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高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.3知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式

一、学习任务

π 理解正弦、余弦、正切的诱导公式(2kπ + α(k ∈ Z) ,?α,π ± α , ± α),能运用这些诱导公式 2 π 将任意角的三角函数化为 [0, ] 内的角的三角函数,会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求 2 值及恒等式证明.
二、知识清单
诱导公式

三、知识讲解
1.诱导公式 描述: 角 α 与 α + k ? 2π(k ∈ Z) 的三角函数间的关系 cos (α + k ? 2π) = cos α , sin (α + k ? 2π) = sin α , tan (α + k ? 2π) = tan α . 角 α 与 ?α 的三角函数间的关系 cos (?α) = cos α , sin (?α) = ? sin α, tan (?α) = ? tan α . 角 α 与 α + (2k + 1)π(k ∈ Z) 的三角函数间的关系 cos [α + (2k + 1)π] = ? cos α , sin [α + (2k + 1)π] = ? sin α , tan [α + (2k + 1)π] = tan α .

π 的三角函数间的关系 2 π π sin (α + ) = cos α ,cos (α + ) = ? sin α , 2 2 π π tan (α + ) = ? cot α , cot (α + ) = ? tan α , 2 2 π π sin (?α + ) = cos α , cos (?α + ) = sin α , 2 2 π π tan (?α + ) = cot α , cot (?α + ) = tan α . 2 2
角 α 与 ±α + 诱导公式的记忆方法 奇变偶不变,符号看象限.

例题: 求下列各三角函数值:(1)sin 19π ;(2)cos(?1755? );(3)tan 13π .

3 19π π π √3 解:(1)sin ; = sin(6π + ) = sin = 3 3 3 2
(3)tan

3

(2)cos(?1755? ) == cos(45? ? 5 × 360 ? ) = cos 45? =

13π π π = tan(4π + ) = tan = √3; 3 3 3

√2 ; 2 13π

π 13π );(2)cos(?420 ? );(3)tan(? ). 4 6 π π √2 解:(1)sin(? ) = ? sin( ) = ? ; 4 4 2 1 (2)cos(?420 ? ) = cos(420 ? ) = cos(60? + 360 ? ) = cos 60? = ; 2 13π 13π π π √3 (3)tan(? . ) = ? tan = ? tan( + 2π) = ? tan = ? 6 6 6 6 3
求下列各三角函数值:(1)sin(? 求下列各三角函数值:(1)sin 585 ? ;(2)cos(?1665? );(3)tan

4π . 3

解:(1)sin 585 ? = sin(360 ? + 225 ? ) = sin(180 ? + 45? ) = ? sin(45? ) = ? (2)

√2 ; 2

√2 ; cos(?1665? ) = cos 1665? = cos(225 ? + 4 × 360 ? ) = cos 225 ? = cos(45? + 180 ? ) = ? cos 45? = ? 2 4π π π (3)tan = tan( + π) = tan = √3. 3 3 3 10π ) ;(2)sin 315 ? ;(3)tan 135 ? 3 10π 10π 2π π π π 1 (1)cos(? ) = cos(? + 4π) = cos = cos( + ) = ? sin = ? ; 3 3 3 6 2 6 2 √2 ? ? ? ? (2)sin 315 = sin(45 + 3 × 90 ) = ? sin 45 = ? ; 2 (3)tan 135 ? = tan(45? + 90? ) = ? cot 45? = ?1.
求下列各三角函数值:(1)cos(?

π ? α) 2 化简 . 3π tan(2π ? α) cos(π + α) sin( + α) 2 π sin(?2π ? α) cos( ? α) sin(?α) sin α 2 解: = = tan α. 3π tan(?α) (? cos α)(? cos α) tan(2π ? α) cos(π + α) sin( + α) 2 sin(?2π ? α) cos(
已知 sin(α ? A.

解:B. 因为 选B.

1 3

π 1 π ) ) = ,则 cos( + α) 的值为( 3 3 6 1 2√3 2√3 B.? C. D.? 3 3 3

π π π π π π π 1 + α = + (α ? ) ,所以 cos( + α) = cos[ + (α ? )] = ? sin(α ? ) = ? ,故 6 2 3 6 2 3 3 3

四、课后作业

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1. sin 210 ? = ( A.

)
B.?

答案: D

√3 2

√3 2

C.

1 2

D.?

1 2

2. 下列各式不正确的是 (

)

A.sin (α + 180 ? ) = ? sin α

B.cos (?a + β) = ? cos (α ? β) C.sin (?α ? 360 ? ) = ? sin α
答案: B

sin ( +

) = ? sin

D.cos (?α ? β) = cos (α + β)

3. 如果 A 为锐角,sin (π + A) = ? A .?

答案: C

1 2

1 ,那么 cos (π ? A) 的值为 ( 2 1 √3 B. C.? 2 2

)
D.

√3 2

4. 若 A 、 B 是锐角 △ABC 的两个内角,则点 P (cos B ? sin A, sin B ? cos A) 在 ( A.第一象限
答案: B 解析: 因为

)

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

A 、 B 是锐角三角形的两个内角,所以 A + B > 90? ,所以 B > 90? ? A,所以 cos B < sin A,sin B > cos A,故点 P (cos B ? sin A, sin B ? cos A) 在第二象限.

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