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安徽省黄山市屯溪第一中学2015届高三第四次月考数学(理)试题


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一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 若复数 z 满足 1 ? 3i z ? 2 3i( i 为虚数单位) , 则 z 在复平面内对应的点在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ( D.第四象限 )

?

/>
?



2. 命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是 A.和不为偶数的两个整数都为偶数 C.和不为偶数的两个整数不都为偶数 3.已知集合 M ? ? x A. x x ? 1

B.和为偶数的两个整数都不为偶数 D.和为偶数的两个整数不都为偶数 ( )

? x?3 ? ? 0? , N ? ?x x ? ?3?,则 C R ( M ? N ) ? ? x ?1 ?
B. x x ? 1

?

?

?

?

C. x x ? 1

?

?

D. x x ? 1

?

?

2 2 4.“ a ? 1 ”是“函数 y ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”的(



A.充分不必要条件 C.充要条件 5.由直线 x ? ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? sin x 所围成的封闭图形的面积为(
3 2
C. 3 D. 1



A.

1 2

B.

6.函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x



7. 在 ?ABC 中, D 是 BC 边上的一点, AD ? ? ?

若记 AB ? a , AC ? b ,则用 a , b 表示 BD 所得的结果为

?

?

? ?

? AB AC ? ?, | AB |? 2, | AC |? 4 . ? ? | AB | | AC | ? ? ?
( D. )

1 ? 1? A. a ? b 2 2

1 ? 1? B. a ? b 3 3

1 ? 1? C. ? a ? b 3 3

1 ? 1? a? b 2 3

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8.以 S n 表示等差数列 ?a n ? 的前 n 项的和,若 S 5 ? S 6 ,则下列不等关系不一定成立的是 ( A. 2a3 ? 3a 4 C. a 5 ? a 4 ? a 3 ? 0
2



B. 5a5 ? a1 ? 6a 6 D. a3 ? a 6 ? a12 ? 2a 7
/ /

9. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f ( x) , f (0) ? 0 ,对于任意的实数 x 都 有 f ( x) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为( f / ( 0)
B.



A.

3 2

2

C.

5 2

D. 3

1 ? ?x ? , x ? 0 2 10.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f (2 x ? x) ? a ( a ? 2 )的根的个数 x 3 ? ? x ? 3, x ? 0
不可能为( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

二.填空题: 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 请把正确答案填在答题卡的相应位置. 11.在极坐标系中,点 (1,

?
2

) 到直线 2 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 的距离为



12.已知平面向量 a, b 满足: | a |? 1,| b |? 2 ,且 | 2a ? b |? 10 ,则向量 a 与 a ? 2b 的夹角 为 .

13.在数列 ?a n ? 中,若 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ,且 a1 、 a 3 、 a 5 、 a 7 成公比为 q 的等比数列,

a 2 、 a 4 、 a 6 成公差为1 的等差数列,则 q 的最小值是
14.把函数 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有的点向左平移



? 个单位长度,再把所得图象上所 6

有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到图象的函数表达式 为 . 15.定义全集 U 的子集 A 的特征函数为 f A ( x) ? ?

?1, x ? A ,这里 CU A 表示集合 A 在全 ?0, x ? CU A

集 U 中的补集.已知 A ? U , B ? U ,给出以下结论: ①若 A ? B ,则对于任意 x ? U ,都有 f A ( x) ≤ f B ( x) ; ②对于任意 x ? U ,都有 f CU A ( x) ? 1 ? f A ( x) ; ③对于任意 x ? U ,都有 f A? B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ;

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④对于任意 x ? U ,都有 f A? B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) . 其中正确的结论有 . (写出全部正确结论的序号)

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos( 的最高点和最低点. (1)求点 A 、 B 的坐标以及 OA ? OB 的值; (2)设点 A 、 B 分别在角 ? 、 ? ( ? ? ?0,2? ? )的终边上,求 sin(

?
6

x?

?
3

) (0 ? x ? 5) ,点 A 、 B 分别是函数 y ? f ( x) 图像上

?
2

? 2 ? ) 的值.

17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 0 , AB ? (1)若 PC ?

3 , BC ? 1 , P 为 ?ABC 内一点, ?BPC ? 90? .

3 ,求 PA ; 2

(2)若 ?APB ? 120 0 ,求 ?ABP 的面积 S .

18. (本小题满分 12 分) 设公差不为 0 的等差数列 ?a n ? 的首项为 1 ,且 a 2 、 a 5 、 a14 构成等比数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足

b b1 b2 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n , n ? N ? ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a 2 an 2

19. (本小题满分 12 分) 对于定义域为 ?0,1? 上的函数 f ( x) ,如果同时满足下列三条:①对任意的 x ? ?0,1? , 总有 f ( x) ≥ 0 ;② f (1) ? 1 ;③若 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x1 ? x 2 ≤ 1 ,都有

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f ( x1 ? x 2 ) ≥ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为理想函数.
(1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2) 判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? ?0,1?)是否为理想函数,并给出证明;
x

(3) 若函数 f ( x) 为理想函数,假定存在 x 0 ? ?0,1? ,使得 f ( x 0 ) ? ?0,1? , 且 f ? f ( x 0 )? ? f ( x 0 ) ,求证: f ( x 0 ) ? x 0 .

20. (本小题满分 13 分) 现有六名篮球运动员进行传球训练,由甲开始传球(第一次传球是由甲传向其他五名运 动员中的一位) ,若第 n 次传球后,球传回到甲的不同传球方式的种数记为 a n . (1) 求出 a1 、 a 2 的值,并写出 a n 与 a n ?1 ( n ≥ 2) 的关系式;

? an 1 ? ? ? 是等比数列,并求出数列 ?an ? 的通项公式; n 6? ?5 1 1 1 3 (3) 当 n ≥ 2 时,证明: ? ??? ? . a 2 a3 a n 10
(2) 证明数列 ?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 ax ? bx ( a ? 0 ). 2

(1) 若 a ? ?2 时, 函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域上是增函数, 求实数 b 的取值范围; (2) 在(1)的结论下,设函数 ? ( x) ? e
2x

? be x , x ? [0, ln 2], 求函数? ( x) 的最小值;

(3) 设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C 2 交于点 P 、 Q ,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1 、 C 2 于点 M 、 N ,问是否存在点 R ,使 C1 在 M 处的切线 与 C 2 在 N 处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

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屯溪一中 2015 届高三第四次月考

数学(理科)

16. (本小题满分 12 分)

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17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,则 ∵a2,a5,a14 构成等比数列, ∴a2 5=a2a14, 即(1+4d)2=(1+d)(1+13d),

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解得 d=0(舍去) ,或 d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1.???????????????4 分 b1 b2 bn 1 (Ⅱ)由已知a +a +?+a =1-2n,n∈N*, 1 2 n

19. (本小题满分 12 分) 解析: (1)取 x1 ? x 2 ? 0 得 f (0) ≥ f (0) ? f (0) ,则 f (0) ≤ 0 , 又 f (0) ≥ 0 ,故 f (0) ? 0 ; (2)当 x ? ?0,1?时,函数 g ( x) ≥ 0 ,满足条件①;又 g (1) ? 1 满足条件②; 若 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x1 ? x 2 ≤ 1 , 则 g ( x1 ? x 2 ) ? ?g ( x1 ) ? g ( x 2 )? ? 2
x1 ? x2

? 1 ? (2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1) ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ≥

?

?

0 ,满足条件③,
故函数 g ( x) 是理想函数. (3)由条件③,任给 m, n ? ?0,1? ,当 m ? n 时, n ? m ? ?0,1?,且 f (n) ? f (n ? m ? m) ≥

f ( n ? m) ? f ( m) ≥ f ( m) .
若 x 0 ? f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) ≤ f ? f ( x 0 )? ? x 0 ,矛盾. 若 x 0 ? f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) ≥ f ? f ( x 0 )? ? x 0 ,矛盾.

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故 f ( x0 ) ? x0 . 20. (本小题满分 13 分) 解. (1) a1 ? 0 , a 2 ? 5 , 第 n ? 1 次传球后,不同传球方式种数为 5 n ?1 ,不在甲手中的种数为 5 n ?1 ? a n ?1 , ∴当 n ≥ 2 时, a n ? 5 n ?1 ? a n ?1 (2)由 a n =- a n ?1 + 5 n ?1 得, ??5 分

an 1 1 a n ?1 1 ? ?? ( n ? ), n 6 5 5 ?1 6 5



a1 1 1 1 1 ? an 1 ? ? ? ? ,则数列 ? n ? ? 是以 ? 为首项, ? 为公比的等比数列. 5 6 6 6? 6 5 ?5 an 1 1 1 n ?1 5 n ? 5(?1) n ? ? ? ? ( ? ) ,故 . a ? n 6 5 6 5n 6
????9 分

从而

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(2)设 t ?e , 则函数化为y ? t ? bt , t ? [1,2] ,即 y ? (t ? ) ?
x 2
2

b 2

b2 , 4

∴ 当?

b ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数y在[1,2] 上为增函数,当 t=1 时, y min ? b ? 1. 2

当1 ? ?

b2 b b ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时, 当t ? ? 时, y min ? ? ; 4 2 2

…………7 分

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当?

b ? 2, 即b ? ?4时, 函数y在[1, 2] 上为减函数,当 t=2 时, ymin ? 4 ? 2b. 2

综上所述,当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为b ? 1. 当 ? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为 ?

b2 . 4
………8 分

当b ? ?4时, ? ( x)的最小值为4 ? 2b
(3)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), 且0 ? x1 ? x 2 . 则点 M、N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 . 2

u ?1 ∵

∴ r ?(u ) ? 0.

所以 r (u )在[1,??) 上单调递增,故 r (u ) ? r (1) ? 0 , 则 ln u ? 这与① 矛盾,假设不成立,

2(u ? 1) , u ?1

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故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

.……13 分


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