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高中数学相关定理及证明


高中数学相关定理、公式及结论证明
汉阴中学 正弦定理证明 内容:在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,则
a b c ? ? . sin A sin B sin C

证明: 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1)当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD, 根据锐角三角函数的定义,有 CD

? b sin A CD ? a sin B 。 由此,得 故有
a
sin A ?
a
sin A ?

C b a

b
sin B

, .

同理可得

c
sinC

?

b
sin B



b
sin B

?

c
sin C

A

D C

B

从而这个结论在锐角三角形中成立. (2)当 ? ABC 是钝角三角形时,过点 C 作 AB 边上的高, 交 AB 的延长线于点 D,根据锐角三角函数的定义, 有 CD ? a sin ?CBD ? a sin ?ABC , CD ? b sin A 。 由此,得 故有
a
sin A ?

b

a

b
sin ?ABC ,

同理可得

c
sinC

?

b
sin ?ABC

A

B

D

a
sin A

?

b
sin ?ABC

?

c
sin C .

(3)在 Rt ?ABC 中, sin A ?

a b , sin B ? , c c

?

a b ? ? c, sin A sin B
a b c ? ? . sin A sin B sin C

? C ? 90?, sin C ? 1. ?

由(1)(2)(3)可知,在 ? ABC 中,

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

成立.

2.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结 BO 并延长交圆于 B′,设 BB′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°,∠C =∠B′, ∴sinC=sinB′= sin C ? sin B ? ?
c ? 2R . sin C

c . 2R

同理,可得 a ? 2 R, b ? 2 R .∴ a
sin A sin B

sin A

?

b c ? ? 2R . sin B sin C

3.向量法证明正弦定理
1

OC ' ? AC cos( A ? 90 ) ? b sin A OC ' ? BC sin B ? a sin B
a sin B ? b sin A a b c b ? ? sin A sin B sinC sin B 同理 c a b 故有 ? ? sin A sin B sin C .
余弦定理证明 内容:在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,则

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ?
证明:如图在 ?ABC 中,

a 2 ? a ? BC ? ( AC ? AB )( AC ? AB )

2

2

? AC ? 2 AC ? AB ? AB
2

2

2

? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB
? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

2

同理可证: ? 数列部分

? ?a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 ? ?c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 所以 ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ?
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d? 2 2

内容: ?an ? 是等差数列,公差为 d ,首项为 a 1 , S n 为其 n 前项和,则 S n ? a1 n ? 证明:由题意, S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? .......? (a1 ? (n ? 1)d ) ① 反过来可写为: S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? .......? (an ? (n ? 1)d ) ② ①+②得:2 S n ? a1 ? n ? a1 ? n.......? a1 ? n

???????????
n个

所以, S n ?

n(a1 ? a n ) ③, 2

2

把 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入③中,得 S n ? a1 n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d? 2 2

?na1 , (q ? 1) ? 内容: ?an ? 是等比数列,公比为 q ,首项为 a 1 , S n 为其 n 前项和,则 S n = ? a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q ? 1 ? q , (q ? 1) ?
证明: S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? .......? a1q n?1 ①

qSn ? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? .......? a1q n ②
①—②得: (1 ? q)S n ? a1 ? a1q ,
n

a1 ? a1q n a1 (1 ? q n ) 当 q ? 1 时, S n ? ③ ? 1? q 1? q
当 q ? 1 时。很明显 S n ? na1

把 an ? a1q n?1 代入③中,得 S n ?

a1 ? a n q 1? q

?na1 , (q ? 1) ? 所以, S n = ? a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q ? 1 ? q , (q ? 1) ?

3

立体几何部分 三垂线定理及其逆定理 内容:在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直。 证明:已知:如图(9) ,直线 l 与平面 ? 相交与点 A, l 在 ? 上的射影 OA 垂直于 a, a ? ? 求证: l ⊥ a 证明: 过 P 作 PO 垂直于 ? ∵PO⊥α ∴PO⊥ a 又 a ⊥OA ,PO∩OA=O ∴ a ⊥平面 POA ∴ a ⊥l 求证:如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行. 如图所示:已知a ? ,a在平面?,? ? ? =b,
求证:a b. 证明
a ?, b在?内,

? a和? 没有公共点, 又 ? a和b也没有公共点, 而a和b都在?内,a和b也没有公共点, ?a b.

求证:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 如图所示:已知? ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b.
求证:a b.

证明: a和b分别在平面?、?内 且? ?, ? a和b不相交, 又 a和b都在平面?内, ? a b.

求证:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

如图所示:已知? ? ? ,? ? ? =MN, AB在?内,AB ? MN于B点。 求证:AB ? ? .
证明:在平面?内做直线BC ? MN, 则?ABC是二面角? -MN-?的 平面角,

? ? ?, ??ABC =90 ,
? AB ? BC 又AB ? MN, ? AB ? ?

4

求证:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

如图所示:已知a ? ? ,b ? ? ,垂足 分别为A、B. 求证:a b. 证明:假设a和b不平行, 过B点作a的平行线b' 由异面直线垂直定义,b'与平面?内过 点A的任意直线都垂直,也即有b' ? ?, b b' ? B, 故直线b'与b与确定一个平面,记?,

?

? =l , 在平面内, 过B点有且仅有一条

直线垂直于l,故直线b'与b重合, 所以a ? b.
点到直线距离公式证明 内容:已知直线 l : Ax ? By ? C ? 0, 直线外一点 M ( x0 , y0 ). 则其到直线 l 的距离为 d ? Ax0 ? By0 ? C 。
A2 ? B 2

向量法

? By ? 证:如图,设直线 l: Ax

C ?0 ( A ? 0, B ?0 ) 一 个 法 向 量 n ? ( 1,B ), Q 直 线 上 任 意 一 点 , 的
A

B | x1 ? x0 ? ( y1 ? y0 ) | | A( x ? x ) ? B( y ? y ) | | n ? PQ | 1 0 1 0 A d? ? ? |n| B2 A2 ? B 2 1? 2 A | Ax1 ? By1 ? Ax0 ? By0 | | Ax0 ? By0 ? C | P点在直线l上,? Ax1 ? By1 ? C ? 0, 从而d ? ? A2 ? B 2 A2 ? B 2

y

P
n

Q

y

P
Q

l

l'

x

l

x

图1

定义法 证:根据定义,点 P 到直线 l 的距离是点 P 到直线 l 的垂线段的长,如图 1, 设点 P 到直线 l 的垂线为 l ' ,垂足为 Q,由 l ' ? l 可知 l ' 的斜率为
? l ' 的方程: y ? y0 ?

B A

B ( x ? x0 ) 与 l 联立方程组 A

解得交点 Q(

B 2 x0 ? ABy0 ? AC A2 y0 ? ABx0 ? BC , ) A2 ? B 2 A2 ? B 2

5

| PQ |2 ? (

B 2 x0 ? ABy0 ? AC A2 y0 ? ABx0 ? BC 2 ? x ) ? ( ? y0 ) 2 0 A2 ? B 2 A2 ? B 2 | Ax0 ? By0 ? C | ? A2 x0 ? ABy0 ? AC 2 ? B 2 y0 ? ABx0 ? BC 2 ? PQ |? ?( ) ? ( ) A2 ? B 2 A2 ? B 2 A2 ? B 2 A2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 B 2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 ? ? ? ( A2 ? B 2 ) 2 ( A2 ? B 2 ) 2 A2 ? B 2

平行向量定理 内容:若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例;若两个向量相对应的坐标成比例,则 两向量平行。 证明:设 a, b 是非零向量,且 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) 若 a // b ,则存在实数 ? 使 a ? ? b ,且由平面向量基本定理可知 x1 i ? y1 j ? ?( x2 i ? y2 j) ? ?x2 i ? ?y2 j.

? x1 ? ?x2 ①, y1 ? ?y 2 ②

① ? y 2 ? ② ? x2 得: x1 y 2 ? x2 y1 ? 0

若 y1 ? 0, y 2 ? 0 (即向量 a, b 不与坐标轴平行)则 平面向量基本定理

x1 x 2 ? y1 y 2

内容:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意一向量 a ,存在唯一一对 实数 ?1 , ? 2 ,使得 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 证明:如图过平面内一点 O,作 OA ? e1 , OB ? e2 , OC ? a ,过点 C 分别作直 线 OA 和直线 OB 的平行线,交 OA 于点 M,交 OB 于点 N,有且只有一组实数,使 得 OM ? ?1 OA, ON ? ?2 OB
B e2 N a O M e1 C

? OC ? OM ? ON ? OC ? ?1 OA ? ?2 OB
即 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

A

共线向量定理 内容:如图 A,B,C 为平面内的三点,且 A,B 不重合,点 P 为平面内任一点,若 C 在直线 AB 上,则有

PC ? ? PA ? (1 ? ? )PB
A

证明:由题意, BC 与 BA 共线,? BC ? ?BA

C

BC ? PC ? PB, BA ? PA ? PB ? PC ? PB ? ? ( PA ? PB)
化简为: PC ? ? PA ? (1 ? ? ) PB
P B

6

柯西不等式: 若 a、b、c、d 为实数,则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 或 | ac ? bd |? a2 ? b2 证法: (综合法) (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? a2c2 ? a2 d 2 ? b2c2 ? b2 d 2

c2 ? d 2

? (ac ? bd )2 ? (ad ? bc)2 ? (ac ? bd )2 .
证法: (向量法)设向量 m ? (a, b) , n ? (c, d ) ,则 | m |? a2 ? b2 , | n |? c2 ? d 2 . ∵ m ? n ? ac ? bd ,且 m n ?| m | | n | cos ? m, n ? ,则 | m n |?| m | | n | . 诱导公式 公式: ∴ (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2

sin(??) ? -sin?

cos(??) ? cos?

tan(??) ? ?tan?
如图: 设 ? 的终边与单位圆(半径为单位长度 1 的园)交 于点 P(x,y),则角- ? 的终边与单位圆的交点必为 P?(x,-y).由正弦函数、余弦函数的定义,即可得 sin ? =y, cos ? =x, sin(- ? )=-y, cos(- ? )=x, 所以:sin(- ? )= -sin ? , cos(- ? )= cosα 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的- ? 诱导公式。 公式:
P(x,y)

y

?
M
O

??

x

P′(x, -y) (4-5-2)

sin(? ? ?) ? -sin? tan( ? ? ?) ? tan?

cos(? ? ?) ? -cos?

它刻画了角 180?+ ? 与角 ? 的正弦值(或余弦值) 之间的关系,这个关系是:以角 ? 终边的反向延长线 为终边的角的正弦值(或余弦值)与角 ? 的正弦值(或 圆交于点 P( x,y),则角 ? 终边的反向延长线,即 180?+ ? 角的终边与单位圆的交点必为 P?(-x,-y)(如图 4-5-1). 由正弦函数、余弦函数的定义,即可得 sin ? =y, cos ? =x, sin(180?+ ? )=-y, cos(180?+ ? )=-x, 所以 :sin(180?+ ? )=-sin ? ,cos(180?+ ? )=-cos ? . 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。 相应诱导公式
P(x,y) M

y

180 ? ? ?

?

M′ x P′(-x, -y)

O

(4-5-1)

公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin ( 2kπ+α ) =sinα k ∈z cos ( 2kπ+α ) =cosα k ∈z tan ( 2kπ+α ) =tanα k ∈z 公式二: sin ( π+α ) = - sinα cos ( π+α) =- cosα tan ( π+α ) =tanα 公式三: sin (- α ) = - si nα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π - α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π - α) =sinα cos ( π- α ) =- cosα tan ( π - α ) =- tanα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( 2π - α) = - sinα cos ( 2π - α ) =cosα tan ( 2π - α ) = - tanα 公式六: π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:
7

sin ( π/2+α) =cosα sin ( π/2 - α) =cosα
两角差的余弦公式证明

cos ( π/2+α) = - sinα cos ( π/2 - α) =sinα

tan ( π/2+α ) = - cotα tan ( π/2 - α ) =cotα

如图在单位圆中设 P(cos ? ,sin ? ),Q(cos ? ,sin ? ) 则: OP ? OQ ? OP ? OQ cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )

? OP ? OQ ? cos? cos? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
两角和的余弦公式证明

cos(? ? ? ) ? cos ?? ? (?? )?
两角和(差)的正弦公式证明 内容:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? , sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
证明:
sin(? ? ? ) ? cos[

?
2

? (? ? ? )] ? cos[(

?
2

? ? ) ? ? ] ? cos(

?
2

? ? ) cos ? ? sin(

?
2

? ? ) sin ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ?

sin(? ? ? ) ? cos[

?
2

? (? ? ? )] ? cos[(

?
2

? ? ) ? ? ] ? cos(

?
2

? ? ) cos ? ? sin(

?
2

? ? ) sin ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

两角和(差)的正切公式证明
tan? ? tan ? tan? ? tan ? , 内容: tan( tan( ? ? ?) ? ? ? ?) ? 1 ? tan? tan ? 1 ? tan? tan ?

证明:
sin ? cos ? cos? sin ? ? tan? ? tan ? sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? cos? cos ? cos? cos ? tan( ? ? ?) ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? cos ? sin ? sin ? ? cos? cos ? cos? cos ?
sin ? cos ? cos? sin ? ? tan? ? tan ? sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? cos? cos ? cos? cos ? tan( ? ? ?) ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? cos ? sin ? sin ? ? cos? cos ? cos? cos ?

8


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