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高中数学1-3-2球的体积和表面积课件新人教A版必


第一章
空间几何体

第一章
1. 3 空间几何体的表面积与体积

第一章
1.3.2 球的体积和表面积

课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新

课前自主预习

温故知新 在初中,我们已经学习了圆的概念和周长、面积公式, 即圆是“在平面内到定点的距离等于定长的点的集合”,周
2 2π r π r 长c= ,面积S= ,其中r是圆的半径,而球面是“在空

间中到定点的距离等于定长的点的集合”.以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半圆旋转一周,形成的旋转体叫做 球 ,半 圆的圆心叫 球心 ,半圆的 半径 叫球的半径.

新课引入 空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一,在生活 中有着重要应用的是度量几何体的表面积和体积.如图,是 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰 激凌融化了,会溢出杯子吗?在实际操作中如何解答呢?

自主预习 阅读教材P27-28,回答: 1.球的体积
4 3 πR 3 球的半径为R,那么它的体积V= .

半径为3的球的体积是( A.9π B.81π

) C.27π D.36π

[答案] D
[解析] 4 V= π×33=36π. 3

2.球的表面积 球的半径为R,那么它的表面积S= 4πR2 .

半径为 2的球的表面积等于________.

[答案]



[解析] S=4π×( 2)2=8π.

3.与球的关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为R的球,则2R= a2+b2+c2 (a、b、c分别为长方体的长、宽、高),若正方体 内接于球,则2R= 3a(a为正方体的棱长); (2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面,则2R =a.

[知识拓展]对球的表面积与体积公式的几点认识: (1)从公式看,球的表面积和体积的大小,只与球的半径 相关,给定R都有唯一确定的S和V与之对应,故表面积和体积 是关于R的函数. (2)由于球的表面不能展开成平面,所以,球的表面积公 式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导 方法是不一样的. (3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得 的圆)面积的4倍.

一个长、宽、高分别为2,1,2的长方体,则它的外接球的 表面积为________,体积为________.

[解析] 4 3 9 =3πR =2π

2R= 2 +1 +2

2

2

2

3 ∴R= ,S=4πR2=9π, S 2

9 [答案] 9π, π. 2

思路方法技巧

命题方向

球的表面积与体积

[例1] ________.
[解析]

一个球的体积为36πcm3,则此球的表面积为

4 3 由 πR =36π得,R=3, 3

∴S表=4πR2=36π(cm2).故填36πcm2.

(1)已知球的直径为6cm,求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积为64π,求它的体积. [分析] 借助公式,求出球的半径,再根据表面积或体

积公式求解.

[解析]

(1)∵直径为6cm,

∴半径R=3cm, ∴表面积S球=4πR2=36π(cm2), 4 3 体积V球=3πR =36π(cm3). (2)∵S球=4πR2=64π, ∴R2=16,即R=4. 4 3 4 256 3 ∴V球=3πR =3π×4 = 3 π.

[反思]

确定一个球的条件是球心位置和球的半径,已知

球半径可以利用公式求它的表面积和体积;反过来,已知体 积或表面积也可以求其半径.

[例2]

(1)火星的直径约为地球直径的一半,地球的体积

约是火星体积的多少倍? (2)木星的表面积约为地球表面积的120倍,木星的体积约 是地球体积的多少倍?

[解析]

(1)设火星的半径为R,则地球的半径为2R,

4 3 π ? 2 R ? V地 3 因此 = =8. 4 3 V火 πR 3 故地球的体积约是火星体积的8倍.

(2)设木星和地球的半径分别为r、R. 依题意,有4πr2=120×4πR2,解得r=2 30R. 4 3 4 3 π r π ? 2 30 R ? V木 3 3 所以 = = =240 30. 4 3 V地 4 3 3πR 3πR 故木星的体积约是地球体积是240 30倍.

[点评]

求解球的体积的大小问题,实际是转化为求它们

的半径之间的关系.

一个球的大圆面积扩大到原来的100倍,那么这个球的 体积有什么变化?

[答案]

球的体积扩大到原来1 000倍.

两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径 为( ) A.2 C. 2 3 B. 2 13 D. 4 2

[答案] C

[解析] 3

4 3 4π 设大球半径为r,则 πr =2× , 3 3

∴r= 2,故选C.

命题方向

根据三视图计算球的体积与表面积

[例3]

某个几何体的三视图如图所示(单位:m)

(1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积. [分析] 本题条件中给出的是几何体的三视图及数据,解

题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状,然后 根据侧视图与正视图确定几何体的形状,并根据有关数据计 算.

[解析]

由三视图知,此几何体是一个半径为1的半球和

一个棱长为2的正方体组成, (1)S=S半球+S正方体表面积-S圆 1 = ×4π×12+6×2×2-π×12 2 =24+π(m2) (2)V=V半球+V正方体 1 4 = × π×13+23 2 3 2 =8+3π(m3)

(2011-2012· 日照高一检测)某器物的三视图如图所示, 根据图中数据可知该器物的体积为( )

4 A.3π 4 15 C.3π- 3 π

15 B. 3 π 4 15 D.3π+ 3 π

[答案] D

[解析]

由三视图知此几何体为一个球和一个圆锥,V=V

4 1 4π 15 3 2 + π,故选D. 球+V圆锥= ×π×1 + π×1 × 15= 3 3 3 3

探索延拓创新

命题方向

有关球的切、接问题

常见的几何体与球的切、接问题的解决策略: (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要 注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对 称性,球心总在几何的特殊位置,比如中心、对角线的中点 等.

(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球 的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截 面图,把空间问题转化为平面问题来计算. (3)此类问题的具体解题流程:

[例3]

(2010· 全国高考)设长方体的长、宽、高分别为 )

2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( A.3πa2 C.12πa2 B.6πa2 D.24πa2

[分析]

条件中给出的是长方体的外接球,求球的表面

积,关键是求其半径,确定球心.据长方体与球的对称性可 知,球心是长方体的体对角线的中点,由长方体的三条棱长 可求体对角线长,则球的表面积易求.

[解析]

由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长

方体的体对角线为 ?2a?2+a2+a2 = 6 a,又长方体的外接球 的直径2R等于长方体的体对角线,所以2R= 6 a,则S球=4πR2
? =4π? ? ?

6 ? ?2 2 = 6π a . a 2 ? ?

[答案] B

若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的 表面积为________.
[答案] 27π

[解析] 所示,

过正方体的相对侧棱作球和正方体的截面,如图

则球心O是BD的中点,四边形ABCD是矩形. AD是正方体的棱长,AB是正方体的一个面的对角线,所 以AB=3 2,AD=3, 3 3 则BD= AB +AD =3 3 ,则球的半径R= 2 ,所以该
2 2

球的表面积为4πR2=27π.

[反思]

(1)球的表面积和体积公式比较简单,只要已知球

的半径,就能求得球的体积和表面积,因此有关球的表面积 和体积的计算问题的关键是明确球的半径. (2)解决与球有关的组合体问题时,通常画出过球心的截 面,将立体几何问题转化为平面几何问题来解决.

课堂基础巩固

1.直径为6的球的表面积和体积分别是( A.36π,144π C.144π,36π B.36π,36π D.144π,144π

)

[答案] B

2.若一个球的体积扩大到原来的27倍,则它的表面积扩 大到原来的( A.3倍 C.9倍 ) B.3 3倍 D.9 3倍

[答案] C

3.若一个球的外切正方体的表面积等于6cm2,则此球的 体积为( ) B. 6 πcm3 8

1 A. πcm3 6 4 C. πcm3 3

6 D. πcm3 6

[答案] A

4.两个球的半径之比为1:3,那么两个球的表面积之比为 ( ) A.1:9 C.1:3 B.1:27 D.1:1

[答案] A

[解析] 4πr2 1 = . 4π?3r?2 9

设两球的半径分别为r、3r,则表面积之比为

5.如果两个球的体积之比为8:27,那么这两个球的表面 积之比为( A.8:27 C.4:9 ) B.2:3 D.2:9

[答案] C

[解析]

4π 2 r 3 8 设这两个球的半径分别为r、R,则 4π = 27 ,所 R3 3

r 2 4πr2 r 2 4 以R=3,则这两个球的表面积之比为4πR2=(R) =9.

6.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中, 水面升高4cm,则钢球的半径是________.

[答案] 3cm

[解析]
2

圆柱形玻璃容器中水面升高4cm,则知钢球的体

4 3 积为V=π·3 · 4=36π,即有 πR =36π,∴R=3. 3

7.某空心钢球的质量为142 g,外径为5.0cm,求它的内 径(钢的密度为7.9 g/cm3). [分析] 本题中的球为空心钢球,是在大球的内部挖去一

个小球,钢球的质量为钢的密度×体积,因此解决本题的关 键是求大球与小球体积之差.

[解]

设球的内径为2xcm,由已知得

4 53 3 π[( ) -x ]×7.9=142, 3 2 5 3 142×3 则x =(2) - ≈11.3. 7.9×4π
3

∴x≈2.24cm,∴2x≈4.5cm,即所求钢球的内径约为 4.5cm.


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