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求函数值域的几种常见方法

求函数值域的几种常见方法
一、 常见函数的值域。
1, 一次函数 y ? kx ? b, x ? R 的定义域和值域都为 R. 2, 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,定义域为 R, 当 a ? 0 时值域为 [

4ac ? b 2 , ??) , 4a

4ac ? b 2 当 a ? 0 时值域为 (??, ]。 4a
3, 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 定义域为 {x | x ? 0} ,值域为 { y | y ? 0} 。 x

4, 指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 R,值域为 (0, ??) 5, 对数函数 y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0, ??) ,值域为 R

一. 观察分析法:利用常见函数的值域来求。
例 1.求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1 ? x ? 1) ② f ( x) ? 2 ? 4 ? x ②∵ 4 ? x ? [0,??) ∴ f ( x) ? [2,??)

解: ①∵-1 ? x ? 1, ∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5, 即-1 ? y ? 5, ∴值域是[-1, 5]

王新敞
奎屯

新疆

即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2}

王新敞
奎屯

新疆

二、 分离常数法:主要针对形如 y ?

cx ? d 的分式函数,先做分离,然后观察。 ax ? b

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求函数值域的几种常见方法

三、 换元法(一定要注意引入新元的取值范围) 。

四.分段函数的值域问题(一定要画图)
例 6.求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域.
?2 x ? 1 ( x ? 2) ? 解: 将函数化为分段函数形式:y ? ?3 (?1 ? x ? 2) , 画出它的图象, ? ??2 x ? 1 ( x ? ?1) 由图象可知,函数的值域是{y|y ? 3}.
y

3

-1 O

2

x

五、配方法(用于求二次函数的值域)
例 1,求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 5 的值域。 解:将函数配方可得 y ? x2 ? 2 x ? 5 ? ( x ? 1)2 ? 4 ? 4 , 所以值域为 [4, ??)
计算能力不怎么好,或者是不怎 么熟悉配方法的同学,建议不要 用该方法。先确定开口方向,然 后找出对称轴,最后在草稿纸上 画个草图结果就出来了

六、单调性法(先求定义域,在代入端点值计算)

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求函数值域的几种常见方法

二次函数在给定区间上的值域及最值问题(非常重要) 。
此类问题多采用数形结合的思想来解决,即画出二次函数的图像,再在对应区间上找值域或最值。

例 1. 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1; ③ y ? x ? 4 x ? 1, x ? [0,1] ;
2

② y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [3,4] ; ④ y ? x ? 4 x ? 1, x ? [0,5] ;
2

y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 x

解:①∵抛物线的开口向上,对称轴 x ? 2 ,函数的定义域 R, ∴x=2 时,ymin=-3 , ∴函数的值域是{y|y ? -3 }. ②∵抛物线的开口向上,对称轴 x ? 2 ? [3,4],此时 y ? x 2 ? 4 x ? 1 在[3,4] ∴当 x=3 时, y min =-2 当 x=4 时, y max =1 ∴值域为[-2,1].
重要的事情 说三遍, 画图 画图,画图

③∵抛物线的开口向上,对称轴 x ? 2 ? [0,1], 此时 y ? x 2 ? 4 x ? 1 在[0,1] ∴当 x=0 时, y max =1 当 x =1 时, y min =-2 ∴值域为[-2,1].

④∵抛物线的开口向上,对称轴 x ? 2 ? [0,5], ∴当 x=2 时, y min =-3 当 x=0 时,y=1; x=5 时,y=6 ;所以 y max =6 ∴值域为[-3,6].

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