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高中数学联赛 冬令营 CMO真题2003年


2003 年全国高中数学联赛试题 第一试
、 、 、 一、选择题 (本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结 论, 其中有且仅有一个是正确的, 请将正确答案的代表字母填在题后 的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一 个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。) 1. 删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到

一个新数列 这 个 数 列 的 第 2003 项 是 【答】 ( ) (A)2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2. 设 a, b ∈ R, ab ≠ 0, 那么直线 ax ? y + b = 0 和曲线 bx 2 + ay 2 = ab 的图 形是【答】 ( y y y ) y

x x x (A) (B) (C) (D) 2 ° 3. 过抛物线 y = 8 ( x + 2 ) 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线. 若此直线与抛 物线交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等 于 【答】 ( ) (A)

x

16 3

(B)

8 3

(C)

16 3 3

(D) 8 3

4 若 x ∈ ?? 的最大值是 (A)

2π ? 5π π ? ? , ? ? , 则 y = tan ? x + 3 ? 12 3 ? ? 11 2 6 12 7

π? π? ? ? ? ? ? tan ? x + ? + cos ? x + ? 6? 6? ? ? ?
【答】 ( )

12 2 5

(B)

(C)

(D)

12 5

5. 已知 x, y 在区间 ( ?2, 2 ) 内,且 xy = ?1, 则函数 u = 最小值是 (A)

4 9 + 的 2 4 ? x 9 ? y2
【答】 ( )

8 5

(B)

24 11
-1-

(C)

12 7

(D)

12 5

6. 在四面体 ABCD 中设 AB = 1, CD = 夹 角 为 ) (B)

3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,
ABCD 的 体 积 等 于

π
3











【答】 ( (A)

3 2

1 2

(C)

1 3

(D)

3 3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将 填空题 答案写在横线上。 7.不等式 x ? 2 x ? 4 x + 3 < 0 的解集是______________
3 2

8 . 设 F1 , F2 是 椭 圆

x2 y 2 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 9 4

PF1 : PF2 = 2 :1 ,则 ?PF1 F2 的面积等于_____________.
9. 已知

A = x x 2 ? 4 x + 3 < 0, x ∈ R ,

{

}

B = x 21? x + a ≤ 0, x 2 ? 2 ( a + 7 ) x + 5 ≤ 0, x ∈ R . 若 A ? B ,则实数 a 的
取值范围是_____________. 10. 已知 a, b, c, d 均为正整数,且 log a b =

{

}

b ? d = ____________.

3 5 , log c d = , 若 a ? c = 9 ,则 2 4

11. 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内, 并使得每个球和其相 邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 ________. 12 . 设
_____________ ? ? M n = ?( 十进制 ) n位纯小数0. a1a2 ??? an ai只取0或1 i = 1, 2, ???, n ? 1), an = 1? , ( ? ?

Tn 是 M n 中元素的个数,Sn 是 M n 中所有元素的和, lim 则
n →∞

Sn = ________ Tn

-2-

三、解答题 (本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 设

3 ≤ x ≤ 5, 证明不等式 2

2 x + 1 + 2 x ? 3 + 15 ? 3 x < 2 19.

14.设 A,B,C 分别是复数 Z 0 = ai, Z1 =

1 + bi, Z 2 = 1 + ci (其中 a, b, c 都是 2
证 明 : 曲 线

实 数 ) 对 应 的 不 共 线 的 三 点 .

Z = Z 0 cos 4 t + 2 Z1 cos 2 t sin 2 t + Z 2 sin 4 t (t ∈ R ) 与 ?ABC 中平行于 AC
的中位线只有一个公共点,并求出此点.

-3-

15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A, 且 OA=a, 折叠纸片, 使圆周上某一点 A 刚好与 A 点重合. 这样的每一种折法,都留下一条直线 折痕. 当 A 取遍圆周上所有的点时,求所有折痕所在直线上点的集合.
' '

-4-

2003 年全国高中数学联赛加试试题 第二试 (本题满分 一、 本题满分 50 分) ( 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线,切点为 A, B. 所作割线交圆于 C, D 两点,C 在 P, D 之间. 在弦 CD 上取一点 Q, 使 ∠DAQ = ∠PBC. 求 证: ∠DBQ = ∠PAC.

(本题满分 二、 本题满分 50 分) ( 设 三 角 形 的 三 边 长 分 别 是 整 数 l , m, n, 且 l > m > n. 已 知

? 3l ? ? 3m ? ? 3n ? ? 4 ? = ? 4 ? = ? 4 ? , 其中 { x} = x ? [ x ] , 而 [ x ] 表示不超过 x 的最大整 ?10 ? ?10 ? ?10 ?
数. 求这种三角形周长的最小值.

(本题满分 三、 本题满分 50 分) ( 由 n 个点和这些点之间的 l 条连线段组成一个空间四边形,其中

n = q 2 + q + 1, l ≥

1 2 q ( q + 1) + 1, q ≥ 2, q ∈ N . 已知此图中任四点不共面, 2

每点至少有一条连线段,存在一点至少有 q + 2 条连线段. 证明:图中必存 在一个空间四边形 (即由四点 A,B,C,D 和四条连线段 AB,BC,CD,DA 组成的 图形)

-5-

2003 年全国高中数学联赛第一试参考答案
一、选择题 1 C 提示: 1. 注意到 45 = 2025 , 46 = 2116 ,故 a 2003 = 2003 + 45 = 2048 ;
2 2

2 B

3 A

4 C

5 D

6 B

2. 题设方程可化为 y = ax + b 和 3. 易知直线 AB 的方程为 y =

x2 y2 + = 1 ,观察图形可知; a b

3 x ,因此 A,B 两点的横坐标满足方程

3 x 2 ? 8 x ? 16 = 0 , 从 而 弦 AB 中 点 的 横 坐 标 为 x0 =

4 ,纵坐标 3 16 ; 3

y0 =

4 3

,进而求得中垂线方程之后, y=0, 令 得点 P 的横坐标即 PF=

4. 原函数可化为 y =

π? ? + cos? x + ? ,可以证明函数在已知 4π ? 6? ? ? sin ? 2 x + ? 3 ? ?
2

的区间上为增函数,故当 x = ? 5. 消去 y 之后可得: u = 1 +

π
3

时,y 取最大值

11 3; 6

35 4 ? ? 37 ? ? 9 x 2 + 2 ? x ? ?

,用基本不等式可求得函数

u 的最小值

12 ; 5

6. 可用等积法求得,过程略。 二、填空题 7.

? 5 ?1? ? 5 ?1 ? ? ? 3,? ?U? ,3 ? . 提 示 : ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?

原 不 等 式 可 以 化

为: (| x | ?3) x 2 + | x | ?1 < 0
-6-

(

)

8.

4

?PF1 F2 是 直 角 三 角 形 , 故 ?PF1 F2 的 面 积 为

S=

1 1 | PF1 | ? | PF2 |= × 2 × 4 = 4 ; 2 2

9. ? 4 ≤ a ≤ ?1 提示: A = (1 , 3) ,令 f ( x ) = 2
1? x

+ a , g ( x ) = x 2 ? 2(a + 7 )x + 5 ,则只

? f (1) ≤ 0 ? f (3) ≤ 0 ? 需 f ( x ), g ( x ) 在 (1, 上的图象均在 x 轴的下方, 3) 其充要条件是 ? , ? g (1) ≤ 0 ? g (3) ≤ 0 ? 由此推出 ? 4 ≤ a ≤ ?1 ;
10.93

?b? ?d ? 提示: 由已知得 a = b , c = d , a = ? ? , c = ? ? ,又 ?a? ?c?
2 4

3 2

5 4

2

4

? b d 2 ?? b d 2 ? ?b? ?d ? a ? c = 9 , 故 ? ? ? ? ? = ? + 2 ?? ? 2 ? = 9 , 推 得 ? a c ?? a c ? ?a? ? c ? ? ?? ?

?b d 2 ? + 2 = 9 a = 25 , c = 16 ?a c , ; ? 2 ? b ? d = 1 b = 125, d = 32 ?a c2 ?
11. 4 8 + 2 提示:如图,上下层的四个球的球心 A1,B1,C1,D1,A,B,C,D 分 别是上下两个边长为 2 的正方形的顶点,且以它们的外接圆为上 下底面构成圆柱,同时 A1 在底面上的射影 M 为弧 AB 的中点。由 于 A1A=A1B=AB=2, OM = OA =

2 , MN = 2 ? 1 ,求得
4

A1 M =
12

( A1 N )2 ? (MN )2


= 4 8 ,故所求的高为

8 + 2 ;
提 示 :

1 18
-7-

Tn = 2 n ?1 , S n =

1 n?1 ? 1 1 1 ? 1 ? 2 ? + 2 + L + n?1 ? + 2 n ?1 ? n 2 10 ? 10 ? 10 10

三、解答题 13









(a + b + c + d ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2(ab + bc + cd + da + ac + bd ) 可


a + b + c + d ≤ 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 , 当且仅当 a=b=c=d 时取等号
5分 则



2 x + 1 + 2 x ? 3 + 15 ? 3x ≤ 2
= 2 x + 14 ≤ 2 19
因为 x + 1 ,

(x + 1) + (x + 1) + (2 x ? 3) + (15 ? 3x )

……………………………………………15 分

2x ? 3 ,

15 ? 3 x 不能同时相等,所以
……………………………20 分

2 x + 1 + 2 x ? 3 + 15 ? 3 x < 2 19
14.设 z = x + yi

(x, y ∈ R ) ,则代入并由复数相等可得
(0 ≤ x ≤ 1)


? x = sin 2 t ? ? ? y = a (1 ? x )2 + 2b(1 ? x )x + cx 2 ?

y = (a + c ? 2b )x 2 + 2(b ? a )x + a 因 为 A,B,C 不 共 线
a + c ? 2b ≠ 0 ,可见所给曲线是抛物线段(图略)…5 分
AB,BC 的中点分别是 D? ?

, 所 以

? 1 a+b? ?3 b+c? ? , E? , , ? ,;所以 DE 的方程为 ? 2 ? 2 ? ?4 ?4
…………………………10 分
2

y = (c ? a )x +

1 (3a + 2b ? c ) 4

1? ? 联 立 两 式 得 (a + c ? 2b )? x ? ? = 0 , 得 2? ?

x=

1 ,注意到 2

-8-

1 1 3 < < ,所以抛物线与 ?ABC 中平行于 AC 的中位线 DE 有且只有一个 4 2 4
公 共 点 , 此 点 的 坐 标 为 ? ,

? 1 a + c + 2b ? ? , 相 应 的 复 数 为 4 ?2 ?

z=

1 a + c + 2b + i 2 4

…………………………………………………15 分

15.如图建立直角坐标系,设 A1 (R cos α , R sin α ) ,MN 为 AA1 的中垂线, 设 P(x,y)是 MN 上任一点,则|PA|=|PA1| ……5 分 代入推得 2 R ( x cos α + y sin α ) = R 2 ? a 2 + 2ax 可得 sin (θ + α ) = ………10 分

R 2 ? a 2 + 2ax 2R x + y
2 2

, 其中 sin θ =

x x + y2
2

,

cosθ =

y x2 + y2
2

.

所以

R 2 ? a 2 + 2ax 2R x 2 + y 2

≤ 1 …………15 分

平方后可化为

a? ? ?x ? ? y2 2? ? + ≥1 2 2 2 ?R? ?R? ?a? ? ? ? ? ?? ? ?2? ? 2 ? ?2? a? ? ?x ? ? y2 2? ? 所求点的集合为椭圆 + ≥1 外(含边界)部 2 2 2 ?R? ?R? ?a? ? ? ? ? ?? ? ?2? ? 2 ? ?2?
分。…………20 分
2

-9-


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