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1.1.1正弦定理(习题课)


§1.1.1 正弦定理习题课
赵海龙 2009-8-16

一、课标要求 【学习目标】 1、进一步熟悉正弦定理及其性质 2、会运用“正弦定理”和有关性质解斜三角形的两类基本问题。 【学习重点】 正弦定理解“两边一角,边角相对”题型的三角形。 【学习难点】 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 二、 【典例解析】

b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C 。 例 1、① 证明: 设三角形的外接圆半径是 R , 则 a ? 2 R sin A ,
② 在 ?ABC 中,如果有性质 a cos A ? b cos B ,试判断 ?ABC 的形状。

练习: 在 ?ABC 中,已知 lg(sin C ? sin A) ? lg(sin C ? sin A) ? 2 lg sin B ,求证: ?ABC 为 直角三角形。

例 2、在 ?ABC 中,已知 a ? 14cm , A ? 45? ,试在下列条件下解三角形: ① b ? 7 2 cm ② b ? 7 6 cm ③ b ? 20 cm

练习: 在 ?ABC 中, A ? 60? , a ? 4 3 , b ? 4 2 ,求角 B 。

例 3. 在 ?ABC 中,已知 a ? 2 , b ? x , B ? 45? ,则 ①、若三角形有一解,则 x 的取值范围是:___________ ; ②、若三角形有两解,则 x 的取值范围是:___________ ; ③、若三角形有零解,则 x 的取值范围是:___________ ;

【思维提高】 如何判断三角形解的个数? ① 解三角形问题:

先利用正弦定理求出三角形的某一个角,然后再利用三角形 的性质“大角对大边,小角对小边”舍去不符合条件的解。
② 仅仅判断解的个数问题:

数形结合法: 首先画出示意图:已知角画在左下方,已知角的临边画在左 上方,并以其端点为圆点,已知角的对边为半径,画圆,然后考 虑圆与底边的交点个数。
【针对性练习】 在 ?ABC 中,已知 a ? 2 , b ? x , A ? 45? ,则 ①、若三角形有一解,则 x 的取值范围是:___________ ; ②、若三角形有两解,则 x 的取值范围是:___________ ; ③、若三角形有零解,则 x 的取值范围是:___________ ;

课下作业
1. 在 ?ABC 中, b ? 2 2 , a ? 2 ,且三角形有两解,则 A 的取值范围是 _________。

2. 判断下列三角形解的个数 ① a ? 4 , b ? 5 , A ? 30?

② a ? 5 , b ? 4 , A ? 60?

③ a?

3 , b ? 6 , A ? 60?

④ a?

3 , b ? 2 , B ? 120 ?

3. 求证:任意的 ?ABC 中,有 a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0


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