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1.1.2弧度制修改


1.1.2 弧度制

1、什么叫角度制?

2、1? 的角是怎样规定的?
(1)用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。单 位为“度”(即“ ? ”) 不能省略

(2) 规定周角的1/360叫做1度的角。

一、弧度制
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 “弧

度”常用“rad”表示。

设弧AB的长为: l 若 l =r,则∠AOB= 若 l=2r,则∠AOB= 若 l=3r,则∠AOB=

l r l r
l

B
=1弧度 =2 rad

l=r

O

r

A

r

= 3 rad

思考:若圆心角∠AOB表示一个顺时针方
向旋转的角,且它所对的弧的长为3r,则 ∠AOB的弧度数的绝对值是?弧度数是?

︱∠AOB ︳=

l =3 r l r
B

O

r

A

即∠AOB=-

= -3 rad

-3弧度
l=3r

1.定义:
我们规定,正角的弧度数为正数,负角的弧度数
为负数,零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度 数的绝对值: l ︱α︱= r

其中:l —— 以角α 为圆心角所对的弧长

r —— α角所在圆的半径
这种

用“弧度” 做单位来度量角的制度,叫做 弧度制。

由弧度的定义可知:

定 义 的 合 理 性

圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。

B
B O

l=R
A

l=r 1弧度 A r R

1弧度

的与 一半 个径 比长 值无 关

弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比 值来表示,那么一个角的弧度数与所在的圆 的半径之间存在一定的联系么?若存在,请 阐述是什么关系?若不存在,说明理由。

结论:当圆心角一定时,它所对的弧长与半
径的比值是一定的,与所在圆的半径大小无关。

2. 弧度制与角度制相比: (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单

位制,角度制是以“度”为单位来度量角的
单位制;1弧度≠1?; (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 1 心角的大小,而1度是圆周 所对的圆心角 360 的大小;

(3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实

数表示,而角度制是六十进制;
(4)以弧度和度为单位的角,都是一个与 半径无关的定值。 (5)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度” 二字通常省略不写,但用“度”(°)为单 位不能省。

下列各命题中,真命题是( ) A.一弧度是一度圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧 C.一弧度是一度的弧与一度的角的和 D.一弧度是长度等于半径长的弧所对 的圆心角,它是角的一种度量单位

二、弧度与角度的换算
思考: 1.若弧是一个整圆,其圆心角的弧度数是多少? 2.若弧是一个半圆,其圆心角的弧度数是多少? 若l=2 π r,则∠AOB= 若l=π r, 则∠AOB=

l r l r

= 2πrad =
πrad

l=2 π r
(B)

360°= 2π 弧度 O 180°= π 弧度
r

由公式 180°= π 弧度
1°等于多少弧度么?

你可推算出:

180°= 1°× 180

1弧度又等于多少度呢?
π 结论: 1°= ——弧度≈ 0.01745弧度 180 180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′ π

例题1.
(1) 把 67°30′化成弧度。 解: 67 ? 30 ' ? ? 67 1 ? ? ?
?
?
?

1 3 67 30' ? rad ? 67 ? ?rad 180 2 8
3 (2) 把 — π 弧度化成度。 5 3 3 ?rad ? ? 180 ? ? 108 ? 解: 5 5

?

2?

练习: (1)把112?30′化成弧度(用π 表示)。
8? (2)把 化为角度。 5

例2.请写出一些特殊角的弧度数
度 0? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180? 270? 360?

弧 度 数

0

? 6

?
4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

5? 6

?

3? 2

2?

注:

1.用弧度为单位表示角的大小时, “弧度”二字或“rad” 通常省略不写,但用“度”(°)为单位不能省。 2.用弧度为单位表示角时,通常写 成“多少π”的形式, 如无特别要求,不用将π化成小数。

例3:请用弧度制表示下列角度所在区间。 ? ? ? ? 0, 锐角:{θ|0°<θ<90°} ?
?

? ? 2?

直角: {θ|θ=90°}

? ?
? ??

?
2

钝角: {θ|90°<θ<180°}
平角: {θ|θ=180°}

?? ? ,? ? ?2 ?

? ??
? ? [0, ?
2 )

0°到90°的角:{θ|0°≤θ<90°}
小于90°角:{θ|θ<90°}

? ? (??, )
2

?

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例4

1.1.2

把下列各角化成 2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式,并

指出是第几象限角: 23π (1)-1 500° ;(2) ;(3)-4. 6 解 (1)∵-1 500° =-1 800° +300° =-5×360° +300° . 5π ∴-1 500° 可化成-10π+ ,是第四象限角. 3 23π 11π (2)∵ =2π+ , 6 6 23π 11π ∴ 与 终边相同,是第四象限角. 6 6 (3)∵-4=-2π+(2π-4),
∴-4 与 2π-4 终边相同,是第二象限角. 小结 在同一问题中,单位制要统一.角度制与弧度制不能 混用.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.2

三 变式 1.若 α=-3,则角 α 的终边在第________象限.
解析 ∵α=-3 rad=-3×57° 18′=-171° 54′, 而-171° 54′为第三象限角,∴α=-3 为第三象限角.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.2

11 变式 2.把- π 表示成 θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的 4 θ 值是________.
解析
? 3 ? ? 3 ? 11 - π=-2π+?-4π?=2×(-1)π+?-4π?. 4 ? ? ? ?

3 ∴θ=- π. 4 答案 3 - π 4

三.弧长及扇形面积
你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算

出弧度制下的弧长公式和扇形面积公式么?

nπR l= ——— 180 2 nπR 扇形面积公式: S= ——— 360 弧度制:
角度制: 弧长公式: 弧长公式:l = αR 2 扇形面积公式:s = ?αR = ? l R

用弧度制表示弧长及扇形面积公式:
① 弧长公式: l ? r ? ?
l 由公式:? ? ? l ? r ? ? r

n?r 比公式 l ? 简单. 180

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积.

1 ② 扇形面积公式 S ? lR 2

其中l是扇形弧长,R是圆的半径。 证明:设扇形所对的圆心角为n? (αrad),则

n 1 2 S ??R ? ? R ?? 360 2
2

又 αR=l,所以

1 S ? lR 2

证明2:因为圆心角为1 rad的扇形面积是

? R2 1 2 ? R 2? 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.

1 所以它的面积是 S ? lR 2

例4. 扇形AOB中,⌒
半径是50米,求 米)。

AB

所对的圆心角是60? ,
的长l(精确到0.1 AB


? 解:因为60? 3 ,所以 =

l=α· r=


? ×50≈52.5 . 3

答:AB 的长约为52.5米.

例5. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的

弧长为
中心角等于

,面积为2R2的扇形的
弧度。

4 解:(1)240? ? ,根据l=αR,得 = 3
4 l ? ?R 3 1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2

所以 α=4.

例6.与角-1825? 的终边相同,且绝对值最小 的角的度数是___,合___弧度。 解:-1825? =-5×360? -25? , 所以与角-1825? 的终边相同,且绝对值 最小的角是-25? .
5 合 ? 36 ?

例7. 已知一半径为R的扇形,它的周长等于
所在圆的周长,那么扇形的中心角是多少弧 度?合多少度?扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合(
360(? ? 1)

?

)?
2

扇形面积是 (? ? 1)R

小 结 1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个
仅与角α大小有关的常数,所以作为度 量角的标准. 2.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
正角
零角

正实数
零 负实数

负角

弧度制
度量单位 弧度(10进制)

角度制
度(60进制,1?=60,1′=60??)

把长度等于半径长 周角的1/360叫做1度的 的弧所对的圆心角 角。 单位规定 叫做1弧度的角。
360 ? ? 2?rad
1? ?

?
180

rad ? 0.01745 rad
?

换算关系

180? ? ?rad
基本关系

? 180 ? 1rad ? ? ? ? 57 .30 ? ? 57 ?18? ? ? ? 导出关系


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