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6本构与强度理论


第6章 岩石本构关系与强度理论
§6.1 概 述

§6.2 岩石的本构关系 §6.3 岩石强度理论与破坏判据

§6.1 概 述
岩体力学研究对象:岩体是岩块和结构面的组合体, 岩体力学研究对象:岩体是岩块和结构面的组合体,其力学性 质往往表现为弹性、塑性、粘性或三者之间的组合。 质往往表现为弹性、塑性、粘性或三者之

间的组合。 岩体力学问题求解:是将岩体划分成若干单元或称微分单元, 岩体力学问题求解:是将岩体划分成若干单元或称微分单元, 其求解过程如下: 其求解过程如下: 力的平衡关系(平衡方程) 力的平衡关系(平衡方程) + 位移和应变的关系(几何方程) 位移和应变的关系(几何方程) 边界条件 = 应力和应变的关系( 应力和应变的关系(物理方程 或本构方程) 本构方程) 应力场 位移场

依据适合的强度理论,判断岩体的破坏及其破坏形式。 依据适合的强度理论,判断岩体的破坏及其破坏形式。 岩体本构关系: 岩体本构关系:指岩体在外力作用下应力或应力速率与其应 变或应变速率的关系。 变或应变速率的关系。

岩石或岩体的变形性质:弹塑性或粘弹塑性。 岩石或岩体的变形性质:弹塑性或粘弹塑性。 本构关系:弹塑性或粘弹塑性本构关系。 或粘弹塑性本构关系 本构关系:弹塑性或粘弹塑性本构关系。 本构关系分类: 本构关系分类: 弹性本构关系:线性弹性、非线性弹性本构关系。 ①弹性本构关系:线性弹性、非线性弹性本构关系。 弹塑性本构关系:各向同性、各向异性本构关系。 ②弹塑性本构关系:各向同性、各向异性本构关系。 流变本构关系:岩石产生流变时的本构关系。 ③流变本构关系:岩石产生流变时的本构关系。流变 性是指如果外界条件不变, 性是指如果外界条件不变,应变或应力随时间而变化的 性质。 性质。 岩石强度理论: 岩石强度理论:研究岩石在一定的假说条件下在各 种应力状态下的强度准则的理论。 种应力状态下的强度准则的理论。

岩石的强度是指岩石抵抗破坏的能力。 岩石的强度是指岩石抵抗破坏的能力。 是指岩石抵抗破坏的能力 岩石材料破坏的形式:断裂破坏、流动破坏( 岩石材料破坏的形式:断裂破坏、流动破坏(出现 显著的塑性变形或流动现象)。断裂破坏发生于应力 显著的塑性变形或流动现象)。断裂破坏发生于应力 )。 达到强度极限 流动破坏发生于应力达到屈服极限 强度极限, 屈服极限。 达到强度极限,流动破坏发生于应力达到屈服极限。 岩体的力学性质可分为变形性质和强度性质, 岩体的力学性质可分为变形性质和强度性质, 可分为变形性质和强度性质 变形性质主要通过本构关系来反映, 变形性质主要通过本构关系来反映,强度性质主要 通过强度准则来反映。 通过强度准则来反映。

§6.2 岩石的本构关系
一、 岩石力学中的符号规定
(1)力和位移分量的正方向与坐标轴的正方向 一致; 一致; 压缩的正应变取为正; (2)压缩的正应变取为正; 压缩的正应力取为正。 (3)压缩的正应力取为正。 假如表面的外法线与坐标轴的正方向一致, 假如表面的外法线与坐标轴的正方向一致,则 该表面上正的剪应力的方向与坐标轴的正方向相反, 该表面上正的剪应力的方向与坐标轴的正方向相反, 反之亦然。 反之亦然。

二、 岩石弹性本构关系 1.平面弹性本构关系
据广义虎克定理有: 据广义虎克定理有:
1 ? ?σ x ? ? (σ y + σ z ) ? ? ? E? ? 1 ? ε y = ?σ y ? ? (σ z + σ x ) ? ? ? E? ? 1 ? ε z = ?σ z ? ? (σ x + σ y ) ? ? ? E? 1 1 1 ? γ yx = τ yz , γ zx = τ zz , γ xy = τ xy ? G G G ?

εx =

式中: 为物体的弹性模量; 为泊松比; 为剪切弹性模量, 式中:E为物体的弹性模量; 为泊松比;G为剪切弹性模量, ?

E G= 2(1 + ? )

对于平面应变问题: 对于平面应变问题:因εz =γzx =γyz = 0 ,故τyz =τzx=0,可知: ,可知:

σ z = ? (σ x + σ y )
?? 1? ? ? ? εx = σ y ?? ?σ x ? E ? 1? ? ?? 2 ?? 1? ? ? ? ? εy = σ x ?? ?σ y ? E ? 1? ? ?? ? 2(1 + ? ) γ xy = τ xy ? E ? ?
2

对于平面应力问题: 对于平面应力问题:σz=τzx=τzy=0
1 ? ε x = (σ x ? ?σ y ) ? E ? 1 ? ε y = (σ y ? ?σ x ) ? E ? 2(1 + ? ) ? γ xy = τ xy ? E ?

对比平面应力问题与平面应变的本构方程, 对比平面应力问题与平面应变的本构方程, 可以看出,只要将平面应力问题的本构关系式 可以看出, 中的E 中的E换成
E 1? ?2

,v 换成 1 ? ?

?



2. 空间问题弹性本构方程
1 ? ε x = ?σ x ? ? (σ y + σ z ) ? ? ? E? ? 1 ? ε y = ?σ y ? ? (σ z + σ x ) ? ? ? E? ? 1 ? ε z = ?σ z ? ? (σ x + σ y ) ? ? ? ? E ? 2(1 + ? ) 2(1 + ? ) ? γ yz = τ yz , γ zx = τ zx ? E E ? 2(1 + ? ) ? γ xy = τ xy ? E ?

三、 岩石塑性本构关系
塑性本构关系特点: 塑性本构关系特点: 应力1、应力-应变关系的多值性 同一应力有多个应变值 σ 与它相对应。 与它相对应。 本构关系采用应力和应 变增量的关系表达。 变增量的关系表达。 塑性状态描述:除用应 塑性状态描述: 应变,还需用塑性应变, 力、应变,还需用塑性应变, 0 塑性功等内状态变量来刻画 塑性功等内状态变量来刻画 内状态变量 塑性变形历史。 塑性变形历史。
卸载应力- 图6-1 加-卸载应力-应变曲线

B A 加载 卸载 C

ε

2、本构关系的复杂性 塑性阶段本构关系包括三组方程: 塑性阶段本构关系包括三组方程: 三组方程
1)屈服条件:塑性状态的应力条件。 屈服条件:塑性状态的应力条件。 2)加-卸载准则:材料进入塑性状态后继续塑性变形 卸载准则:材料进入塑性状态后继续塑性变形 或回到弹性状态的准则,通式写成: 或回到弹性状态的准则,通式写成:

φ (σ ij , H a ) = 0

式中: 式中: ij垂直于 i轴的平面上平行于 j 轴的应力 (i = x, y, z; j = x, y, z) , σ 为某一函数关系, 为与加载历史有关的参数, 。 φ 为某一函数关系,H a为与加载历史有关的参数, a = 1, 2 ??? 本构方程: 3)本构方程:

ε ij = R (σ ij )



dεij = R(dσij )

(7-7)

式中: 式中:R为某一函数关系

1)岩石屈服条件和屈服面 初始屈服条件:从弹性状态开始第一次屈服的条件。 初始屈服条件:从弹性状态开始第一次屈服的条件。

f (σ ij ) = 0
后继屈服条件:当产生了塑性变形, 后继屈服条件:当产生了塑性变形,屈服条件的形式发
生了变化的屈服条件。 生了变化的屈服条件。
f (σ ij , σ ijp , χ ) = 0

σ 式中: 为总应力, 为塑性应力, 为标量的内变量,它可以代表塑性功, 式中: ij 为总应力, ij 为塑性应力, 为标量的内变量,它可以代表塑性功,塑性体 χ σ
p

积应变,或等效塑性应变。 积应变,或等效塑性应变。

屈服面:屈服条件在几何上可以看成是应力空间中的超曲面。 屈服面:屈服条件在几何上可以看成是应力空间中的超曲面。
初始屈服面和后继屈服面。 初始屈服面和后继屈服面。

分类:按塑性材料屈服面的大小和形状 屈服面的大小和形状是否发生变 分类:按塑性材料屈服面的大小和形状是否发生变 化。理想塑性材料(不变化)和硬化材料(变化)。 理想塑性材料(不变化)和硬化材料(变化)。

( 1)硬化材料的屈服面模型
塑性变形发展时,屈服面作均匀扩大(硬化) ①等向硬化-软化模型:塑性变形发展时,屈服面作均匀扩大(硬化) 等向硬化或均匀收缩(软化) 或均匀收缩(软化)。如果 是初始屈服面,后继屈服面为: 是初始屈服面,后继屈服面为: f* =0

f = f * (σ ij ) ? H ( χ ) = 0
塑性变形发展时,屈服面的大小和形状保持不变, ②随动硬化模型:塑性变形发展时,屈服面的大小和形状保持不变, 仅是整体地在应力空间中做平动, 仅是整体地在应力空间中做平动,后继屈服面为:

f = f * (σ ij ? ασ ijp ) = 0
屈服面为: 屈服面为:

式中: 是材料参数。 式中:α是材料参数。

介于等向硬化-软化和随动硬化之间的模型, ③混合硬化模型:介于等向硬化-软化和随动硬化之间的模型,后继

f = f * (σ ij ? ασ ijp ) ? H ( χ ) = 0

(2)塑性岩石力学最常用的屈服条件
库仑(Coulomb)、德鲁克-普拉格(Drucker-Prager)屈服条件。 )、德鲁克 库仑(Coulomb)、德鲁克-普拉格(Drucker-Prager)屈服条件。

塑性状态的加2. 塑性状态的加-卸载准则
塑性加载:对材料施加应力增量后, 塑性加载:对材料施加应力增量后,材料从 一种塑性状态变化到另一种塑性状态,且有新的 一种塑性状态变化到另一种塑性状态,且有新的 塑性变形出现; 塑性变形出现; 中性变载:对材料施加应力增量后, 中性变载:对材料施加应力增量后,材料从一 种塑性状态变化到另一种塑性状态, 种塑性状态变化到另一种塑性状态,但没有新的 塑性变形出现; 塑性变形出现; 塑性卸载:对材料施加应力增量后,材料从塑 塑性卸载:对材料施加应力增量后,材料从塑 性状态退回到弹性状态。 性状态退回到弹性状态。

3.本构方程 3.本构方程
塑性状态时应力-应变关系是多值的, 塑性状态时应力-应变关系是多值的,取决材料性质和加 -卸载历史。 卸载历史。 全量理论:描述塑性变形中全量关系的理论, 1)全量理论:描述塑性变形中全量关系的理论,称形变理 论或小变形理论。 论或小变形理论。 汉基( )、依留申等依据类似弹性理论的广义胡克 汉基(Hencky)、依留申等依据类似弹性理论的广义胡克 )、 定律, 定律,提出如下公式 :

σ xx ? σ m = 2G ′ ( ε xx ? ε m ) ,τ xy = G ′γ xy σ zz ? σ m = 2G ′ ( ε zz ? ε m ) ,τ zx = G ′γ zx

σ yy ? σ m = 2G ′ ( ε yy ? ε m ) ,τ yz = G ′γ yz

2)增量理论:描述应力和应变增量间关系的理论,又 增量理论:描述应力和应变增量间关系的理论, 称流动理论。 称流动理论。 当应力产生一无限小增量时, 当应力产生一无限小增量时,假设应变的变化可分成弹 性的及塑性的两部分: 性的及塑性的两部分:
e d ε ij = d ε ij + d ε ijp

弹性应力增量与弹性应变增量之间仍由常弹性矩 联系,塑性应变增量由塑性势理论给出, 塑性势理论给出 阵D 联系,塑性应变增量由塑性势理论给出,对弹 塑性介质存在塑性势函数 , 塑性介质存在塑性势函数Q,它是应力状态和塑性应 塑性势函数 变的函数,使得: 变的函数,使得: ?Q p
d ε ij = λ ?σ ij
式中: 是一正的待定有限量,它的具体数值和材料硬化法则有关。 式中: 是一正的待定有限量,它的具体数值和材料硬化法则有关。 λ



变硬化材料, 通常取与后继屈服函数F 相同的形式, 变硬化材料,Q 通常取与后继屈服函数 相同的形式, 这种特殊情况称为关联塑性。 当Q=F 时,这种特殊情况称为关联塑性。 对于关联塑性,塑性流动法则可表示为: 对于关联塑性,塑性流动法则可表示为:
d ε ijp = λ ?F ?σ ij
?1

?Q dε = λ ?σ ij
p ij

称为塑性流动法则, 称为塑性流动法则,对于稳定的应

?F d ε ij = D d σ ij + λ 其总应变增量表示为: 其总应变增量表示为: ?σ ij
由一致性条件可推出待定有限量 由一致性条件可推出待定有限量 λ 为:
1 ?F λ= d σ ij A ?σ ij

对于系数A: 对于系数 : 理想塑性材料: 理想塑性材料: 硬化材料: 硬化材料:

A=0
?F ?Q ?F ?Q A=? D ? σ ij p ?σ ij ?σ ij ?σ kl ?u

式中: 为塑性功,这样加载时的本构方程为: 式中: u 为塑性功,这样加载时的本构方程为:

可以唯一地确定应变增量 d ε ij 。 应用增量理论求解塑性问题, 应用增量理论求解塑性问题,能够反映应变历史对塑性 变形的影响,因而比较准确地描述了材料的塑性变形规律。 变形的影响,因而比较准确地描述了材料的塑性变形规律。

? ?1 1 ?Q ?F ? d ε ij = ? D + ? dσ kl ? ? A ?σ ij ?σ kl ? ? p 只要给出了应力增量, 对任何一个状态 (σ kl , σ kl , u ) ,只要给出了应力增量,就

四、岩石流变理论
流变:指材料的应力流变:指材料的应力-应变关系与时间因素有关的 性质,材料变形过程中具有时间效应的现象称为流变 性质,材料变形过程中具有时间效应的现象称为流变 现象。 现象。 蠕变:当应力不变时, 蠕变:当应力不变时,变形随时间增加而增长的 现象。 现象。 松弛:当应变不变时, 松弛:当应变不变时,应力随时间增加而减小的 现象。 现象。 弹性后效:加载或卸载时, 弹性后效:加载或卸载时,弹性应变滞后于应力 的现象。 的现象。

蠕变试验表明: 蠕变试验表明:
1)当岩石在某一较小的恒定荷载 1)当岩石在某一较小的恒定荷载 持续作用下, 持续作用下,其变形量虽然随时 间增长有所增加, 间增长有所增加,但蠕变变形的 速率则随时间增长而减少, 速率则随时间增长而减少,最后 变形趋于一个稳定的极限值, 变形趋于一个稳定的极限值,这 种蠕变称为稳定蠕变 稳定蠕变。 种蠕变称为稳定蠕变。

ε

σA

σA >σB >σC
d c

σB σC

a

b

o

t
图 岩石蠕变曲线示意图

2)当荷载较大时, 曲线所示,蠕变不能稳定于某一极限值, 2)当荷载较大时, 当荷载较大时 abcd 曲线所示,蠕变不能稳定于某一极限值, 而是无限增长直到破坏,这种蠕变称为不稳定蠕变 不稳定蠕变。 而是无限增长直到破坏,这种蠕变称为不稳定蠕变。这是典 型的蠕变曲线,根据应变速率不同, 型的蠕变曲线,根据应变速率不同,其蠕变过程可分为三个 阶段, 减速蠕变阶段或初始蠕变阶段、 阶段,即减速蠕变阶段或初始蠕变阶段、等速蠕变阶段及加 速蠕变阶段。 速蠕变阶段。

在一系列的岩石流变试验基础上建立反映岩石流变性 质的流变方程,通常有二种方法: 质的流变方程,通常有二种方法:
ε
D ε( t) 3

1.经验法
岩石蠕变经验方程: 岩石蠕变经验方程:
ε( t) 2 ε( t) 1
Aε 0
O

C

ε (t ) = ε 0 + ε 1 (t ) + ε 2 (t ) + ε 3 (t )

B t

ε 式中: 的应变; 式中: (t )为时间 t 的应变; ε 0 瞬时应变;1 (t )初始段应变;2 (t ) 等速段应变; (t ) 加速段应变。 ε 瞬时应变; 初始段应变; 等速段应变; 加速段应变。 ε ε3



岩石的典型蠕变曲线

典型岩石蠕变方程:幂函数方程、指数方程、 典型岩石蠕变方程:幂函数方程、指数方程、幂指数对数混合方程

2. 理论模型模拟法
将介质理想化,归纳成各种模型,模型可用理想化的具有基本性能( 将介质理想化,归纳成各种模型,模型可用理想化的具有基本性能(包 括弹性、塑性和粘性)的元件组合而成。 括弹性、塑性和粘性)的元件组合而成。

岩石的长期强度:由于流变作用, 岩石的长期强度:由于流变作用,岩石强度随外 载作用时间的延长而降低, 载作用时间的延长而降低,通常把作用时间 t → ∞ 的强度(最低值)称为长期强度。 的强度(最低值)称为长期强度。 对于大多数岩石,长期强度/ 对于大多数岩石,长期强度/瞬时强度 一般为0.4 0.8, 0.4~ ( s ∞ / s 0 )一般为0.4~0.8,软的和中等坚固岩 石为0.4 0.6,坚固岩石为0.7 0.8。 0.4~ 0.7~ 石为0.4~0.6,坚固岩石为0.7~0.8。表7-1中列 出某些岩石瞬时强度与长期强度的比值。 出某些岩石瞬时强度与长期强度的比值。
表6-1 几种岩石长期强度与瞬时强度比值

岩石名称
s ∞ / s0

粘土 0.74

石灰石 0.73

盐岩 0.70

砂岩 0.65

白垩 0.62

粘质页岩 0.50

岩石强度理论与破坏判据 §6.3 岩石强度理论与破坏判据
岩石强度理论: 岩石强度理论:研究岩石在一定的假说条件下在各 种应力状态下的强度准则的理论。 种应力状态下的强度准则的理论。 强度准则:又称破坏判据, 强度准则:又称破坏判据,是表征岩石破坏条件的 应力状态与岩石强度参数间的函数关系 函数关系,可用如下的方 应力状态与岩石强度参数间的函数关系 可用如下的方 程表示: 程表示:

σ1= f (σ2 ,σ3 ,σC ,σt ,C ,Ф )
或处于极限平衡状态截面上的剪应力 和正应力 间的关系方程: 间的关系方程:

τ = f (σ )

岩石强度理论与破坏判据 §6.3 岩石强度理论与破坏判据
一、 库仑强度准则 二、 莫尔强度理论 三、 格里菲斯强度理论 四、 德鲁克一普拉格准则

一、 库仑强度准则
岩石的破坏:剪切破坏。 岩石的破坏:剪切破坏。
认为岩石的剪切强度等于岩石本身的粘结力和剪切面上由法 向力产生的摩擦阻力。平面应力中的剪切强度准则( 向力产生的摩擦阻力。平面应力中的剪切强度准则(图)为:

| τ |= c + σ tan φ
σ 1 σ τ σ 3 θ



| τ | ?σ tan φ = c
τ

( 6-1)

L
σ 3
Φc

D

A
σ 1

O

σ 3

B

σ σ 1

图6-6 σ-τ坐标下库仑准则 - 坐标下库仑准则

最大主应力方向与剪切面(指其法线方向) 最大主应力方向与剪切面(指其法线方向)间的夹角θ 称为破坏角)恒等为: (称为破坏角)恒等为: π φ o 2θ = + φ 或 θ = 45 + 2 2 另外由图 由图6 可得: 另外由图6-6可得: σ1 ? σ 3 sin φ = 2c ? ctgφ + σ 1 + σ 3 并可改写为: 并可改写为:
1 + sin φ 2c ? ctgφ σ1 = σ3 + 1 ? sin φ 1 ? sin φ
τ

L D
Φc

若取 σ 3 = ,则极限应力 σ 为 0 1 即有: 岩石单轴抗压强度 σ c,即有:

2c ? ctgφ σc = 1 ? sin φ

A

O σ 3

B

σ σ 1

σ 1 ? σ 3 坐标中库仑准则的强 度曲线, 所示, 度曲线,如图 6-7所示,极限应 力条件下剪切面上正应力 σ和剪 用主应力可表示为: 力τ 用主应力可表示为:
1 1 ? σ = (σ 1 + σ 3 ) + (σ 1 ? σ 3 ) cos 2θ ? ? 2 2 ? ? τ = 1 (σ ? σ ) sin 2θ 1 3 ? ? 2

σ 1
σ 1 = tan 2 θ + σ c

σ c
O

arc( tan2 θ)

σ 3

图6-7 σ1-σ3坐标系的库仑准则

由方程( 27) 由方程(7-27)式并取

f = tan φ ,得:

1 1 | τ | - f (σ ) = (σ 1 ? σ 3 )( sin 2θ -f cos 2θ ) ? f (σ + σ 3 ) 2 2

上式表示( 上式表示(图6-8 ) 的直线交 σ1 于 σ c ,且:
σ 3

σ c = 2c ? f 2 + 1 + f ?
? ?
交 σ 3 轴于 s0 。 注意: 注意:s0 并不是实际抗拉强度
s0 = ?2c ? f 2 + 1 ? f ? ? ?
S 0 -σ t σc /2

σ σ1 = 3 P β σ c A σ 1

图6-8 σ1-σ3坐标系中的库仑 准则的完整强度曲线

AP代表 的有效取值范围。 图 6-8 中直线 AP代表σ1 的有效取值范围。 σ 3 为负值(拉应力)时,特别在单轴拉伸实验中,当拉 为负值(拉应力) 特别在单轴拉伸实验中, 应力达到岩石抗拉强度时,岩石发生张断裂。 应力达到岩石抗拉强度时,岩石发生张断裂。基于试验结果和 理论分析, 给出, 理论分析,库仑准则的有效取值范围由图 6-8给出,

并可用方程表示为: 并可用方程表示为:
σ 3

σ 1[ f 2 + 1 ? f ] ? σ 3[ f 2 + 1 + f ] = 2c

σ σ1 = 3 P β 0 -σ t S
图6-8 σ1-σ3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线

1 (σ 1 > σ c ) 2

σc /2 A

σ c

σ 1

σ 3 = ?σ t

1 (σ 1 ≤ σ c ) 2

在此库仑准则条件下,岩石可能发生以下四种方式的破坏。 在此库仑准则条件下,岩石可能发生以下四种方式的破坏。 (1)当 岩石属单轴拉伸破裂 单轴拉伸破裂; (1)当 0 < σ11 ≤ 1 2 σ cc (σ 33 = ?σ t t ) 时,岩石属单轴拉伸破裂; ≤ σ σ = ?σ (2)当 双轴拉伸破裂; (2)当 1 122 σc c < σ 11 < σ cc( ??σ t< < σ< 0 ) 0 ,岩石属双轴拉伸破裂; σ < σ σ σ t σ 3 3 < 时 岩石属双轴拉伸破裂 (3)当 岩石属单轴压缩破裂 单轴压缩破裂; (3)当 σ1 = σ c (σ 3 = 0 ) 时,岩石属单轴压缩破裂; (4)当 岩石属双轴压缩破裂 双轴压缩破裂。 (4)当 σ 1 > σ c (σ 3 > 0 ) 时,岩石属双轴压缩破裂。 另外, 可得, 另外,由图 6-8 中强度曲线上A 点坐标 (σ c / 2, ? σ t ) 可得,直线 - 中强度曲线上A A P的倾角 β 为: 的倾角 σ 3 2σ β = arctan t σ σ1 = 3

σc

在主应力 σ 1 , σ 3 坐标平面内的 库仑准则可以利用单轴抗压强度 和抗拉强度来确定。 和抗拉强度来确定。

P β 0 -σ t S σc /2 A σ c σ 1

二、 莫尔强度理论
莫尔(Mohr,1900年 把库仑准则推广到考虑三向应力状态。 莫尔(Mohr,1900年)把库仑准则推广到考虑三向应力状态。最主 要的贡献是认识到材料性质本身乃是应力的函数。 要的贡献是认识到材料性质本身乃是应力的函数。他总结指出“到极

限状态时, 限状态时 , 滑动平面上的剪应力达到一个取决于正 应力与材料性质的最大值” 并可用下列函数关系表示: 应力与材料性质的最大值”,并可用下列函数关系表示: τ = f (σ )
轴的曲线, 上式在 τ ? σ 坐标系中为一条对称于σ 轴的曲线,它可 通过试验方法求得,即由对应于各种应力状态(单轴拉伸、 通过试验方法求得,即由对应于各种应力状态(单轴拉伸、单 轴压缩及三轴压缩)下的破坏莫尔应力圆包络线, 轴压缩及三轴压缩)下的破坏莫尔应力圆包络线,即各破坏莫 尔圆的外公切线( 称为莫尔强度包络线给定。 尔圆的外公切线(图7-9) ,称为莫尔强度包络线给定。

单轴压缩

莫尔破坏包络线

σ 1 σ =σ 3 2
三轴压缩

单轴拉伸

σ t

σ 3

σ c

σ σ 1

图6-9 完整岩石的莫尔强度曲线

莫尔包络线的具体表达式,可根据试验结果用拟合法求得。 莫尔包络线的具体表达式,可根据试验结果用拟合法求得。 包络线形式有:斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等 包络线形式有:斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等。 斜直线型与库仑准则基本一致, 斜直线型与库仑准则基本一致,库仑准则是莫尔准则的一个特 例。 这里主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。 这里主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。

1、二次抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石。 岩性较坚硬至较弱的岩石。
τ
t σσ + )

, ) ( τ σ M

τ = n (σ + σ t )
2
0 σ 式中: 为岩石的单轴抗拉强度; 式中:σ t 为岩石的单轴抗拉强度; σ 为待定系数。 n 为待定系数。 10中的关系 中的关系, 利用图 6-10中的关系,有:
t

τ

2 =

n(

1
τ 3

2


σ

3

σ σc σ3

1 ? (σ 1 + σ 3 ) = σ + τctg 2α ? 2 ? 1 τ ? (σ 1 ? σ 3 ) = 2 sin 2α ?

1.双向压缩应力圆,2.双向拉压应力圆, 1.双向压缩应力圆,2.双向拉压应力圆, 双向压缩应力圆 双向拉压应力圆 3..双向拉伸应力圆 3..双向拉伸应力圆 图6-10 二次抛物型强度包络线

其中: 其中:

? ? τ = n (σ + σ t ) ? ? dτ n ? = ctg 2α = ? dσ 2 n (σ + σ t ) ? ? 1 n = csc 2α = 1 + ? sin 2α 4 (σ + σ t ) ? ?

消去式中的

σ

得二次抛物线型包络线的主应力表达式为: ,得二次抛物线型包络线的主应力表达式为:
2

(σ 1 ? σ 3 )
解得: 解得:

= 2n (σ 1 + σ 3 ) + 4nσ t ? n 2

单轴压缩条件下, 单轴压缩条件下,有σ 3 = 0, σ 1 = σ c :

n2 ? 2 (σ c + 2σ t ) n + σ c 2 = 0
n = σ c + 2σ t ± 2 σ t (σ c + σ t )

利用这些式子可判断岩石试件是否破坏。 利用这些式子可判断岩石试件是否破坏。

2、双曲线型 砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、 砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩石的强度包 络线近似于双曲线( 其表达式为: 络线近似于双曲线(图 6-11 ) ,其表达式为:

τ = (σ + σ t ) tan 2 φ1 + (σ + σ t ) σ t
2 2

式中,φ1为包络线渐近线的倾角, 式中, 为包络线渐近线的倾角,





线





线

1 tan φ1 = 2

?σc ? ? 3? ? ? σt ?

φ0



σt

0

C

σC

σ

图6-11 双曲线型强度包络线

莫尔强度理论实质:剪应力强度理论。 莫尔强度理论实质:剪应力强度理论。 优点: 优点: (1)适用塑性岩石及脆性岩石的剪切破坏; (1)适用塑性岩石及脆性岩石的剪切破坏; 适用塑性岩石及脆性岩石的剪切破坏 (2)反映岩石抗拉强度远小于抗压强度特性 反映岩石抗拉强度远小于抗压强度特性; (2)反映岩石抗拉强度远小于抗压强度特性; (3)能解释岩石在三向等拉时破坏, (3)能解释岩石在三向等拉时破坏,在三向等压时 能解释岩石在三向等拉时破坏 不会破坏(曲线在受压区不闭合)的特点。 不会破坏(曲线在受压区不闭合)的特点。 缺点: 缺点: (1)忽略了中间主应力的影响 忽略了中间主应力的影响, (1)忽略了中间主应力的影响,与试验结果有一定 的出入。 的出入。 (2)该判据只适用于剪破坏 该判据只适用于剪破坏, (2)该判据只适用于剪破坏,受拉区的适用性还值 得进一步探讨,不适用于膨胀或蠕变破坏。 得进一步探讨,不适用于膨胀或蠕变破坏。

三、 格里菲斯强度理论
格里菲斯( 格里菲斯(Griffith ,1920年)认为 脆性材料断 年 认为:脆性材料断 裂的起因是分布在材料中的微小裂纹尖端有拉应力 集中(这种裂纹称之为Griffith裂纹)。 裂纹)。 集中(这种裂纹称之为 裂纹 格里菲斯原理认为:当作用力的势能始终保持不 格里菲斯原理认为 当作用力的势能始终保持不 变时,裂纹扩展准则可写为: 变时,裂纹扩展准则可写为:
? (Wd ? We ) ≤0 ?C

式中: 为裂纹长度参数 为裂纹长度参数; 为裂纹表面的表面能; 式中:C为裂纹长度参数;Wd为裂纹表面的表面能; We为储存在裂纹周围的弹性应变能。 为储存在裂纹周围的弹性应变能。

Griffith把该理论用于初始长度为2C的椭圆形裂纹的扩 Griffith把该理论用于初始长度为2C的椭圆形裂纹的扩 把该理论用于初始长度为2C 展研究中, 展研究中,并设裂纹垂直于作用在单位厚板上的均匀单轴 拉伸应力σ的加载方向。当裂纹扩展时满足下列条件: 拉伸应力σ的加载方向。当裂纹扩展时满足下列条件:

σ≥

2Ea πC
3

式中: 为裂纹表面单位面积的表面能; 式中:a为裂纹表面单位面积的表面能;E为非破裂材料的弹 σ 性模量。 性模量。
8σt
P

σ

3

σ
P

3

σ1 =-σt σ

1

平面压缩的Griffith Griffith裂纹模型 图6-12 平面压缩的Griffith裂纹模型
1

σ

σ3 =-σt

图6-13

Griffith强度曲线 Griffith强度曲线

双向压缩下裂纹扩展准则( 强度准则) 双向压缩下裂纹扩展准则(Griffith强度准则) : 强度准则 假定条件: 不考虑摩擦对压缩下闭合裂纹的影响; 假定条件:1)不考虑摩擦对压缩下闭合裂纹的影响; 2) 假定裂纹从最大拉应力集中点开始扩展( 12中的 中的P 假定裂纹从最大拉应力集中点开始扩展(图6.12中的P点)。
? (σ 1 ? σ 3 ) 2 = 8σ (σ 1 + σ 3 ≥ 0) ? ? σ1 + σ 3 ? (σ 1 + σ 3 ≤ 0) ?σ 3 = ?σ t
σ
3

P

σ

3

σ
P

8σt σ1 =-σt σ

3

1

平面压缩的Griffith Griffith裂纹模型 图6-12 平面压缩的Griffith裂纹模型
1

σ

σ3 =-σt

图6-13

Griffith强度曲线 Griffith强度曲线

结论: 结论: (1)材料的单轴抗压强度是抗拉强度的 材料的单轴抗压强度是抗拉强度的8 (1)材料的单轴抗压强度是抗拉强度的8倍,其反映了 脆性材料的基本力学特征。 脆性材料的基本力学特征。 (2)材料发生断裂时 可能处于各种应力状态。 材料发生断裂时, (2)材料发生断裂时,可能处于各种应力状态。不论 何种应力状态, 何种应力状态,材料都是因裂纹尖端附近达到极限拉应 力而断裂开始扩展,即材料的破坏机理是拉伸破坏。 力而断裂开始扩展,即材料的破坏机理是拉伸破坏。新 裂纹与最大主应力方向斜交, 裂纹与最大主应力方向斜交,而且扩展方向会最终趋于 与最大主应力平行。 与最大主应力平行。 Griffith强度准则只适用于研究脆性岩石的破坏。 Griffith强度准则只适用于研究脆性岩石的破坏。 强度准则只适用于研究脆性岩石的破坏 Mohr-coulomb强度准则的适用性一般的岩石材料。 Mohr-coulomb强度准则的适用性一般的岩石材料。 强度准则的适用性一般的岩石材料

四、德鲁克一普拉格准则 在 C-M 准则和 Mises 准则基础上的扩展 和推广而得的,表达式为: 和推广而得的,表达式为:
f = α I1 + J 2 ? K = 0
其中:

I1 = σ ii = σ 1 + σ 2 + σ 3 = σ x + σ y + σ z

为应力第一不变量; 为应力第一不变量; 为应力偏量第二不变量; 为应力偏量第二不变量;

J2 =

1 1 2 2 2 si si = ?(σ 1 ? σ 2 ) + (σ 2 ? σ 3 ) + (σ 3 ? σ 1 ) ? ? 2 6?

2 sin φ α= 3 (3 ? sin φ )

6c cos φ K= 3 (3 ? sin φ )

Drucker准则计入了中间主应力的影响 计入了中间主应力的影响, Drucker-Prager 准则计入了中间主应力的影响, 又考虑了静水压力的作用。 又考虑了静水压力的作用。


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