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一道高考题的多解探究


4 6  

数 学 通讯 —— 2 O 1 3年 第 1 、 2期( 上半 月 )  

?辅教 导学 ?  

的解 法.  

散性 和深刻性 .  

学生 5   答 案是  一 ( 口 一s i n a , 1 一C O S a ) . 理 

在例

题教 学 时 , 应 该 精选 恰 当 、 典 型 的 例题 ,  
让学 生主动 参 与 、 积极思考、 主 动探 究 , 让 学 生 的 
思维 能力在探 究 的过 程 中得 到 提升. 此外, 对 于典 

由 如下 : 当a > 0时 ,  F B P一   一a , 由三角 函数 
厶 

的 定 义 和 向 量 的 平 移 可 得 ,B 】 5一 ( 一 s i n a ,  


型而且重要 的解法 , 教 师 更不 能包 办代 替 , 而应 该  欲望 , 让学 生在 主动参 与 、 积极 思 考 的过程 中 自然  的获得 解法 , 其 教 学 效果 要 比“ 填鸭 式”教 学 高 出  许多 . 这样 的教学应该 是 我们教 师的终身 追求.  
( 收稿 E l 期: 2 0 1 2—0 8 —3 0 )  

创设 恰 当的情 境 , 激发 学生 求 知 的  c o s a ) ; 当口 < 0时, LF B P一一要一a ,   一   通 过提 出问题 ,
厶 

( 一s i n 口 , 一c o s a ) , 故o - - g一   +百 声一 ( a —s i n 口 ,  
1一 C O S a ) .  

通过例 题 的教 学 , 复 习 巩 固 了三 角 、 向量 、 平 

面几何 、 解 析几 何 等 知 识 , 进 一 步 体 验 了 数 形 结  合、 分 类讨 论等数 学方法 , 尝试 了运 用不 同 的知 识  和方 法解 决 同一个 问题 , 培养 了思维 的灵 活 性 、 发 



道 高考 题 的多 解探 究 
温日 明  
( 江 西 省 信 车 中学 ,3 4 1 6 0 0 )  

题目

( 2 0 1 2 年高考江 西卷理科 第 7 题) 在直 

评析  针对 选择 题 , 本 法巧快 活准 , 计算 最为  简单快捷 , 应是考 生首选 之 法.  
思路 2   注 意到 三角 形 中  AC B 是 直角 , 故 

角 三 角形 A B C中 , 点 D是斜 边AB的 中点 , 点 P为  线段 C D 的中点 , 则 
( A) 2 .   ( B) 4  

:  (  

)  

可 以 C为原 点 , 直线 C A 为  轴 建系 , 通过 坐标 进 
行计算 .   解法 2   以 C为 原点 , 直线 

( C) 5 .  

( D) 1 0 .  

本 题 小巧 灵 活 , 平 和 中见 新 奇 , 语言朴 素 自  
然, 简洁易懂, 注 重基 础 , 凸显 能 力 , 解法 多样 , 是 


C A 为 z轴 建立如 图 2 所示 直角 
坐标 系.   设 I   C A  I =b ,l   C B   I —日 ,  

道 能 区分考生 思维 品质 的好题 .  

思路 1   考虑到这 是一道选 择题 , 各选项 值都 
是定 值 , 故可用 特例法 .  

则点 c ( o , 0 ) , A( b , 0 ) , B( O , 口 ) ,  

解法 1   假 设 直 角 三 角 形  A BC为等腰 直角 三角形 , 如图 1 ,   取 I   A C   I —l   B C{ 一4 , 则l   A B   I  


D ( 睾 , 号 ) , p ( b , 等 ) .  
于 是  图2  

P A   l 2= ( 6 一  b  

( 一   a)  一 
,  

4 √ 2 ,   l B D   l = = = l   A D  1 一l   C D   j  



2 , / 5 , . 。 . 1   P c   l —J   P D   I 一√ 2 ,  


P B     t 一 ( 一 鲁 ) 。 + ( n 一   a )   一 9 一 a   2 -  ̄ - b 2 ,  
图1  



’ P D 上 AB,  






  1 P A   l  = l   P B   l  一 ( 2   ) 。 +(   ) 。 一1 0 ,  
:=:  

P C   l 2 = ( 一 鲁  ( 一 号  


,  

1   P A l   1  +l   P B   I   一   l   P C   I   z  



±  : 1 0
2   . ’  

  1 P A   l 。 +l   P B   I   P C   i 。  





选( D ) .  

?

辅教导学 ?  

数 学 通 讯— — 2 O 1 3年 第 1 、 2期 ( 上半月)  
’ . .

4 7  

: ±   J _  : ±  
一 —   —   n  + b 0  
—   一  

  I P B   I  一I   C B   I  +l   C P   I 。 一2   I   C B   I ?   +  ?  

一 t 0 .   。  

I   C P   1   c o s LB C D  
口  


. .

选( D ) .  

9 a  + b   1 6  

评析  本 法借 助 坐标 系 , 利 用两 点 间 的距离 
公式 进行 计算 , 简便 易行 .   思路 3   因为是求 线段 的长 , 所 以可 以利用 向  量, 通 过计 算 向量 的模求 出线 段 的长.   解法 3   如图 1 , 设 I   C A  I =b ,I   C B   I —a , 则 
PC   I 。  
= l 0 .  


同理 可得 I   P A   I   z : 

,  
口  + 9 b   .9 a 。+ b 。  

 +l l   P B   I  一  

1 6  

。  
1 6  

1 6  

口  + b 。  

I   AB   I 一  ̄ / 口   +b 。 ,I   C D   I —I   B D   I —l   A D  l 一 
b z q -
—   一



l   P C   l = — Tq - 一 b 2
.  





选( D ) .  

?

‘ .

c o s L C B A 一 南

,  一 娅2 ,  

解法 5   如图1 , 设 I   C A  I —b , I   C B   l 一口 , 则 

I   A B   l 一  ̄ / 口   +b 。 ,I   C D   l —I   B D   1 一I   A D   I = 


?





I   - p g   l   z =l 百 声I   z —  
l   z +I 亩 I   z +2   I 亩  亩 I   c o s LC B A  

l   P C   I =1   P D   I 一  C P A 与 

.  

I  

一 一 — —

注 意 到 

D P A 互 补 , 于 是 

a T 2   4 - b 2


 ̄ - 2 a  ̄ 罕
— —   — — — —

? 南
— — 一  

 

C O S  C PA 一 一 c o s L DPA ,  












  1 P C   I  +I   P A  I  一I   C A   I 。   2     l P C   I . 1   P A  


9 a  + b 。  
一 一 —   一



!  

’ 

2   I   P D   I . 1   P A    l
+I   P A   6 。  

! : ±l  

  l 二 ! z  

’  

同理 可得 I  

I 。 一— a 2   +9 b 2
,  

?

. . 

a 。+ 9 b   .9 a  + b  





 + I I   P B     一  1 l 6  
PC     l
= 1 0.  
’ .

1 6  
? .

(  

+I   P A   ,  
,  

) ,  

a  + b  
1 6  



I   P A   I 。一 

同理 I   P B   I   z一  



选( D ) .  

评 析 

本 法 把 求线 段 的长 转 化 为 求 向量 的 

模, 体 现 出转 化思想 和思维 的灵 活性 .  
思路 4   由于 本题是 以三 角形 为背 景 , 故 可考  虑利 用解 三角 形知识 借 助平面 几何法 求 解.   解法 4  设 l   C A   J —b , 1   C B   l —n , 则 l   A B   I 一 


PC   I  
口 。+ 9 b   .9 a  + b 。  
一 一  下   口 0+ b 0   一 1 0 .   ‘  

1 6  
. .

I   C D   I —I 肋


I —l   AD   I 一下

+b z
,  

选( D) .  

评 析  解 法 4和解 法 5 充分 利用 了平面几 何  知识 和余 弦定 理 , 能 反 映 出考 生 较 强 的观 察 能 力  和思维 能力 , 但运 算量 较大 .  

b z I   P c   l 一 ——  q -


. 

。 .

。l   C D  I = = =   I B D   1 , . ‘ .   B C D 一  C B A,  


’ .

c o s LB C D— c o s LC B A一 — = 兰 = ,  
。 +b 。  

( 收稿 日期 : 2 0 1 2 —0 7 —1 5 )  


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