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第23课时:第三章 数列——等差数列、等比数列的性质及应用


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一.课题:等差数列、等比数列的性质及应用 二.教学目标:熟练掌握等差(比)数列的基本公式和一些重要性质,并能灵活 运用性质解决有关的问题,培养对知识的转化和应用能力. 三.教学重点:等差(比)数列的性质的应用. 四.教学过程

: (一)主要知识: 有关等差、等比数列的结论 1. 等差数列 {an } 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , 等差数列. 2.等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 3.等比数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 4.等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , 等比数列. 5.两个等差数列 {an } 与 {bn } 的和差的数列 {an ? bn } 仍为等差数列.
?a ? ? 1 ? 6.两个等比数列 {an } 与 {bn } 的积、商、倒数的数列 {an ? bn } 、 ? n ? 、 ? ? 仍为 ? bn ? ? b n ?

仍为

仍为

等比数列. (二)主要方法: 1.解决等差数列和等比数列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量法:即运 用条件转化为关于 a1 和 d (q) 的方程;②巧妙运用等差数列和等比数列的性质, 一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量. 2.深刻领会两类数列的性质,弄清通项和前 n 项和公式的内在联系是解题的关 键. (三)例题分析: 例 1. (1)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后三项的和为 146,且所有项的 和为 390 ,则这个数列有 13 项; ( 2 )已知数列 {an } 是等比数列 , 且 an >0 , n ? N* , a3a5 ? 2a4a6 ? a5a7 ? 81 ,则

a4 ? a6 ?

9



(3)等差数列前 m 项和是 30 ,前 2 m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和是 210 . 例 2.若数列 {an } 成等差数列,且 Sm ? n, Sn ? m(m ? n) ,求 Sn?m .

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解: (法一)基本量法(略) ;
? An 2 ? Bn ? m ? (法二)设 Sn ? An ? Bn ,则 ? 2 ? ? Am ? Bm ? n
2

(1) (2)

(1) ? (2) 得: (n2 ? m2 ) A ? (n ? m) B ? m ? n , m ? n , ∴ (m ? n) A ? B ? ?1,

∴ Sn?m ? (n ? m)2 A ? (n ? m)B ? ?(n ? m) .

例 3.等差数列 {an } 中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为 77 ,偶数项之和 为 66 , a1 ? 1 ,求其项数和中间项. 解:设数列的项数为 2n ? 1 项, (n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) n(a2 ? a2 n ) ? 77 , S偶 ? ? 66 则 S奇 ? 2 2 ∴

S奇 n ? 1 77 ,∴ n ? 6 ,∴数列的项数为 13 ,中间项为第 7 项,且 a7 ? 11. ? ? S偶 n 66

说明: (1)在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中 ,S偶 =na中 ,S2n +1 =(2n+1)a中 ; (2)在项数为 2n 项的等差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan?1 ,S2n+1 =n(an ? an?1 ) .
1 的等比数列,数列 {bn } 满足 10

例 4.数列 {an } 是首项为 1000 ,公比为
1 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? k ? lg ak )

(k ? N * ) ,

(1)求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n? . 解: (1)由题意: an ? 104?n ,∴ lg an ? 4 ? n , ∴数列 {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1 的等差数列, ∴ lg a1 ? lg a2 ?
? lg ak ? 3k ? k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n ]? ,∴ bn ? [3n ? 2 n 2 2

?bn ? 0 21 由? ,得 6 ? n ? 7 ,∴数列 {bn } 的前 n 项和的最大值为 S 6 ? S 7 ? 2 ?bn ?1 ? 0

(2)由(1)当 n ? 7 时, bn ? 0 ,当 n ? 7 时, bn ? 0 ,

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∴当 n ? 7 时, Sn? ? b1 ? b2 ? 当 n ? 7 时,
S n? ? b1 ? b2 ? ? b7 ? b8 ? b9 ?

? bn ? (

3?

7?n 2 )n ? ? 1 n2 ? 13 n 2 4 4
? bn ) ? 1 2 13 n ? n ? 21 4 4

? bn ? 2 S7 ? (b1 ? b2 ?

? 1 2 13 ? n ? n (n ? 7) ? ? 4 4 ∴ Sn? ? ? . 1 13 2 ? n ? n ? 21 (n ? 7) ? ?4 4

例 5* .若 Sn 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,对任意自然数 n ,有
an ? ? 2n ? 3 , 4Tn ?12Sn ? 13n , ( 1 )求 数 列 {bn } 的 通项 公 式 ; (2)设集合 2

* , A ?{x | x? 2a ? N } n ,n

若等差数列 {cn } 任一项 cn ? A B, c1 是 A B 中的最大数, B ? {y | y ? 4bn , n ? N *} . 且 ?265 ? c10 ? ?125 ,求 {cn } 的通项公式.

?4T ? 12Sn ? 13n 解: (1)当 n ? 2, n ? N * 时: ? n , ?4Tn?1 ? 12Sn?1 ? 13(n ? 1)
两式相减得:4bn ?12an ? 13 ,∴ bn ? 3an ?
5 ∴数列 {bn } 的通项公式为 bn ? ?3n ? . 4

13 5 17 ? ? 3n? ,又 b1 ? ? 也适合上式, 4 4 4

(2 )对任意 n ? N * , 2an ? ?2n ? 3, 4bn ? ?12n ? 5 ? ?2(6n ? 1) ? 3 ,∴ B ? A ,∴
A B? B

∵ c1 是 A B 中 的 最 大 数 , ∴ c1 ? ?17 , 设 等 差 数 列 {cn } 的 公 差 为 d , 则

c10 ? ?17 ? 9d ,
5 7 ? d?? 1 2 , ∴ ?265 ? ?17 ? 9d ? ?125 , 即 ?2 又 4bn 是一个以 ?12 为公差的等差 9 数列,

∴ d ? ?12k (k ? N * ) ,∴ d ? ?24 ,∴ cn ? 7 ? 24n . (四)巩固练习: 1.若数列 {an } ( n ? N *)是等差数列,则有数列 bn ?
a1 ? a2 ? n ? an

( n ? N *)

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也为等差数列,类比上述性质,相应地:若数列 {cn } 是等比数列,且 cn >0 ( n ? N *) ,则有 dn ? n C1 ? C2

Cn ( n ? N *)也是等比数列.

2 . 设 Sn 和 Tn 分 别 为 两 个 等 差 数 列 的 前 n 项 和 , 若 对 任 意 n ? N * , 都 有
4 Sn 7n ? 1 ,则第一个数列的第 11 项与第二个数列的第 11 项的比是 . ? 3 Tn 4n ? 27

说明:

an S2 n ?1 . ? bn T2 n ?1

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 21,智能训练 4,8,12,14,15,16 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

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