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典型例题:空间直角坐标系1


典型例题解析
例 1:在空间直角坐标系中,作出点 M(6,-2, 4)。
z M(6,-2,4) 4 6 O y

M2 2
x

M1

例 2:已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立适当的 空间直角坐标系,写出各顶点的坐标。
P z

D A x O B

C y

例 3:在空间直角坐标系中,求出经过 A(2,3,1)且平行于坐标平面 yOz 的 平面 ? 的方程。

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参考答案
例 1: 点拨点 M 的位置可按如下步骤作出:先在 x 轴上作出横坐标是 6 的点 M 1 ,再 将 M 1 沿与 y 轴平行的方向向左移动 2 个单位得到点 M 2 ,然后将 M 2 沿与 z 轴平 行的方向向上移动 4 个单位即得点 M。 解答 M 点的位置如图所示。 总结对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间 直角坐标系中的坐标这两类题目,要引起足够的重视,它不仅可以加深对空间 直角坐标系的认识,而且有利于进一步培养空间想象能力。 例 2: 点拨先由条件求出正四棱锥的高,再根据正四棱锥的对称性,建立适当的空间 直角坐标系。 解答 ? 正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10, ∴正四棱锥的高为 2 23 。 以正四棱锥的底面中心为原点,平行于 AB、BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2, -2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0, 2 23 )。 总结在求解此类问题时,关键是能根据已知图形,建立适当的空间直角坐标系, 从而便于计算所需确定的点的坐标。 例 3: 点拨求与坐标平面 yOz 平行的平面的方程,即寻找此平面内任一点所要满足的
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条件,可利用与坐标平面 yOz 平行的平面内的点的特点来求解。 解答 ? 坐标平面 yOz⊥x 轴,而平面 ? 与坐标平面 yOz 平行, ∴平面 ? 也与 x 轴垂直, ∴平面 ? 内的所有点在 x 轴上的射影都是同一点,即平面 ? 与 x 轴的交点, ∴平面 ? 内的所有点的横坐标都相等。

? 平面 ? 过点 A(2,3,1),∴平面 ? 内的所有点的横坐标都是 2,
∴平面 ? 的方程为 x=2。 总结对于空间直角坐标系中的问题,可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的 求解方法,再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角 坐标系中,求过某一定点且与 x 轴(或 y 轴)平行的直线的方程。

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