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1.3.3球的表面积与体积


思考:如何求球的体积?
排液法:

H h h

回顾:圆面积公式的推导
n=6 A1 O A2

n=12
An

O

p
A1 A2

A3

S正多边形 ? S?A1OA 2 ? S?A 2 OA 3 ? ? ? S?A n OA 1

假设将圆n等分,则

1 1 pC正多边形 ? p(A1A 2 ? A 2A3 ? ? ? A n A1 ) ? 2 2

当n ? ?时,p ? R , C正多边形 ? C圆

1 ? S圆 ? R ? 2?R ? ?R 2 2

延伸阅读:割圆术
早在公元三世纪,我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正 多边形的边数,使其面积与圆的面 积之差更小,即所谓“割之弥细, 所失弥小”。这样重复下去,就达 到了“割之又割,以至于不可再割, 思考:能否也 则与圆合体而无所失矣”。 采取“分割”与 这是世界上最早的“极限”思想。 “极限”思想,

推导球的体积公 式?

把半球分割成n个薄片
当分割的 层数不断 增加,每 一层就越 接近一个 圆柱体。

当n→∞时,每个薄片近似于圆柱
设球的半径为R,它的体积只与 半径R有关。 将半球分割成n层,每一层都近似 于圆柱形状的“小圆片”。这些 “小圆片”的体积之和就是球的 体积。 选第i层(由下而上),如右图。 R
n 厚度:
ri ?
2

ri
R ( i ? 1) n

R

O

下底面半径:

R R ? [ ( i ? 1)]2 , i ? 1,2?, n. n
3

2 ? ?R ? i ?1 ? ? 2 R ? ? ?1 ? ? 体积: Vi ? ?ri ? ? n n ? ? ? n ? ? ?

球的体积公式
V半球=V1 ? V2 ? ??? ? Vn ? R3 12

n( n ? 1)( 2n ? 1) 1 ? 2 ??? n ? 6
2 2 2

22 (n ? 1) 2 ? {1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ??? ? [1 ? ]} 2 n n n n

1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1) ? [n ? ] 2 n n
3 2 2 2
3

?R

( n ? 1)(2n ? 1) ? ? R [1 ? ] 2 6n

V半球

1 1 (1 ? )(2 ? ) 1 3 n n 趋于0 ? ? R [1 ? ] 当n无限变大时, n 6

2 3 V半球= ? R 3

4 3 V球= ? R 3

用“祖暅原理”得到球体积公式
高等于底面半径的旋转体体积对比
R ?

1 3 V圆 锥 ? ?R 3

2 3 V半 球 ? ?R 3

V圆 柱 ? ?R

3

球的表面积公式推导
球面不能展开成平面图形,所以求球的表面积无 法用展开图求出,如何求球的表面积公式呢? 从球的体积公式的推导方法, 得到启发,可以借助 极限思想方法来推导球的表面积公式。

?S i

o

o

球的表面积公式推导
设“小锥体”的体积为 ?Vi
则球的体积为:
O

V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ? ? ?Vn

?S i
O

4 3 1 ? R ? sR 3 3

?Vi

S ? 4? R

2

基本计算问题
1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直 径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
O

2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍,则体积扩大为原来的 ________倍. (2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大为原 来的_______倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3,则它们的体积之比为 _________. (4)三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为 ________.

截面问题
用一个平面α去截一个球O,截面是圆面 球的截面的性质:
球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d,球的半径为R,则

r ? R ?d
2 2

2

R
?

O

r

d

截面问题

要点:准确画图,利用基本三角形

1.一球的球面面积为256πcm2,过此球的一条半径的 中点,作垂直于这条半径的截面,求截面圆的面 积. 变式:在球内有相距9cm的两个平行截面,截面面 积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积. 两种情况 2. 过球面上三点A、B、C的截面和球心O的距离等于球 的半径的一半,且AB=BC=CA=3,求球的体积. 变式:在半径为13cm的球面上有A、B、C三点,AB= 6cm,BC=8cm,CA=10cm,求经过A、B、C三点 的截面与球心O之间的距离.

“接”与“切”:
两个几何体相(内)切:一个几何体的各个 面与另一个几何体的各面相切 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上 解决“接切”问题的关键是画出正确的截 面,把空间“接切”转化为平面“接切” 问题

球与正方体的“接切”问题
典型:有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a r1 ? 2
2 a 2

a

a

r2 ?

a

3 r3 ? a 2

a

2a

2a

?画出正确的截面:(1)中截面;(2)对角面 ?找准数量关系

球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长 是4cm,求这个球队体积. 2.钢球直径5cm,把钢球放入一个正方体的 有盖纸盒中,至少要用多少纸? 3.半球内有一内接正方体,正方体的一个面 在半球的底面圆上,若正方体的一边长为 6,求半球的半径. 4.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3, 5,15,求它的外接球表面积.

长方体对角线 l 2 ? a 2 ? b2 ? c 2

四面体与球的“接切”问题
典型:正四面体ABCD的棱长为a,求 其内切球半径r与外接球半径R. 思考:若正四面体变成正三棱锥,方法 是否有变化? 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不 重合 4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法

四面体与球的“接切”问题
1.正四棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a (1)求它的外接球的体积; ( 2)求它的内切球的表面积 . 2.在半径为15的球内有一个底面边长 为12 3 的内接正三棱锥,求此 正三棱锥的体积 . 3.在三棱锥 S ? ABC中,SA ? AB ? AC ? 1, ?BAC ? 90 ?, SA ? 面ABC,求三棱锥的内切 球的半径.
此页不讲,留给以后专题课

球与旋转体的“接切”问题
1.半圆O的直径为直角梯形垂直于底的 腰,且切AB、BC、CD于A、E、D 点,将其绕AD所在直线旋转一周, 得到一个球与一个圆台,若球的表面 积与圆台侧面积的比为3:4,求球的 体积与圆台体积之比. 2.一个倒立的圆锥形容器,它的轴截面 是正三角形,在此容器内注入水并且 放入一个半径为r的铁球,这时水面 恰好和球面相切,问将球从圆锥内取 出后,圆锥内水平面的高是多少?

轴截面

球堆问题

化归为以各球球心为 顶点的多面体问题

1.把半径为R的四个球垒成两层放在桌面,下 层放三个,上层放一个,两两相切,求上 层小球最高点离桌面的距离. 2.四个半径为R的大球上层一个,下层三个两 两相切叠放在一起,在它们围成的空隙内 有一个小球与这四个大球都外切,另有一 个更大的球与这四个大球都内切,求小球 的半径r和更大球的半径R’.
此页2不讲,留给以后专题课

补充一:等积法求多面体的外切球的半径
1.在三棱锥S ? ABC中,SA ? AB ? AC ? 1, ?BAC ? 90?, SA ? 面ABC,求三棱锥的内切 球的半径. 求该多面体的体积.
1、面积分割是求多边形内切圆半径的通用做法; 体积分割是求多面体内切球半径的通用做法。

2.表面积为Q的多面 体中有一表面积为36 π的内切球,

2s r? 2、多边形内切圆半径 a1 ? a2 ? ? ? an 3v 多面体内切球半径 R ? s1 ? s2 ? ? ? sn

补充二:锥体截面性质
平行于底面的截面与底面相似,且
S1

S截 S底

h 1 2 S小 棱 锥 侧 ?( ) = h S原 棱 锥 侧 S中 截 S底 ??

S

当平行于底面的截面过棱锥 高的中点时,这个截面常被 称为中截面,思考:

补充二:锥体截面问题
1.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积 与底面面积的比是1:3,这截面把圆锥母线分成为 两段的比是多少? 变式:棱锥的底面面积为150cm2,平行于底面的截 面面积为54cm2,若底面和截面的距离为14cm, 求这个棱锥的高


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