 . ······················ 分 ··········· ·········· 2 ·········· ···········
2 2

两圆的公共弦所在直线为 y ? x ,

(2,0) 到该直线距离为 2 ,所以公共弦长为 2 2 2 ? 2 ? 2 2 .········ 5 分 ········ ········
(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? .························7 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 设 M ( ? ,? ) ,则 P(2 ? , ? ) ,两点分别代入 C1 和 C 2 解得 ? ?

2

4 5 , 5

? 不妨取锐角 arcsin

5 , 5

所以 P(

8 5 5 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ , arcsin ) . ····························· 10 分 5 5

1 ? ? 3 x ? 6( x ? 2 ), ? 24.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? ?? x ? 4( x ? 1 ). ? ? 2 ∴ f ( x) ? 0 的解为 x x ? 2或x ? ?4 . ·················· 5 分

?

?

(Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得, 2x ?1 ? ? ax ? 5 . ················· 7 分 令 y ? 2 x ? 1 , y ? ?ax ? 5 ,作出它们的图象,可以知道,当 ? 2 ? a ? 2 时, 这两个函数的图象有两个不同的交点, 所以,函数 y ? f (x) 有两个不同的零点. ················· 10 分

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