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2014届数学高三数学一轮模拟


2014 届数学高三(新课标)一轮复习方案精编试题六
考查范围:集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 【湖北省黄冈市 2013 届高三年级 3 月份质量检测数学理】如图 2 所示的韦恩图中,A、B 是两非

零集合,定义集合 A ? B 为阴影部分表示的集合,若

x, y ? R, A ? {x | y ? ln(2 x ? x 2 )}, B ? { y | y ? e x , x ? 0} ,则 A ? B 为
A. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1或x ? 2} B. {x | x ? 1或x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 1或x ? 2}

【答案】D 【解析】 A ? ? x | 0 ? x ? 2? , B ? ? y | y ? 1? ,故阴影部分表示的集合为

C A? B ? A ? B ? ? ? x | 0 ? x ? 1或x ? 2? ,即 A ? B ? ? x | 0 ? x ? 1或x ? 2? .故选 D.
2. ( 宁 夏 银 川 一 中 2012 届 高 三 年 级 第 三 次 月 考 数 学 理 ) 若 sin ? ? cos ? ?

2 ,则

?? ? t a n? ? ? ? 的值是( 3? ?
A. 2 ? 3 【答案】B 【解析】由 ?

) B. ?2 ? 3 C.

2? 3

D. ?2 ? 3

?sin ? ? cos ? ? 2, ?
2 2 ?sin ? ? cos ? ? 1, ?

? 解得 sin? ? cos ?

2 sin? ,所以 tan? ? ? 1.所以 2 cos?

?? ? tan? ? ? ? = 3? ?
3 ? 1 ? 3 ? ?2 ? 3 . ? 1 ? 1? 3 1 ? tan ? tan 3 tan ? ? tan

?

3. [2013?四川卷] 函数 y=

x 的图像大致是( x 3 -1

3

)

图 1-5 【答案】C [解析] 函数的定义域是{x∈R|x≠0},排除选项 A;当 x<0 时,x <0,3
3 x

-1<0,故 y>0,排除选项 B;当 x→+∞时,y>0 且 y→0,故为选项 C 中的图像. 4.(理) 【2012 高考真题浙江理 3】设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线

l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的(
A.充分不必要条件 件 【答案】A

) C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条

B.必要不充分条件

【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行,所以条件具

a 2 有充分性;若直线 l1 与直线 l2 平行,则有: = ,解之得:a=1 或 a=-2,经检验, 1 a+1
均符合,所以条件不具有必要性.故条件是结论的充分不必要条件. (文) 【2012 高考真题浙江文 4】设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线

l2:x+2y+4=0 平行”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】C

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】若 a=1,则直线 l1:ax+2y-1=0 与 l2:x+2y+4=0 平行;若直线 l1:ax+2y -1=0 与 l2:x+2y+4=0 平行,则 2a-2=0 即 a=1.所以“a=1”是“l1:ax+2y-1=0 与 l2:x+2y+4=0 平行”的充要条件. 5. [2013?安徽卷] 在下列命题中,不是公理的是( .. A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 )

【答案】A 【解析】 选项 B、C、D 中的都是公理,都是平面的三个基本性质.

4 6. [2013?全国卷] 已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于 3 ( ) A.-6(1-3 C.3(1-3
-10

1 10 ) B. (1-3 ) 9
-10

-10

) D.3(1+3

)

an+1 1 【答案】C 【解析】 由 3an+1+an=0,得 an≠0(否则 a2=0)且 =- ,所以数列{an} an 3

? 1 10? 4??1-?- ? ? ? 3? 1 ? ? ? ? ? 1 10? 是公比为- 的等比数列, 代入 a2 可得 a1=4, S10= 故 =3??1-? ? ?=3(1 ? ? 3 1 ? ?3? ? 1+ 3
-3
-10

).
2 2 2 2

7.【2012 高考山东文 9】圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为( A.内切 【答案】B 【解析】因为两圆的圆心距为 ? 以两圆相交. 2+2?
2



B.相交

C.外切

D.相离

+?

1-0?

2

= 17,又因为 3-2< 17<3+2,所

8.(昆明第一中学 2012 届高三第一次摸底测试数学理)已知 a ? ? m,1? , b ? ?1, n ? 1? (其中

?

?

b m, n 为正数),若 a ? ? 0 ,则
A.2 【答案】C

1 1 ? 的最小值是( m n
C. 4

) D.8

B. 2 2

【 解 析 】 因 为 a ? ? 0 , 所 以 m ?1 ? 1? ? n ? 1 ? 0, 即 m ? n ? 1 . 又 m, n 为 正 数 , 所 以 b ?

1 1 ? 1 1? ? ? ? ? ? ? m ? n? m n ?m n?

? 2?

n m n m n m 1 1 1 ? ? 2?2 ? ? 4 ,当且仅当 ? ,即 m ? n ? 时等号成立.故 ? 的 m n m n m n 2 m n

最小值是 4. 9. [2013?新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( )

A.16+8π C.16+16π

B.8+8π D.8+16π

【答案】A【解析】由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱,上半部分是一个长 1 2 方体,故体积为 V=2?2?4+ ?π ?2 ?4=16+8π . 2 10.【2012 高考真题新课标理 8 文 10】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛 物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 【答案】C B.2 2 C.4 D.8
2



x2 y2 2 【解析】由题意可设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0).易知抛物线 y =16x 的准线方程为 x= a a

?x2-y2=1, ? -4,联立?a a ? ?x=-4,
2 2

2

2

得 16-y =a (*),因为|AB|=4 3,所以 y=±2 3.代入(*)

2

2

式,得 16-(±2 3) =a ,解得 a=2(a>0).所以 C 的实轴长为 2a=4,故选 C. 11. [2013?天津卷] 函数 f(x)=2 |log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 【 答 案 】 B
x x

)

【 解 析 】 f(x) = 2 |log0.5

x

?2 log0.5 x-1,0<x≤1, ? x| - 1 = ? x = ? ?-2 log 0.5 x-1,x>1

x

?-2 log2 x-1,0<x≤1, ? ? x ? ?2 log2 x-1,x>1.

∵f(x)=-2 log2x-1 在(0,1]上递减且 x 接近于 0 时,f(x)接近于正无穷大,f(1)= -1<0,∴f(x)在(0,1]上有一零点;又∵f(x)=2 log2x-1 在(1,+∞)上递增,且 f(2) =2 ?log2 2-1=3>0,∴f(x)在(1,+∞)上有一零点.故 f(x)共有 2 个零点.
2 x

x

12. (河南省郑州市 2012 届高三第一次质量预测数学理) 如图, 过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ?
2

的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若 BC ? 2BF 则此抛物线方程为( A. y ? 9 x
2 2

,且 AF ? 3 ,

) C. y ? 3 x
2

B. y ? 6 x

D. y ? 3x
2

【答案】C 【解析】作 BD ? 准线交准线于点 D ,由抛物线的定义得 BD ? BF .故由 BC ? 2 BF , 得 BC ? 2 BD , 所 以 ?BCD ? 30? . 故 直 线 l 的 倾 斜 角 为 60? . 所 以 直 线 l 的 方 程 为

? p? ? p? ?y ? 3 ? x ? ?, ? 2 ? 消 去 y 得 12 x 2 ? 20 px ? 3 p 2 ? 0 , 解 得 y ? 3? x? ? . 联 立 ? ? 2? ? ? y 2 ? 2 px, ?

xA ?

3p ? p ? 3p p ? ? ? ? ? 2 p ? 3 .所以此抛物线的方 , xB ? .故由抛物线的定义得 AF ? 2 ? 2? 2 6
2

程为 y ? 3 x .

第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卷相应位置上. x y 13[2013?福建卷] 椭圆 Γ : 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c. a b 若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等 于__________.
2 2

【答案】 3-1 [解析] 如图, △MF1F2 中, ∵∠MF1F2=60°, ∴∠MF2F1=30°, 1MF2 ∠F c =90°,又|F1F2|=2c,∴|MF1|=c,|MF2|= 3c,∴2a=|MF1|+|MF2|=c+ 3c,得 e= = a 2 3+1 = 3-1.

→ → → 14.[2013?四川卷] 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λ AO,则 λ =________. → → → → 【答案】2 【解析】根据向量运算法则,AB+AD=AC=2AO,故 λ =2. 15.【2012 高考真题辽宁理 16】已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求 面上,若 PA,

PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________。
【答案】

3 3

【解析】因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥看 作为一个正方体的一部分, (如图所示) 此正方体内接于球, , 正方体的体对角线为球的直径, 球心为正方体对角线的中点。球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ? ABC 在面

ABC 上的
高。已知球的半径为 3 ,所以正方体的棱长为 2,可求得正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的

高为

2 3 2 3 3 ,所以球心到截面 ABC 的距离为 3 ? ? 3 3 3

16. (宁夏银川一中 2012 届高三年级第三次月考数学理)给出下列四个命题: ①已知 a , b , m 都是正数,且

a?m a ? ,则 a ? b ; b?m b

②若函数 f ( x) ? lg(ax ? 1) 的定义域是 {x | x ? 1} ,则 a ? ?1 ; ③已知 x∈(0,π ) ,则 y ? sin x ?

2 的最小值为 2 2 ; sin x
a c ? 的 x y

④已知 a、b、c 成等比数列,a、x、b 成等差数列,b、y、c 也成等差数列,则 值等于 2. 其中正确命题的序号是________. 【答案】①④ 【解析】对于①,由

m ?b ? a ? a?m a ? 0 ,又 a , b , m 都是正数,所以 b ? a ? 0 , ? ,得 b?m b ?b ? m? b

即 a ? b . 故 ① 正 确 ; 对 于 ② , 令 a ? ?2 , 此 时 函 数 f ( x) ? lg(?2 x ? 1) 的 定 义 域 是

? ?x | x ? ?

1? 2 ? ,不是 {x | x ? 1} ,故②错误;对于③,设 sin x ? t ? ? 0,1? ,则 y ? t ? ,因为 2? t

y?t?

2 2 在 区 间 ? 0,1? 上 单 调 递 减 , 所 以 y ? t ? 的 最 小 值 是 f ?1? ? 3 , 即 t t 2 b2 的最小值为 3, 故③错误; 对于④, 由题意, ? ac, 2 x ? a ? b, 2 y ? b ? c , sin x


y ?s i n ? x


a c a c 2a 2c ? ? ? ? ? ? x y a?b b?c a?b b?c 2 2 4a ? ? ? 2 .故④正确. a ? ? 2? 2 ? ?

4a ? ?a ?

??

? ?

?

?

c 2 b

?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.(本小题满分 10 分) 1 [2013?陕西卷] 已知向量 a=cos x,- ,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x) 2 =a?b. (1)求 f(x)的最小正周期;

? π? (2)求 f(x)在?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?
1 【解】f(x)=cos x,- ?( 3sin x,cos 2x) 2 1 = 3cos xsin x- cos 2x 2 = 3 1 sin 2x- cos 2x 2 2 π π sin 2x-sin cos 2x 6 6

=cos

π =sin2x- . 6 (1)f(x)的最小正周期为 T= 2π 2π = =π , ω 2

即函数 f(x)的最小正周期为π . π π π 5π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 由正弦函数的性质,当 2x- π π π = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1. 6 2 3

π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- , 6 6 2 π 5 π π 1 当 2x- = π ,即 x= 时,f = , 6 6 2 2 2 1 ∴f(x)的最小值为- . 2 π 1 因此,f(x)在 0, 上最大值是 1,最小值是- . 2 2

18.(本小题满分 12 分) (理) 【2012 高考真题山东理 18】在如图 1-5 所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,

AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(1)求证:BD⊥平面 AED; (2)求二面角 F-BD-C 的余弦值. 【解】(1)证明:因为四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, 所以∠ADC=∠BCD=120°. 又 CB=CD,所以∠CDB=30°, 因此∠ADB=90°,AD⊥BD. 又 AE⊥BD,且 AE∩AD=A,AE,AD? 平面 AED, 所以 BD⊥平面 AED. (2)解法一:取 BD 的中点 G,连接 CG,FG,

由于 CB=CD,因此 CG⊥BD, 又 FC⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,所以 FC⊥BD, 由于 FC∩CG=C,FC,CG? 平面 FCG, 所以 BD⊥平面 FCG,故 BD⊥FG, 所以∠FGC 为二面角 F-BD-C 的平面角.

在等腰三角形 BCD 中,由于∠BCD=120°, 1 因此 CG= CB. 2 又 CB=CF, 所以 GF= CG +CF = 5CG, 故 cos∠FGC= 5 , 5 5 . 5
2 2

因此二面角 F-BD-C 的余弦值为

解法二:由(1)知 AD⊥BD,所以 AC⊥BC. 又 FC⊥平面 ABCD,因此 CA,CB,CF 两两垂直, 以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CF

所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设 CB=1,则 C(0,0,0),B(0,1,0),D? 3 ? → → ? 3 因此BD=? ,- ,0?,BF=(0,-1,1). 2 ?2 ? → → 设平面 BDF 的一个法向量为 m=(x,y,z),则 m?BD=0,m?BF=0, 所以 x= 3y= 3z,取 z=1,则 m=( 3,1,1). → 由于CF=(0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量, 1 ? ? 3 ,- ,0?,F(0,0,1). 2 ? ?2

→ m?CF 1 5 → 则 cos〈m,CF〉= = = , → 5 5 |m||CF| 所以二面角 F-BD-C 的余弦值为 5 . 5

(文) 【2012 高考真题山东文 19】 如图 1-6, 几何体 E-ABCD 是四棱锥, ABD 为正三角形, △

CB=CD,EC⊥BD.
(1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120°,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC.

图 1-6

【解】(1) 证明:取 BD 的中点 O,连接 CO,EO. 由于 CB=CD,所以 CO⊥BD, 又 EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC? 平面 EOC, 所以 BD⊥平面 EOC,因此 BD⊥EO, 又 O 为 BD 的中点,所以 BE=DE. (2)证法一:取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN, 因为 M 是 AE 的中点,所以 MN∥BE. 又 MN?平面 BEC,BE? 平面 BEC, 所以 MN∥平面 BEC, 又因为△ABD 为正三角形,所以∠BDN=30°, 又 CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°, 所以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC? 平面 BEC,所以 DN∥平面 BEC. 又 MN∩DN=N,故平面 DMN∥平面 BEC. 又 DM? 平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC.

证法二: 延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF. 因为 CB=CD,∠BCD=120°. 所以∠CBD=30°. 因为△ABD 为正三角形. 所以∠BAD=60°,∠ABC=90°, 1 因此∠AFB=30°,所以 AB= AF. 2 又 AB=AD,所以 D 为线段 AF 的中点. 连接 DM,由点 M 是线段 AE 的中点, 因此 DM∥EF. 又 DM?平面 BEC,EF? 平面 BEC, 所以 DM∥平面 BEC.

19.(本小题满分 12 分) 3 * [2013?天津卷] 已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N ), . 2 且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 * (2)设 Tn=Sn- (n∈N ),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn 【解】(1)设等比数列{an}的公比为 q,因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,所以 a5 1 3 2 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q = = .又{an}不是递减数列且 a1= , a3 4 2 1 3 1n-1 3 n-1 所以 q=- ,故等比数列{an}的通项公式为 an= ?- =(-1) ? n. 2 2 2 2 1 ?1+2 ,n为奇数, ? 1 (2)由(1)得 S =1-- =? 2 1 ?1-2 ,n为偶数. ?
n n n n

3 1 1 3 2 5 当 n 为奇数时, n 随 n 的增大而减小, S 所以 1<Sn≤S1= , 0<Sn- ≤S1- = - = . 故 2 Sn S1 2 3 6 3 1 1 3 4 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大,所以 =S2≤Sn<1,故 0>Sn- ≥S2- = - = 4 Sn S2 4 3 7 - . 12 7 1 5 * 综上,对于 n∈N ,总有- ≤Sn- ≤ . 12 Sn 6

5 7 所以数列{Tn}最大项的值为 ,最小项的值为- . 6 12 20.(本小题满分 12 分) (理)[2013?新课标全国卷Ⅱ] 如图 1-3 所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别 是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. 2 AB. 2

图 1-3 【解】(1)证明:联结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.

又 D 是 AB 中点,联结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF ?平面 A1CD,BC1 ?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)由 AC=CB= 2 AB 得,AC⊥BC. 2

→ 以 C 为坐标原点,CA的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.设 → → → CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA1= (2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,则 → ?n?CD=0, ?x1+y1=0, ? ? 即? ? → ? ?n?CA1=0, ?2x1+2z1=0. ? 可取 n=(1,-1,-1).

同理,设 m 为平面 A1CE 的法向量,则? 可取 m=(2,1,-2).

→ ?m?CE=0, ? → ?m?CA1=0. ?

n?m 3 6 从而 cos〈n,m〉= = ,故 sin〈n,m〉= . |n||m| 3 3
即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 6 . 3

(文)[2013?辽宁卷] 如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上 的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC. 18.证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC ?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA ?平面 PAC,AC ?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.

(2)联结 OG 并延长交 AC 于 M,联结 QM,QO, 由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点, 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM ?平面 QMO. MO ?平面 QMO, BC∩PC=C,BC ?平面 PBC,PC ?平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG ?平面 QMO, 所以 QG∥平面 PBC.

21.(本小题满分 12 分)

[2013?重庆卷] 如图 1-9 所示,椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,离心率 e= 左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,A′两点,|AA′|=4. (1)求该椭圆的标准方程;

2 ,过 2

(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P,P′,过 P,P′作圆心为 Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆 Q 外,若 PQ⊥P′Q,求圆 Q 的标准方程.

图 1-9 (-c) 2 4 2 【解】(1)由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,则 + 2=1,从而 e + 2=1. 2 a b b 由 e= 2 4 b 2 2 得b= 2=8,从而 a = 2=16. 2 1-e 1-e
2 2 2 2 2

x y 故该椭圆的标准方程为 + =1. 16 8 (2)由椭圆的对称性,可设 Q(x0,0).又设 M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM| =(x-
2

? x? 2 2 2 2 x0) +y =x -2x0x+x0+8?1- ? ? 16?
1 2 2 = (x-2x0) -x0+8(x∈[-4,4]). 2 设 P(x1,y1),由题意,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此,上式当 x=x1 时取得最 小值.又因 x1∈(-4,4),所以上式当 x=2x0 时取得最小值,从而 x1=2x0,且|QP| =8- x0. → → 因为 PQ⊥P′Q,且 P′(x1,-y1),所以QP?QP′=(x1-x0,y1)?(x1-x0,-y1)=0, x1 ? 1 2 ? 2 2 即(x1-x0) -y1=0.由椭圆方程及 x1=2x0 得 x1-8?1- ?=0, 4 ? 16? 4 解得 x1=± x1 2 6 16 2 2 ,x0= =± ,从而|QP| =8-x0= . 3 2 3 3 6
2 2 2

2

故这样的圆有两个,其标准方程分别为

? 2 6?2 2 16 ? 2 6?2 2 16 ?x+ ? +y = 3 ,?x- ? +y = 3 . 3 ? 3 ? ? ?
22.(本小题满分 12 分) (理) 【2012 高考真题浙江理 22】已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax -2bx-a+b.
3

(1)证明:当 0≤x≤1 时, (i)函数 f(x)的最大值为|2a-b|+a; (ii)f(x)+|2a-b|+a≥0; (2)若-1≤f(x)≤1 对 x∈[0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【解】(1)(i)f′(x)=12ax -2b=12a?x - ?. 6a? ?
2 2

?

b?

当 b≤0 时,有 f′(x)≥0,此时 f(x)在[0,+∞)上单调递增. 当 b>0 时,f′(x)=12a?x+ 此时 f(x)在?0,

? ?

6a??

b ??

??x-

?. 6a?
b ? ,+∞?上单调递增. 6a ?

b?

? ?

b? ? ?上单调递减,在? 6a? ?

所 以 当 0≤x≤1 时 , f(x)max = max{f(0) , f(1)} = max{ - a + b,3a - b} =
?3a-b,b≤2a, ? ? ? ?-a+b,b>2a

=|2a-b|+a.

(ii)由于 0≤x≤1,故 当 b≤2a 时, f(x)+|2a- b|+ a = f(x)+3a - b =4ax -2bx +2a≥4ax -4ax +2a = 2a(2x -2x+1). 当 b>2a 时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax +2b(1-x)-2a>4ax +4a(1-x) -2a=2a(2x -2x+1). 设 g(x)=2x -2x+1,0≤x≤1,则 g′(x)=6x -2=6?x-
3 2 3 3 3 3 3 3

? ?

3?? 3? ? ? x+ ? , 3 ?? 3?

于是

x g′(x) g(x)

0

3? ? ?0, ? 3? ? -

3 3 0 极小值

? 3 ? ? ,1? ?3 ?
+ 增

1

1

减 4 3 ? 3? ?=1- 9 >0. ?3?
3

1

所以 g(x)min=g?

所以当 0≤x≤1 时,2x -2x+1>0. 故 f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x -2x+1)≥0. (2)由(i)知,当 0≤x≤1 时,f(x)max=|2a-b|+a,所以|2a-b|+a≤1. 若|2a-b|+a≤1,则由②知 f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1.
? ?|2a-b|+a≤1, 所以-1≤f(x)≤1 对任意 0≤x≤1 恒成立的充要条件是? ? ?a>0,
3

?2a-b≥0, ? 即?3a-b≤1, ?a>0 ?

?2a-b<0, ? 或?b-a≤1, ?a>0. ?



在直角坐标系 aOb 中,③所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段

BC.

作一组平行线 a+b=t(t∈R),得-1<a+b≤3. 所以 a+b 的取值范围是(-1,3]. (文) 【2012 高考真题浙江文 21】已知 a∈R,函数 f(x)=4x -2ax+a. (1) 求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2-a|>0. 【解】(1)由题意得 f′(x)=12x -2a. 当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 当 a>0 时,f′(x)=12?x- 函数 f(x)的单调递增区间为
2 3

? ?

a??

? ? x+ 6?? ?

a?
6?

?,此时

? ?-∞,- ?

6?

a? ?

?和? ? ? ?

,+∞?, 6 ?

a

单调递减区间为?- (2)由于 0≤x≤1,故

a
6



a?
6?

?.

当 a≤2 时,f(x)+|a-2|=4x -2ax+2≥4x -4x+2. 当 a>2 时,f(x)+|a-2|=4x +2a(1-x)-2≥4x +4(1-x)-2=4x -4x+2. 设 g(x)=2x -2x+1,0≤x≤1,则
3 3 3 3

3

3

g′(x)=6x2-2=6?x-
于是

? ?

3?? 3? ??x+ ?, 3 ?? 3?

x g′(x) g(x)

0

3? ? ?0, ? 3? ? -

3 3 0 极小值

? 3 ? ? ,1? ?3 ?
+ 增

1

1



1

所以,g(x)min=g?

4 3 ? 3? ?=1- 9 >0. ?3?
3

所以当 0≤x≤1 时,2x -2x+1>0. 故 f(x)+|a-2|≥4x -4x+2>0.
3


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