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2015年全国高中数学联赛山西赛区预赛


3 2  

中 等 数 学 

2 0   1   5年全 国高 中数 学联赛 山西赛 区预赛 
中图分 类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 : 1 0 0 5~6 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 0 5— 0 0 3 2~ 0 4  





填 空题 ( 每小题 8 分, 共6 4分 )  

5 . 设椭 圆  +   =1 ( 0 > b > o ) 的两焦点 
“   U 

1 . 设集合 M ={ 1 , 2 , …, 1 2 } , 三元集 A=   { a , 6 , C } 满足 A   CM, 且a +b + C 为平方数. 则 
集合 A的个数 为一  

与短 轴 一 端 点 组 成 一 个 正 三 角 形 三 顶 点.  

若焦点到椭 圆上 的点 的最短距离 为√ 3 , 则 
( a , b )= — — 。  

2 . 若s i n  + e 0 s  = ÷, 贝 0  
J   s i n   一C O S   J=  
‘——— 

6 . 数列 { a   } 的各项 为互 异正数 , 且其 倒 
数构成等差数列. 则 

!  ±  
的值域为— —  

±: : : ±   ! !  
n1 a2   0 1 5  

一  

— — — —

_

.  

3 ? 函数 y =  

7 . 设  =√   3  + 1+, / 3 r + 1+  3   + 1 ,   4 . 一个 长方体 的体 积 为 8立方 厘 米 , 全 

其中,  + Y 十  =1 ,  、   、   ≥0 . 贝 0 [ a ]= — —  

表面积为 3 2平方厘米. 若其长 、 宽、 高成等 比 

( [  ] 表示不超过实数  的最大整数 ) .  
8 . 将各位数字 和为 8的全体正整数 按 自  
)  上   上  

数列 , 则此长方体全部棱长之和为— —_ .  
( 2 ) 第 二 位仍 是 1 的  位数 , 这 些 数从  第二位 起的后 n 一 1 位 上 的数 字是 由数字 1 ,   2 , …, 6 构 成 的首位 数 字是 1 且 含有 1 、 6相 

C n   " - 6C n - 1+- 9C n - 2+  

,  

其 中, c   = o , c   =   .   故c   一 1 =   5( c  
一  

邻 的 n一 1 位数 , 共有 b n - 1 个;   ( 3 ) 第二位是 2 、 3 、 4 、 5之一 的且含有 1 、  
6 相邻 的 n位数 , 这些数 的后  一 2位是 由数  字 1 , 2 , …, 6构成 的且含有 1 、 6 相 邻 的数 , 共 
有4 n   一 2 个.  



1 )+   1( c  
一  



1 ) .  

再令 d   = C   一 1 . 于是 ,  
dn=   5  
一  

1  
+ 
一  



d  : 一1, d :: 一  

.  

故b   = 6   + 6   一 1 + 4 a   由式① 、 ②得 
  - 2 a  =5 a   l+4 口   2+2 ×6
一 一

② 

=  

.  

2 4 6

篆 (   厂+   ( I   1 2   r J   ’  
5 + 1  ̄ 1 - 1  +  

又以 1 = 0 , 以 1 = 2 , 从而 ,  
a  
~ !  

5  a   一 1  
+  

1  a   一 2  
+ 一

1  
 

 ̄ a n = 6 n [  

6“   6  6  一   。9  6  一   ‘1 8。  

令C n :   a R 则 


2 4 6  ( 5    ̄/ 1 2一 4  + ~ 1 J ] . ’  

2 0 1 6年第 5期 

3 3  

小到大 的顺序排 成一个 数列 { a   } , 称为 P数  列. 则2   0 1 5为其 中第— — 项.  
二、 解答题 ( 共5 4 分)   9 . ( 1 4分 ) 如图 1 , 给定  0P :   + y Z : 2 x , 抛物线 S : Y   = 4 x ,  
— —

参 考 答 案 


1. 2 6 .  

由6 ≤口+b+c ≤3 3 , 知在此 范围 内的平  方数有 9 、 1 6 、 2 5 , 不妨设 a< b< c .  

过 圆心 P作 直 线 Z , 此 直线 与 上述 两 曲线 的  四个交点 自上而下顺 次记 为 A 、 B、 c 、 D . 若线 
段A B 、 B C 、 C D 的长按 此顺 序 构 成 一 个等 差  数列 , 求直线 Z 的方程.  

若 a + b+ C = 9 , 则 C的取 值 只有 6 、 5 、 4   这三种情形 , 此时,  

A={ 1 , 2 , 6 } , { 1 , 3 , 5 } , { 2 , 3 , 4 } ;  
若 a + b + C = 1 6 , 则7 ≤c ≤1 2 , 可取 

A={ 1 , 3 , 1 2 } , { 1 , 4 , 1 1 } , { 2 , 3 , 1   1 } ,  

A l , ,  

{ 1 , 5 , 1 O } , { 2 , 4 , 1 0 } , { 1 , 6 , 9 } ,  

{ 2 , 5 , 9 } , { 3 , 4 , 9 } , { 1 , 7 , 8 { ,  
{ 2 , 6 , 8 } , t   3 , 5 , 8 } , { 3 , 6 , 7 } ,  
~  

D 

{ 4 , 5 , 7 } ;  

若 a+ b + C = 2 5 , 则1 0 ≤c ≤1 2 , 此时,  

f  

\  
图1  

A={ 2 , 1 1 , 1 2 } , { 3 , 1 O , 1 2 } , { 4 , 9 , 1 2 } ,  

t   4 , 1 0 , 1 1 } , { 5 , 8 , 1 2 } , { 5 , 9 , 1 1 } ,   { 6 , 7 , 1 2 } , { 6 , 8 , 1 1 } , { 6 , 9 , 1 0 } ,  
{ 7 , 8 , 1 0 } .  

1 O . ( 2 0 分) 如图 2 , A 。 、 B   、 C 1 为△ A B C的 

外接 圆oD上 的点 , 满 足  。 / / B B   / / C C   , P   为o0上 的任 意一 点. 若 直线 P A   与B C 、 P B  
与A C 、 P c l 与A B分别 交 于点 D、  、 F , 证明:  
D 、  、 F三点共线.  
A1  

共得 2 6 个集合 A .  
2.   .  

由条件得 
2 s i n " C O S   _( s i n  + c 0 s   一  

( s i n   a- c o s  ) 2  1 — 2 s i n   。 s  = 4 9    
I   s i n   O L -C O S   0 【 I=   7
. 

D 

3 . 【 o ,  
由条件知  ∈[ 一 1 , 1 ] .   令  = C O S  (   ∈[ 0 , 丁 c ] ) . 贝 0  
图2  
= 

( y ≥0 )  

1 1 . ( 2 O分 ) 若 集 合 M ={ 1 , 2 , …, 2 0 0}  
的子集 A中的每个元素均可表 为两个 自 然数 

2 y  s i n   -y e o s   0 c  


( 允许相 同) 的平方 和 , 求集 合  中元 素个数  的最 大值.  

√ 1 +  s i n ( a +   )  

≤ ̄ / 1 +  

中 等 数 学 
1+y 2>  ̄ 4y z   ≤ 
. 

设倒数数列公差为 d ( d #O ) .  
由条件知 

因 为 y  所  E [ o ,  
4 . 3 2厘 米 .  





 

: …
:  

一  

= …= 一1 _一  - _= :   d①  l   l   J  
: … : —

口2  

01  

口3  

02  

a2   0 1 5  

a2   0 1 4  

:  

二   :… :  
a2 a3   a2   o 1 4a2   0 1 5  

:( f .  

设 公 比 为 g , 长 、 宽 、 高 分 别 为  、 口 、 詈 .  
则 a 。 =8   a= 2 .  

al a2  

据 合分 比性质得 
— — —  

L 一

:d


又 2 ( g 口 ‘ 。 + 口 。 詈 + g 。 。 詈 ) = 3 2  
.   j   g + 一 + 1 :4 q   1

0l a2 + a2a3 + …

+  2   0 l 4a2   0 l 5  

⑦   一 

又 由式① 知 

一 一 一



2   O1 4d  

a2   0 1 5  

l  

故1 2条 棱长之和为 


2   O 1 4 d .  

③ 

4 ( g 口 + 詈 + 。 ) = 8 ( g +   1 十 一 ) = 3 2 .  
5 . ( 2 √ 3 , 3 ) .  
如图3 , 设焦 点 为 F   ( 一C , 0 ) , F 2 ( C , 0 ) ,  

口l a2   0 1 5  

由式② 、 ③得  !  
7. 4.  

±: : : ±  
01 a2   01 5  

: 2   0 1 4
. 

其中, c =√ 0   一 b   , 长轴一端点为 A ( 口 , 0 ) ,  
短轴一端点为 B ( O , 6 ) .  
V 

注意到 ,   a   =( 3 x+1 )+( 3 y+1 )+( 3  +1 )+  

B 

2  ̄ / ( 3 x + 1 ) ( 3 y +1 )+  
2  ̄ / ( 3 y + 1 ) ( 3   + 1 )+  
~  



— 一 ,  

{   \F   0  F 2  》 A   / 
~ .   —

2  ̄ / ( 3 z +1 ) ( 3  + 1 )  
≤3 ( ( 3 x+ 1 )+( 3 y+1 ) +( 3   + 1 ) )= 1 8 .  

图 3  

则口 ≤、 , / 1 8< 5 .  
又0 ≤  、 Y 、   ≤1 , 于是 ,  
≥  , y>  ̄y 2
,  

则B F 1 = B F 2 = F 1 F 2 , 且B F 1 +  F 2 = 2 a .  
于是 , a= 2 c .  

≥  .  

又设 P为椭 圆上 的任意一点 , 则 
P F 1 +P F 2 = 2 a:( a+ c )+( a—c ) .   因为 P F 1 ≤F 1   0+O P<  ̄c+ a , 所以 ,  
PF2 ≥  一C .  

故0 ≥   雨


+  

+  

(  +1 )+( Y+1 )+(  +1 )= 4 .  

从而, 4 ≤  < 5   [ a ] = 4 .  
8. 8 3 .  


故焦 点 到 椭 圆上 的 点 的 最 短 距 离 为  a— c , 此时, 点 P与长轴端 点重合 , 即  
a — c =  .  

位数时 , 只有 8这一个数.  

两位数 时 , 首位 可分别 取 1 , 2 , …, 8 , 共  有八个 数.  
三位数 时 , 考虑 形 如  的三位 P型数.  

于是 , c =   , a = 2 , 3, b = 3 .   因此, ( a , b ) =( 2 , 3, 3 ) .  
6. 2   O1 4 .  

记首位为  的这种 三位数有  ) 个.   若 = 1 , 则Y 可取 0到 7中任一值 , 而当  x , y 确定后 , z 值 随之确定 , 此 时产 生八个 数 ,  

2 0 1 6年第 5期 

3 5  

且 口 / . ( 1 )=8 ;  

BPF =  
L L J  ●. ~

C】=  

CP 】=  
● 一


 

.  

类似地 ,  2 ) = 7 , …,   8 ) = 1 .   因此 , 三位 P型数 的个数为 
l+2 + … +8=3 6 .  

  A E  s   c D  s   B F   A E CD BF  s m EC  DB FA   s  P E C  S  P D B  s  P F A  

s    ̄ E  s   C D  s   B F   s   D B  s   F A  s   E C  
PA? PE PC? PD PB? PF   1   PB? PD P A? pF  PC? PE 

四位数 时 , 考虑形 ̄ H l x y z 的四位 P型数.   若  = 0 , Y 可取 0到 7中任一值 , 而当 、   Y 确定后 ,  值随之确定 , 此 时产生八个数 ;   若  = 1 , Y 可取 0到 6中任一值 , 而当  、   Y 确定 后 ,   值随之确定 , 此 时产生七个数 ;  
若  = 7 , y 、 z 只可取 0 。   因此 , 形 ̄ l x y z 的四位 P型数 的个 数为 
l+2 + … + 8 = 3 6.  

结合梅涅劳斯定理 的逆定理 , 知 D、 E 、 F三点  共线.   1 1 . 注意 到 , 不超过 2 0 0的平方数 为 
0  , 1  , 2  , … , 1 4   .  

首先 , 1   , 2   , …, 1 4  中的每个 数 k   可表 
为k  +0  的形 式 , 这 种数 共有 1 4个 ; 而 1  ,  

注 意到 , 形 ̄ H 2 x y z 的四位 P型数 有两个 ,  
即2   0 1 6 、 2   0 1 5 .  

2   , …, 1 O   中的每一 对数 ( 允许相 同 ) 的和在  集合  中 , 这种数 有 c   。 +1 0= 5 5个 , 其中,  
+   形式 的数 1 o个 ,  +  (  ≠  ) 形式 的 

综上 , 2   0 1 5 为第 1 + 8 + 3 6+ 3 6+ 2= 8 3   个 P型数 , 即a 8 3 = 2   0 1 5 .  
二、 9 . 由条件 知  OP: (  一1 )  +y 2 =1 ,  

数c 2 0 个.  
其次 , l 1  +   (   =1 , 2 , …, 8 ) 形 式 的数 
8个 ,  

其直径长 l B C I = 2 , 圆心 P ( 1 , O ) .   设直线 Z : k y=  一1 , 即  =k y+1 .   代人抛物线方程得 y 2 = 4 k y + 4 .  
设 A(  1 , Y 1 ) , D(   2 , Y z ) . 则 
f Y 1+Y 2=4 k,  

l 2   +  (  = l , 2 , …, 7 ) 形式的数 7 个,   1 3   +  (  = 1 , 2 , …, 5 ) 形式 的数 5 个,   1 4   +  (  = 1 , 2 ) 形式 的数 2 个,  
共计 2 2个.  

再考虑重 复的情形.  

【 y 1 Y 2 =一 4  

注意到 , 若 
=a  +b   , Y=c   +d   ( a ≠6 , c #d ) ,   贝 0   x y=(   c +6 d )  +( 0 d一6 c )  


( Y 1 一 Y 2 )  =( Y 1 +   2 )   4 y l Y 2   I A DI  =( Y l — y 2 )   ( 1 + k 2 )= 1 6 ( k 2 + 1 )  
j  A D= 4 ( k   +1 ) .  
又 2   I   BCI =l  B  l +I   C D  I =l  D  l—I   BC   J  
l AD  l=3   l   Cl=6  

( a c —b d )  +( 口 d+6 c )   .  

不超过 4 0且 能表示 为两 个不 同正整数 
的平方和的数有 
5、 1 0  1 3 、1 7、 2 0  2 5、 2 6  2 9  3 4  3 7、 4 0  

4 ( k  +1   1= 6  
k= ±   .  
, 1 

该组 中的每个数 与 5的积 , 以及 1 3  均 在集  合 M 中, 且 均可 用 两种 方 式表 示 为平 方 和 ,   + 1 或 =一   / O  + 1
. 

因此 , 直线 z :  =  

故各 被计 算 了两次 , 累计 有 l 2次 重 复 ( 1 0 、  
1 3 、 1 7 、 2 0与 1 0的积 已包 含 在 以上 乘 积 组 
中) .  

l 0 . 注意 到 , 点 D 、 E、 F分 别 在直 线 B C 、  
C A 、 A B上 .  

因此 , 集合 A中元 素个数 的最大值为 
1 4 +5 5+2 2— 1 2=7 9.  

则  A P E=   A P B 1 =   B A A 1 =/ B P D,  
A   =7 c 一   A P C1=  一   C P Al=   C P D,  

( 王

光 提供 )  


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