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山东省临沂十八中2013届高三第六次(4月)周测数学(理)试题 Word版含答案


数学(理)试题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卷相应的位置) ........ 1.设集合 M ? x lg x ? 0 , N ? x x ? 2 , 则M ? N ? A. ?1, 2? B. ?1, 2 ? C. ?1, 2 ? D. ?1, 2 ? 2.已知

i 是虚数单位,且 ( x ? i)(1 ? i) ? y ,则实数 x, y 分别为 A. x ? ?1 , y ? 1 C. x ? 1, y ? 1 B. x ? ?1 , y ? 2 D. x ? ?1 , y ? ? 2

?

?

?

?

3.若数列 ?a n ? 满足 a1 ? 2, an?1an ? an ? 1 ,则 a 2013 的值为 A. ? 1 B.

1 2

C. 2

D. 3

4.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 10 3 ,则 h = A.

3 2

B. 3

C. 3 3

D. 5 3

5.若下边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为 A.n≤5 B.n≤6 C.n≤7 D.n≤8 6. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的 底部周长(单位:cm) .根据所得数据画出了样本的频率分布直方 图,那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 A.80 B.70 C.60 D.30 7.已知 a, b 是平面向量,若 a ? (a ? 2b) , b ? (b ? 2a) ,则 a 与

? ?

?

?

?

?

?

?

?

? b 的夹角是 2? 5? ? ? A. B. C. D. 3 6 6 3 1 8. 已知命题 p :“ a ? ? ””是“函数 f ( x) ? log 3 ( x ? a) ? 1 的图象经过第二象限” 2 1 1 的充分不必 要条件,命题 q : a , b 是任意实数,若 a ? b,则 .则 ? a ?1 b ?1 A . p 假q真 B. “ p 且 q ”为真 C. “ p 或 q ”为真 D. p , q 均为假命题 ? 9. 将函数 y=2 sin x sin ( ? x)的图象向右平移 ? ( ? ? 0)个单位,使得平移后的图象仍过点 2

(

3 ? , ),则 ? 的最小值为 2 3 ? ? ? ? A. B. C. D. 6 4 3 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2 过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A, B 两点.若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的
10.如图, F1 , F2 是双曲线 C :

离心率为 A.

6 2

B. 3

C.

5 ?1 2

D. 7

11.若 (2 x ? 1) 2013 = a0 + a1 x + a2 x 2 +?+ a2013 x 2013(x∈R) ,则

a a 1 + 2 2 + 3 3 +?+ 2 2 a1 2 a1

a2013 22013 a1 1 A. 2013
12. 定 义 域 为 R

B.-

1 2013

C.

的 函 数

f ? x?

1 4026 满 足 f

D.-

?

x 2? ?

1 4026 ? 2 ? f ? 当, x

, , ??x ?0 时 2

? x 2 ? ,x ?x 0 ? , 1 , ? ? t 1 ? 3 x? 若 x ? ? ?4, ?2 ? 时, f ? x ? ? ? 恒成立,则实数 t 的取值 f ? x? ? ? ?1? 2 4 2t ?? ? ? , x ? ? 1 ?, 2 , 2? ? ? ?
范围是 A. ? ?2, 0 ? ? ? 0,1? B. ? ?2, 0 ? ? ?1, ?? ? C. ? ?2,1? D. ? ??, ?2 ? ? ?0,1?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卷中的横线上) ............. x0 13.命题“ ? x0 ? R, e ? 0”的否定是

? x-y-≤0 ? 14.不等式组 ? x≥1 对应的平面区域为 D ,直线 y ? k ( x ? 1 )与区域 D 有公共点, ? x+y-3≤0 ? 则 k 的取值范围是______ 15.若不等式 x ? 3 ? x ? 5 ? ax ? 0?x ? R, a ? 0? 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ;
将集合{ 2 ? 2 | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大,
s t

16.左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第 i 行第 j 列的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 = .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分) 在 △ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 若 b ? (Ⅰ) 求 A 的大小;
2 2 (Ⅱ) 若 △ABC 的面积为 2 3 ,且 2ab cos C ? bc ? a ? c ,求 a.

1 c ? a cos C 2

18.已知数列{ a n }数的前 n 项和 S n ? n ( n ? N *) ,数列{ bn }为等比数列,且满足
2

b1 ? a1 , 2b3 ? b4 .
(I)求数列{ a n },{ bn }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ a n bn }的前 n 项和.

19.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面

ABCD , ?DAB ? 60? , AD ? 2 , AM ? 1 , E 是 AB 的中点. (Ⅰ) 求证: AN //平面 MEC ;
(Ⅱ) 在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为

? ?若存在,求出 6
N

AP 的长 h ;若不存在,请说明理由.
M

D A E

C B

20.(本小题满分 12 分) 在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球 记 1 分,白球记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中有放回地先后摸出两球,所得分数 分别记为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y) ,记 ? ? OP . (1)求随机变量 ? =5 的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

??? 2 ?

21.(本小题满分 13 分) 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对 环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱, 1 个单位的固体碱在水中逐 渐 溶 化 , 水 中 的 碱 浓 度 f ( x) 与 时 间 x ( 小 时 ) 的 关 系 可 近 似 地 表 示 为 :

x 6 ? ? 2? 6 ? x?3 ? f ( x) ? ? ?1 ? x ? 6 ?

0? x?3
,只有当污染河道水中碱的浓度不低于

3? x ?6

1 时,才能对污 3

染产生有效的抑制作用. (Ⅰ) 如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (Ⅱ) 第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

1 时,马上再投放 1 个 3

单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大 ...... 值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加) ..

22.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 10 ) 的右焦点 F 在圆 D : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 上,直线 2 a 3 l : x ? my ? 3(m ? 0) 交椭圆于 M 、 N 两点. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若 OM⊥ON( O 为坐标原点),求 m 的值; (Ⅲ)设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1 N1 与 M 不重合) 且直线 N1 M 与 x 轴交于点 P , ( , 试问 ?PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明
已知椭圆 C : 理由.

序号 答案

1 A

2 D

3 C

4 B

5 B

6 A

7 B

8 C

9 A

10 D

11 C

12 D

高三数 学阶段 检测

(理 科)参考答案 4 月 28 日

13. ? x? R, e ? 0
x

14.

? 0,1?

15. 0 ? a ? 2

16. 80

19.由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点, ?DAB ? 60? , 所以 ?ABC 为等边三角形,可得 DE ? AB .又 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD , 所以 DN ⊥平面 ABCD .如图建立空间直角坐标系 D ? xyz .???5 分 则 D(0,0,0) , E ( 3, 0, 0) , C (0, 2, 0) , P( 3, ?1, h) .

??? ? ??? ? CE ? ( 3, ?2.0) , EP ? (0, ?1, h) .??7 分 设平面 PEC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) . ??? ? ?CE ? n1 ? 0, ? 3x ? 2 y ? 0, ? ? 则 ? ??? ,所以 ? ? ?? y ? hz ? 0. ? EP ? n1 ? 0. ? ?
令y?

z N M F P D E x C y

3h .所以 n1 ? (2h, 3h, 3) .????9 分 又平面 ADE 的法向量 n2 ? (0,0,1) ,????10 分
所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 3 ? .????11 分 n1 ? n2 2

A

B

3 7 ? 即 ,解得 h ? ? 1 .所以在线段 2 2 7 7h ? 3 ? 7 .?????? AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 ,此时 AP 的长为 6 7
12 分. 2 20.解(Ⅰ) ? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 , ? ? x ? 2) ? ( x ? y ) 2 ? 5 , ( 且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 5 ,又有放回摸两球的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种,

3

? P(? ? 5) ?

2 .??????6 分 9 (Ⅱ) ? 的所有取值为 0 , 1, 2 , 5 . ? ? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况. ? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况, ? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况. 1 4 2 ? P(? ? 0) ? , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? ,???????8 分 9 9 9 ? 的分布列为: 则随机变量

?
P

0 1 9

1 4 9

2 2 9

5 2 9

???10 分

1 4 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 .??????12 分 9 9 9 9 0? x?3 ? ? 3? x ?6 ? ? 21.(Ⅰ) 由题意知 ? ??2 分 x 6 1 或? x 1 2? ? ? 1? ? ? 6 x?3 3 ? 6 3 ? ? 解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 ??3 分 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时. ??4 分 (Ⅱ) 由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 ?5
因此,数学 E? ? 0 ? 分

当 4 ? x ? 6 时,第一次投放 1 单位固体碱还有残留,故

? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) g ? x ? = ?1 ? ? + ? 2 ? ? ; ??6 分 ?= ? ? 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ? 1 ? 6 ? ? 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 ( x ? 4) 6 8 x 6 当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ? = ? ? ; ??7 分 ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1 x?4 5 x 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ? ??8 分 ? ? ; 6 3 6 6 ?11 x 4? x?6 ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x 6? x?7 所以 g ( x ) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 ??9 分 ? ?5 x 7 ? x ? 10 ?3 ? 6 ? 当 4 ? x ? 6 时, 6 10 x ? 1 6 10 11 x 6 10 x ? 1 ?( ? )? ?2 ? = = g ( x) ? ? ? ?2 2 ; 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 3 x ?1 3 x ?1 6 当且仅当 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ? [4, 6] (函数值与自变量值各 1 分)?10 ? 3 x ?1


6 1 ( x ? 5)(7 ? x) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2 1 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 g ( x ) max = g (7) ? , ??11 分 2 10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时, 又 ( ? 2 2) ? ? 水中碱浓 3 2 6 6 10 度的最大值为 ??12 分 ?2 2 . 3 答: 第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时; 第一次投放1 ? 3 2 10 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为 ??13 分 ?2 2 . 3 2 2 22.解(Ⅰ) 由题设知,圆 D : ( x ? 2) ? y ? 1的圆心坐标是 (2,0) ,半径为1 , 故圆 D 与 x 轴交与两点 (3,0) , (1,0) .?????1 分 所以,在椭圆中 c ? 3 或 c ? 1,又 b 2 ? 3 , 所以, a 2 ? 12 或 a 2 ? 4 (舍去,∵ a ? 10 ), ?????3 分 x2 y2 于是,椭圆 C 的方程为 ? ? 1 .??????4 分 12 3 (Ⅱ) 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ; ? x ? my ? 3 ? 直线 l 与椭圆 C 方程联立 ? x 2 y 2 , ?1 ? ? ?12 3 2 2 化简并整理得 (m ? 4) y ? 6my ? 3 ? 0 .??????5 分
当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ?

当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,

? 6m ?3 24 , y1 ? y2 ? 2 ,∴ x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 6 ? 2 , 2 m ?4 m ?4 m ?4 ? 3m2 ? 18m2 36 ? 12 m2 2 .??7 分 x1 ? x2 ? m y1 y2 ? 3m( y1 ? y2 ) ? 9 ? 2 ? ?9? m ? 4 m2 ? 4 m2 ? 4 36 ? 12 m 2 ? 3 ∵ OM ? ON ,∴ OM ?ON ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 得 ?0 m2 ? 4 11 11 2 ∴m ? ,m ? ? ,即 m 为定值.??????9 分 4 2 (Ⅲ)∵ M ( x1 , y1 ) , N1 ( x2 ,? y2 ) , y ? y1 x ? x1 ? ∴直线 N1M 的方程为 .????10 分 ? y2 ? y1 x2 ? x1 y1 ( x2 ? x1 ) y x ? y2 x1 ? x1 ? 1 2 令 y ? 0 ,则 x ? y1 ? y2 y1 ? y2 ? 6m 18m ? 2my1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) m2 ? 4 m2 ? 4 ? 24 m ? ? ? ? 4, ? 6m y1 ? y2 ? 6m m2 ? 4 ∴ P(4,0) .??????11 分
∴ y1 ? y2 ? ∴

1 1 FP ? y1 ? y2 ? ? 1 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 2 2 1 1 =2 3 ?2 3 ?1 9 12 2 (m ? 1) ? 2 ?6 m ?1 当且仅当 m2 ? 1 ? 3 即 m ? ? 2 时等号成立. 故 ?PMN 的面积存在最大值 1 .?????13 分 S?PMN ?
( 或 :

S?PMN ? 2 3 ?

?m

m2 +1
2

? 4?

2

=2 3 ? ?

?m

1
2

? 4?

2

?

1 m ?4
2

,



t?

1 ? 1? ? ? 0, ? , m ? 4 ? 4?
2

则 S?PMN ? 2 3 ? ?3t 2 ? t ? 2 3 ? ?3(t ? ) 2 ? 当且仅当 t ?

1 6

1 ? 1 .???12 分 12

1 ? 1? ? ? 0, 时等号成立,此时 m 2 ? 2 . 6 ? 4? ? 故 ?PMN 的面积存在最大值 1 .?????13 分


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