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1.4 全称量词与存在量词 学案(人教A版选修2-1)


§ 1.4

全称量词与存在量词

【课时目标】 1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词 的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的 命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命 题.

1.全称量词和全称命题 (1)短语“__________”“

__________”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “______”表示,常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有 的”等. (2)含有____________的命题,叫做全称命题. (3)全称命题:“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”,可用符号简记为 ____________. 2.存在量词和特称命题 (1)短语“__________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词, 并用符号 “______”表示,常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有 的”等. (2)含有____________的命题,叫做特称命题. (3)特称命题:“存在 M 中的元素 x0,有 p(x0)成立”,可用符号简记为 ________________________. 3.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题 p:?x∈M,p(x),它的否定綈 p:________________; (2)特称命题 p:?x0∈M,p(x0),它的否定綈 p:________________. 4.命题的否定与否命题 命题的否定只否定______,否命题既否定________,又否定________.

一、选择题 1.下列语句不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数 C.高二(一)班绝大多数同学是团员 D.每一个向量都有大小 2.下列命题是特称命题的是( ) A.偶函数的图象关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于 3 3.下列是全称命题且是真命题的是(
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)

A.?x∈R,x2>0 B.?x∈Q,x2∈Q 2 C.?x0∈Z,x0 >1 D.?x,y∈R,x2+y2>0 4.下列四个命题中,既是特称命题又是真命题的是( ) A.斜三角形的内角是锐角或钝角 2 B.至少有一个实数 x0,使 x0 >0 C.任一无理数的平方必是无理数 1 D.存在一个负数 x0,使 >2 x0 5.已知命题 p:?x∈R,sin x≤1,则( ) A.綈 p:?x0∈R,sin x0≥1 B.綈 p:?x∈R,sin x≥1 C.綈 p:?x0∈R,sin x0>1 D.綈 p:?x∈R,sin x>1 2 6.“存在整数 m0,n0,使得 m2 ) 0=n0+2 011”的否定是( 2 2 A.任意整数 m,n,使得 m =n +2 011 2 B.存在整数 m0,n0,使得 m0 ≠n2 0+2 011 2 2 C.任意整数 m,n,使得 m ≠n +2 011 D.以上都不对 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述 为________________. 8.写出命题:“对任意实数 m,关于 x 的方程 x2+x+m=0 有实根”的否 定为: _________________________________________________________________ _______. 9.下列四个命题: ①?x∈R,x2+2x+3>0; ②若命题“p∧q”为真命题,则命题 p、q 都是真命题; ③若 p 是綈 q 的充分而不必要条件,则綈 p 是 q 的必要而不充分条件. 其中真命题的序号为________.(将符合条件的命题序号全填上) 三、解答题 10.指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假. (1)若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0. (2)对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 tan x1<tan x2. (3)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin x|. (4)?x0∈R,使 x2 0+1<0.

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11.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)有些质数是奇数; (2)所有二次函数的图象都开口向上; (3)?x0∈Q,x2 0=5; (4)不论 m 取何实数,方程 x2+2x-m=0 都有实数根.

12.给出两个命题: 命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?, 命题乙:函数 y=(2a2-a)x 为增函数. 分别求出符合下列条件的实数 a 的范围. (1)甲、乙至少有一个是真命题; (2)甲、乙中有且只有一个是真命题.

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【能力提升】 13.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________. 14.已知綈 p:?x∈R,sin x+cos x≤m 为真命题,q:?x∈R,x2+mx+ 1>0 为真命题,求实数 m 的取值范围.

1.判定一个命题是全称命题还是特称命题时,主要方法是看命题中是否含 有全称量词或存在量词,要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词,这 时我们就要根据命题所涉及的意义去判断. 2.要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验 证 p(x)成立;但要判定一个全称命题是假命题,却只需找出集合 M 中的一 个 x=x0,使得 p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”).要 判定一个特称命题为真命题, 只要在限定集合 M 中, 至少能找到一个 x=x0, 使得 p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题. 3.全称命题和特称命题的否定,其模式是固定的,即相应的全称量词变为 存在量词,存在量词变为全称量词.具有性质 p 变为具有性质綈 p.全称命 题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

§ 1.4
知识梳理
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全称量词与存在量词

1.(1)所有的 任意一个 ? 2.(1)存在一个 至少有一个

(2)全称量词 (3)?x∈M,p(x) ? (2)存在量词 (3)?x0∈M,p(x0)

3.(1)?x0∈M,綈 p(x0) (2)?x∈M,綈 p(x) 4.结论 结论 条件 作业设计 1.C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”,即“高二(一)班有的同学不是团 员”,是特称命题.] 2.D [“存在”是存在量词.] 3.B [A、B、D 中命题均为全称命题,但 A、D 中命题是假命题.] 4.B 5.C [全称命题的否定是特称命题,应含存在量词.] 6.C [特称命题的否定是全称命题,应含全称量词.] 7.?x0<0,使(1+x0)(1-9x0)>0 8.存在实数 m,关于 x 的方程 x2+x+m=0 没有实根 9.①②③ 10.解 (1)(2)是全称命题,(3)(4)是特称命题. (1)∵ax>0 (a>0,a≠1)恒成立,∴命题(1)是真命题. (2)存在 x1=0,x2=π,x1<x2, 但 tan 0=tan π,∴命题(2)是假命题. (3)y=|sin x|是周期函数,π 就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题. (4)对任意 x0∈R,x2 0+1>0,∴命题(4)是假命题. 11. 解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题, 其否定为“所有质数都不是奇 数”,假命题. (2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题, 其否定为“有些二次函 数的图象不是开口向上”,真命题. (3)“?x0∈Q,x2 x2≠5”,真命题. 0=5”是特称命题,其否定为“?x∈Q, (4)“不论 m 取何实数,方程 x2+2x-m=0 都有实数根”是全称命题,其否 定为“存在实数 m,使得方程 x2+2x-m=0 没有实数根”,真命题. 12.解 甲命题为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0, 1 即 a> 或 a<-1. 3 1 乙命题为真时,2a2-a>1,即 a>1 或 a<- . 2 (1)甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集, 1 1 ∴a 的取值范围是{a|a<- 或 a> }. 2 3 (2)甲、乙有且只有一个是真命题,有两种情况: 1 1 甲真乙假时, <a≤1,甲假乙真时,-1≤a<- , 3 2 ∴甲、乙中有且只有一个真命题时 a 的取值范围为 1 1 {a| <a≤1 或-1≤a<- }. 3 2 13.存在 x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3

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解析 全称命题的否定是特称命题,全称量词“任何”改为存在量词“存 在”,并把结论否定. 由綈 p 为真,即 p:?x∈R,sin x+cos x>m 为假命题,由 sin x+ ? π? cos x= 2sin?x+4 ? ∈[- 2, 2], ? ? 又 sin x+cos x>m 不恒成立,∴m≥- 2. 又对?x∈R,q 为真,即不等式 x2+mx+1>0 恒成立, ∴Δ=m2-4<0,即-2<m<2, 故 m 的取值范围是- 2≤m<2. 14.解

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