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一道2010年全国联赛解析几何试题的巧思妙解


一道 2010 年全国联赛解析几何试题的巧思妙解
陈 兵 (山东省滕州一中东校 ,277500) 2010 年全国联赛一试第 10 题: 已知抛物线 y ? 6 x 上的两个动点 A ( x 1 , x 2 ) 和 B ( x 1 , x 2 ) ,其中 x 1 ? x 2 且 x 1 ? x 2 ? 4 .线
2

段 AB 的垂直平分线

与 x 轴交于点 C ,求 ? ABC 面积的最大值. y 文[1]给出了三角形面积公式的向量式: B 在 ? ABC 中,若 CA ? ( x 1 , y 1 ) , CB ? ( x 2 , y 2 ) , 则 S ? ABC ?
1 2 x1 y 2 ? x 2 y1

A

C (5,0)

x

下面用上述公式求解该题. 解:设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ?
y 2 ? y1 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y2 6
2

x1 ? x 2 2

? 2 , y0 ?

y1 ? y 2 2



k AB ?

?

?

y1 6

2

?

6 y 2 ? y1

?

3 y0



线段 AB 的垂直平分线的方程是 y ? y 0 ? ?

y0 3

( x ? 2)

(1)

易知 x ? 5 , y ? 0 是(1)的一个解.所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 的坐标为 ( 5 , 0 ) .
y1 ? y 2
2 2

由 x1 ? x 2 ?
2

6

? 4 ,得 y 1 ? y 2 =24, CA ? ( x 1 ? 5 , y 1 ) ? (
2 2

y1 6

2

? 5, y1 ) ,

CB ? (

y2 6

? 5 , y 2 ) ,所以 S ? ABC ?

1 2

(

y1 6

2

? 5) y 2 ? y1 (

y2 6

2

? 5) ?

1 2

y1 ? y 2

y1 y 2 6

?5 .

所以 S

2

? ABC

?

1 4

( 24 ? 2 y 1 y 2 )(

y1 y 2 6

? 5)

2

?

3 2

(4 ?

1 3

y 1 y 2 )(

y1 y 2 6

? 5 )(

y1 y 2 6

? 5 )) ?

3 14 3 ( ) , 2 3

所以 S ? ABC ?

14 3

7 ,当且仅当 4 ?

1 3

y1 y 2 ?

y1 y 2 6

? 5 即 y1 y 2 ? ? 2 ,

1

A(

6? 3

35

,

5 ?

7 ), B (

6? 3

35

,

5 ?

7 ) 或 A(

6? 3

35

,? ( 5 ?

7 )), B (

6? 3

35

,? 5 ?

7)

时等号成立,所以 ? ABC 面积的最大值为

14 3

7 .

参考文献 [1] 陈兵. 例谈三角形面积的向量形式.高中数学教与学,2008(4).

2


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