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13.函数与导数


深圳市 2016 年高考数学复习参考题
13.函数与导数
编辑:深圳中学 黄文辉,张建强
一、选择题 (0, +?) 1.下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是 (A) y ? x3 (B) y ? x ?1 (C) y ? ? x2 ? 1 (D)

y?2

?x

【选题意图】考

察简单初等函数的单调性与奇偶性。 2.设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? (A) {x | x ? ?2或x ? 4} (C) {x | x ? 0或x ? 6} (B) {x | x ? 0或x ? 4} (D) {x | x ? ?2或x ? 2}

【选题意图】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力。 3.由曲线 y ? (A)

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
(B)4 (C)

10 3

16 3

(D)6

【选题意图】考察定积分的几何意义。 4.用 min ?a, b, c? 表示 a, b, c 三个数中的最小值.设 f ( x) ? min 2 x , x ? 2,10 ? x 则 f ? x ? 的最大值为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 【选题意图】考察函数图象的画法与最值。 (D) 7

?

?

( x ? 0 ),

x 2 5. 已知函数 f ( x) ? e ?1, g ( x) ? ? x ? 4x ? 3, 若有 f (a) ? g (b), 则 b

的取值范围为 A. [2 ? 2, 2 ? 2] B. (2 ? 2, 2 ? 2) C. [1,3] D. (1,3)

【选题意图】考察函数的值域及能成立问题。 6.当 0 ? x ? (A) (0,

1 时, 4x ? loga x ,则 a 的取值范围是 2

2 2 ) (B) ( ,1) (C) (1, 2) (D) ( 2,2) 2 2 【选题意图】 考察利用函数图象解决恒成立问题, 指数函数与对数函数的图像与性质及数形 结合思想。 7.设 a ? log3 2 , b ? log5 2 , c ? log2 3 ,则 (A) a ? c ? b (B) b ? c ? a
1

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b

【选题意图】考察指数对数的比较大小问题。

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? 8.已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c), 则 abc ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5, 6) (C)

(10,12)

(D) (20, 24)

【选题意图】考察将方程的根转化为函数图象交点问题。 9.函数 y ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 1? x
(C) 6 (D) 8

(A) 2 (B) 4 【选题意图】考察函数图象的交点问题。
1 x

10.曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (A)

9 2 e 2

(B) 4e 2

(C) 2e 2

(D) e2

【选题意图】导数运算及导数的几何意义。 11.在下列区间中,函数 f ( x) ? ex ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为 (A) (? , 0)

1 4

(B) (0, )

1 4

(C) ( , )

1 1 4 2

(D) ( , )

1 3 2 4

【选题意图】考察函数的零点的位置确定问题。 12.设点 P 在曲线 y ? (A) 1 ? ln 2

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2
(B)



2(1 ? ln 2)

(C)

1 ? ln 2

(D)

2(1 ? ln 2)

【选题意图】考察反函数图象的对称性以及距离最值问题。 二、填空题 1.设函数 f ( x) ?

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a ? ________ x

【选题意图】考察已知奇偶性求参数值的问题。 2.曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为________ 【选题意图】考察直线方程与基本导数运算。 3.设函数 f ( x) ?

( x ? 1) 2 ? sin x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m ? ____ x2 ? 1

【选题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想。 4.若函数 f ( x ) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x =-2对称,则 f ( x ) 的最大值是___.
2 2

【选题意图】考察本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值。
2

三、解答题 1.设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 (I)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln 【选题意图】考察单调性的讨论以及极值的讨论问题。 2.设函数 f ( x) ? ex ?1 ? x ? ax2 . (Ⅰ)若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 【选题意图】讨论最值法解决恒成立问题的经典例子。 3.已知函数 f ( x ) ?

e . 2

ax ? b ( a ? 0 , a 、 b 为常数)的所有极值之和为零. x2 ? 1

(Ⅰ)求 b 及 f ( x ) 的极大值点; (Ⅱ)若 f ( x ) 的极大值为 1 ,对任意 x ? 0 , f ( x) ? 范围. 【选题意图】讨论最值法解决恒成立问题的复杂。
x 2 4.已知 f ( x) ? e ? x ? b ,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? ax ? 1 相切于点 (1, f (1)) .

2 恒成立,求实数 m 的取值 2 ? m ln 2 x

(1)求 a , b 的值;
x 2 (2)求证:当 x ? 0 时, e ? (2 ? e) x ?1 ? x .

【选题意图】利用导数证明不等式问题。 5.设 f ( x) ? m ln x ?

2m e x ? x x2

(1)若 m ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 内存在两个极值点,求 m 的取值范围. 【选题意图】考察极值的存在性问题。 6.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3ax ? 3a ? 3 .
3 2

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 x ? [0,2] 时,求 | f ( x) | 的最大值. 【选题意图】考察函数最值的讨论问题。
3

7.设 f ( x) 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且当 ? 1 ? x ? 0 时,

f ( x) ? 2x 3 ? 5ax2 ? 4a 2 x ? b .
(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 当 1 ? a ? 3 时,求函数 f ( x) 在 ?0,1? 上的最大值 g (a ) ; (3) 如果对满足 1 ? a ? 3 的一切实数 a , 函数 f ( x) 在 ?0,1? 上恒有 f ( x) ? 0 , 求实数 b 的取 值范围. 【选题意图】考察基本的最值讨论和恒成立问题。 8.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 (a ? R) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图象在点 ? 2, f (2) ? 处的切线的倾斜角为 45 ,问: m 在什么范围
?

内取值时,对于任意 t ??1, 2? ,函数 g ( x) ? x ? x ? ? f ?( x) ? 在区间 ? t , 3? 上总存在极 ?2 ?
3 2

?m

?

值? 【选题意图】考察单调性的讨论和根的讨论问题。 9.设函数 f ? x ? ? e
2x

? a ln x .

(1)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (2)证明:当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

【选题意图】考察根的个数与不等式的证明问题。 10.已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1 , a ? R . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)设 a ? ?1 ,如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取值范围. 【选题意图】考察函数的单调性讨论以及构造函数解决恒成立的问题。

4

参考答案
一、选择题 1.【答案】B 【解析】定义及图像可知。 2.【答案】B 【解析】当 x ? 0 时,则 ? x ? 0 ,由偶函数满 f ( x ) 足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) 可得,

? x 3 ? 8( x ? 0) ? ( x ? 2)3 ? 8( x ? 2) , f ( x ? 2) ? ? f ( x) ? f (? x) ? ? x3 ? 8 ,则 f ( x) ? ? 3 3 ? ? x ? 8( x ? 0) ??( x ? 2) ? 8( x ? 2)
令 f ( x ? 2) ? 0 ,可解得 x ? 4, 或x ? 0 .应选 B. 3.【答案】C
3 2 2 1 16 4 【解析】用定积分求解 s ? ? ( x ? x ? 2)dx ? ( x ? x 2 ? 2 x ) |0 ? 。 3 2 3 0 4

4.【答案】C 【解析】画出 y ? 2x , y ? x ? 2, y ? 10 ? x 的图象,如右图,观察图象可知,

?2 x , 0 ? x ? 2 ? f ( x) ? ? x ? 2, 2 ? x ? 4 ,所以 f ( x) 的最大值在 x ? 4 时取得为 6,故选 C. ?10 ? x, x ? 4 ?
5.【答案】B 【解析】由题可知 f ( x) ? e ? 1 ? ?1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2) ? 1 ? 1 ,若有
x 2 2

f (a) ? g (b), 则 g (b) ? (?1,1] ,即 ?b2 ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。
6.【答案】B

?0 ? a ? 1 2 ? 1 ,解得 【解析】由指数函数与对数函数的图像知 ? ? a ? 1 ,故选 B . 1 2 2 ?log a ? 4 ? 2
7.【答案】D 【解析】因为 log 3 2 ?

1 1 ? 1 , log 5 2 ? ? 1,又 log2 3 ? 1 ,所以 c 最大.又 log 2 3 log 2 5 1 1 ,即 a ? b ,所以 c ? a ? b ,选 D. ? log 2 3 log 2 5

1 ? log2 3 ? log2 5 ,所以
8.【答案】C

5

【解析】不妨设 a ? b ? c ,取特例,如取 f (a) ? f (b) ? f (c) ?

1 ,则易得 2

a ? 10 2 , b ? 10 2 , c ? 11 ,从而 abc ? 11 ,选 C.
另解:不妨设 a ? b ? c ,则由 f (a) ? f (b) ? ab ? 1 ,再根据图像易得 10 ? c ? 12 ,故选 C. 9.【答案】D 【解析】图像法求解. y ?

?

1

1

1 的对称中心是(1,0)也是 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的中心, x ?1

?2 ? x ? 4 他们的图像在 x ? 1 的左侧有 4 个交点,则 x ? 1 右侧必有 4 个交点.不妨把他们
的横坐标由小到大设为 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ,则

x1 ? x8 ? x2 ? x7 ? x3 ? x6 ? x4 ? x5 ? 2 ,所以选 D
10.【答案】D 【解析】 ? y? ? (e 2 )? ?
2 为 y?e ?

1

x

x 1 1 1 e 2 , 曲线在点 (4,e2 ) 处的切线斜率为 e 2 ,因此切线方程 2 2

1 2 e ( x ? 4), 则切线与坐标轴交点为 A(2,0), B(0, ?e2 ), 所以: 2 1 S?AOB ? | ?e 2 | ?2 ? e 2 . 2

11.【答案】C 【解析】本题考查零点存在定理,属于中等题。只需验证端点值,凡端点值异号就是答案. 故选 C. 12.【答案】A 【解析】 函数 y ?

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称; 函数 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2 。

设函数

1 1 1 ? ln 2 g ( x) ? e x ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? 由图象关于 2 2 2 ,
y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2)
二、填空题 1.【答案】-1 【解析】 :? f (1) ? f (?1) ? 0 ? 2(1 ? a) ? 0 ? 0,? a ? ?1.
6

2.【答案】 4 x ? y ? 3 ? 0 【解析】∵ y? ? 3ln x ? 4 ,∴切线斜率为 4,则切线方程为: 4 x ? y ? 3 ? 0 . 3.【答案】2

2 x ? sin x , x2 ? 1 2 x ? sin x 设 g ( x ) = f ( x) ? 1 = ,则 g ( x) 是奇函数, x2 ? 1
【解析】 f ( x ) = 1 ? ∵ f ( x ) 最大值为 M,最小值为 m ,∴ g ( x) 的最大值为 M-1,最小值为 m -1, ∴ M ? 1 ? m ? 1 ? 0 , M ? m =2. 4.【答案】16 【解析】由 f ( x ) 图像关于直线 x =-2 对称,则

0 ? f (?1) ? f (?3) = [1 ? (?3)2 ][(?3)2 ? 3a ? b] , 0 ? f (1) ? f (?5) = [1 ? (?5)2 ][(?5)2 ? 5a ? b] ,解得 a ? 8, b ? 5 ,
∴ f ( x ) = (1 ? x2 )( x2 ? 8x ? 15) , ∴ f ?( x ) = ?2x( x2 ? 8x ? 15) ? (1 ? x2 )(2x ? 8) = ?4( x3 ? 6 x2 ? 7 x ? 2) = ?4( x ? 2)( x ? 2 ? 5)( x ? 2 ? 5) 当 x ∈(-∞, ?2 ? 5 )∪(-2, ?2 ? 5 )时, f ?( x ) >0, 当 x ∈( ?2 ? 5 ,-2)∪( ?2 ? 5 ,+∞)时, f ?( x ) <0, ∴ f ( x) 在 (-∞,?2 ? 5 ) 单调递增, 在 ( ?2 ? 5 , -2) 单调递减, 在 (-2,?2 ? 5 ) 单调递增,在( ?2 ? 5 ,+∞)单调递减,故当 x = ?2 ? 5 和 x = ?2 ? 5 时取极大值,

f (?2 ? 5) = f (?2 ? 5) =16.
三、解答题

1 ? 2x , x?a 3 依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? . 2
1.【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? 从而 f ?( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? . 3 3 x? x? 2 2
7

3 ? 3 ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ? ∞? ,当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 ? 2 ?
当 ?1 ? x ? ? 当x??

1 时, f ?( x) ? 0 ; 2

1 时, f ?( x) ? 0 . 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ?? ,

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (?a, ? ?) , f ?( x) ?

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a 2 ? 8 . (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 . 若a ?

2 , x ? (? 2,∞ ? ) , f ?( x) ?
2 时, f ?( x) ? 0 , 2

( 2 x ? 1)2 . x? 2

当x??

当 x ? ? ? 2, ?

? ? ?

? 2? ? 2 ? ? , ? ∞ ? ? ? ? ? 时, 2 ? ? ? 2 ?

f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 无极值.
若 a ? ? 2 , x ? ( 2,∞ ? ) , f ?( x) ? (ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2

2 或 a ? ? 2 ,则 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根

x1 ?

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , x2 ? . 2 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点, 故 f ( x ) 无极值. 当a ?

2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,
8

由根值判别方法知 f ( x ) 在 x ? x1,x ? x2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2 , ? ∞) .

f ( x) 的极值之和为

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln

1 e ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln . 2 2

2.【解析】 (1) a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 1 ? x , f '( x) ? e x ?1 . 当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x ) 在 (??, 0) 单调减少, 在 (0, ??) 单调增加 (II) f '( x) ? e x ?1 ? 2ax 由(I)知 e x ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e x ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e? x ? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,
故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 .

1 2 ax ? b 3.【解析】已知函数 f ( x ) ? 2 ( a ? 0 , a 、 b 为常数)的所有极值之和为零. x ?1
综合得 a 的取值范围为 (??, ] . (Ⅰ)求 b 及 f ( x ) 的极大值点; (Ⅱ)若 f ( x ) 的极大值为 1 ,对任意 x ? 0 , f ( x) ? 取值范围. 解: (Ⅰ)由 f ?( x) ?
2 2

2 恒成立,求实数 m 的 2 ? m ln 2 x

?ax 2 ? 2bx ? a 2 ,令 f ?( x) ? 0 可得 ?ax ? 2bx ? a ? 0 , 2 2 ( x ? 1)
2

因为 ? ? 4b ? 4a ? 0 ,记 ?ax ? 2bx ? a ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,

9

2b ? ? x1 ? x2 ? ? 所以有: ? a ? ? x1 x2 ? ?1

①,

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 变化情况如下:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, x1 )
?

x1
0
极小值

( x1 , x2 )

x2
0
极大值

( x2 , ??)
?

?
?

?

?

由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,可得

ax1 ? b ax2 ? b (ax1 ? b)( x22 ? 1) ? (ax2 ? b)( x12 ? 1) ? ? ?0, x12 ? 1 x22 ? 1 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)
2 2

即 a( x1 x2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? b( x2 ? x1 ? 2) ? 0 , 即 a( x1x2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? b[( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 ? 2] ? 0 …②,
2

4b 2 ? 4) ? 0 ,故 b ? 0 ,极大值点 x2 ? 1 1 . a2 2x 2x 2 ? 法一: (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( x) ? 2 ,对任意 x ? 0 , 2 恒成立 x ?1 x ? 1 2 ? m ln 2 x
①代入②可得 b( 当 m ? 0 时, x ? e
? ? 2 m

与题意矛盾,故 m ? 0 .

此时不等化可化为 m ln x ? x ?
2

1 1 2 ?2 ?( x ? ) ,显然, x ? 1 时,该不等式成立. x x

问题等价于 m ln x ? 上恒成立. 令t ?

x?

1 1 1) ? 0 在 (1, ??) ? 0 在 (0, 上恒成立, m ln x ? x ? x x

x ,问题等价于

1 1 2 m ln t ? t ? ? 0 在 (1, ??) 1) 上恒成立, 2 m ln t ? t ? ? 0 在 (0, 上恒成立(*). t t
记 g (t ) ? 2 m ln t ? t ? ( t ? 0 ) , g ?(t ) ?
2 记 h(t ) ? ?t ? 2 mt ?1 ( t ? 0 ) ,

1 t

2 m 1 ?t 2 ? 2 mt ? 1 ? 2 ?1 ? (t ? 0) , t t t2

(1)当 0 ? m ? 1 时, ? ? 4m ? 4 ? 0 ,故 h(t ) ? 0 恒成立, 所以,当 t ? 1 , g (t ) ? g (1) ? 0 ;当 0 ? t ? 1 , g (t ) ? g (1) ? 0 ,
10

即对任意 t ? 1 ,2 m ln t ? t ? ? 0 恒成立;对任意 0 ? t ? 1 ,2 m ln t ? t ? ? 0 恒成立. (2)当 m ? 1 时, ? ? 0 ,方程 h(t ) ? 0 必有两根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 . 由 x1 ? x2 ? 2 m, x1x2 ? 1 知, 0 ? x1 ? 1 ? x2 .(由 h(1) ? 2 m ? 2 ? 0 也可知 x1 ? 1 ? x2 ) 于是 g (t ) 在 (0, x1 ) 递减,在 ( x1 , x2 ) 递增,在 ( x2 , ??) 递减, 又因为 g (1) ? 0 , 所以在 (0,1) 上有 g ( x1 ) ? g (1) ? 0 ;在 (1, ??) 上有 g ( x2 ) ? g (1) ? 0 ,均不能满足(*). 综上,实数 m 取值范围为 [0,1] . 法二: (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( x) ? 当 m ? 0 时, x ? e
? ? 2 m

1 t

1 t

2x 2 ,对任意 x ? 0 , f ( x) ? 恒成立 x ?1 2 ? m ln 2 x
2

与题意矛盾,故 m ? 0 . 2x 2 1 2 ? 所以,对任意 x ? 0 , 2 恒成立 ? 对任意 x ? 0 , 2 ? m ln x ? x ? ? 0 2 x ? 1 2 ? m ln x x 恒成立, 记 g ( x) ? 2 ? m ln x ? x ?
2

1 2m n l x1 1 ) ? ? 21 ? ? 2 (n l (x ? 0) , g ?( x x x x x

m

1

x)?

x

?x ,

(x ? 0) ,

1 ?x (x ? 0) , x ? x 2 ? 2mx ? 1 则 ? ?( x) ? (x ? 0) , x2
记 ? ( x) ? 2m ln x ? (1)当 0 ? m ? 1 时, ? ?( x) ? 0 ,所以 ? ( x) 在 (0, ??) 单调递减,又因为 ? (1) ? 0 ,

1 ? ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0,1) 单调递增; x 1 当 x ? (1, ??) 时, ? ( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? ? ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1, ??) 单调递减; x 所以,对任意 x ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 符合题意;
当 x ? (0,1) 时, ? ( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? (2)当 m ? 1 时,令 ? ?( x) ? 0 ,解得 m ? m2 ?1 ? x ? m ? m2 ?1 , (此处做法同法一) 因为 ? ?(1) ? 2m ? 2 ? 0 ,所以 1? (m ? m2 ? 1, m ? m2 ? 1) , 所以当 x ? (1, x1 ) 时, ? ?( x) ? 0 ,即 ? ( x) 在 (1, x1 ) 单调递增,又因为 ? (1) ? 0 , 所以当 x ? (1, x1 ) 时, ? ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1, x1 ) 单调递增,所以 g ( x1 ) ? g (1) ? 0 不符 合题意. 综上,符合题意的实数 m 取值范围为 [0,1] . 4.【解析】(1) f ? ? x ?=ex-2x . 由题设得 a=f ? ?1?=e-2 , a ? 1=f ?1? =e ?1 ? b .
11

故 a=e-2,b=0 . (2)由(1)得, f ? x ?=ex-x2 ,设 g ( x) ? e x ? (2 ? e) x ?1 ? x 2 , x>0 . 则 g? ? x ?=ex-2x+2-e , 设 h ? x ?=g? ? x ? ,则 h? ? x ?=ex-2 , 当 x ? (0,ln2) 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减, 当 x ? (ln2, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增, 又 h ? 0?= 3-e>0 , h ?1?=0 ,且 0<ln2<1 , h ?ln2?<0 ,所以

?x0 ? (01 ,, ) h ? x0 ?=0 ,
,+?) 时, g? ? x ?>0 ;当 x ? ( x0, 所以当 x ? (0,x0 ) 或 x ? (1 1) 时, g? ? x ?<0 , ,+?) 单调递增,在 ( x0, 故 g ? x ? 在 (0,x0 ) 和 (1 1) 单调递减,
又 g ? 0?=g ?1?= 0 ,所以 g ? x ?=ex-x2-(e-2) x- 1? 0 .

5.【解析】(1)函数 y=f ? x ? 的定义域为 (0, ??) ,

f ? ? x ?=

m 2m e x ? x 2 ? e x ? 2 x (mx ? e x ) ? ( x ? 2) ? ? ? . x x2 x4 x3
x

当 m ? 0 时, mx ? e ? 0 , 所以当 x ? (0, 2) 时, f ? ? x ? >0 , f ? x ? 单调递增;

x ? (2, ??) 时, f ? ? x ? <0 , f ? x ? 单调递减. 2) ,单调递减区间为 (2, ??) . 综上: f ? x ? 的单调递增区间为 (0,
(2)若 m ? 0 ,由(1)知,函数 f ? x ? 在(0,2)内单调递增,故 f ? x ? 在(0,2)内不存在极值 点; 当 m ? 0 时,设函数 g ? x ?=mx-ex,x ? (0, 2) . 因为 g? ? x ?=m-ex , ①当 0 ? m ? 1 时, x ? (0, 2) , g? ? x ? ? 0, ? g( x) ? g (0) ? ?1, f ? ? x ? >0 , f ? x ? 单调递
12

增, 故 f ? x ? 在(0,2)内不存在两个极值点.

ln m) 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增; ②当 m ? 1 时, g? ? x ?=m-ex=eln m-ex 得 x ? (0, x ? (ln m,+?) 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减.
所以函数 g ? x ? 在 (0, ??) 的最大值为 g ? ln m?=m(ln m- 1) . 函数 f ? x ? 在(0,2)内存在两个极值点.

? g (0) ? 0 ? g (ln m) ? 0 ? 当且仅当 ? ? g (2) ? 0 ? ?0 ? ln m ? 2

解得 e ? m ?

e2 . 2

2) 内存在两个极值点时, m 的取值范围为 (e, 综上所述,函 数 f(x)在 (0,

e2 ). 2


6.【解析】 (1) f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3a , ? f ?(1) ? 3a ? 3 ,且 f ( 1 ) ? 1 ?3 ?3 a?3 ?3 a? 1 所以所求切线方程为: y ? 1 ? (3a ? 3)( x ? 1) ,即 3(a ? 1) x ? y ? 4 ? 3a ? 0 . (2)由已知得到: f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3a ? 3[ x( x ? 2) ? a] ,其中 ? ? 4 ? 4a . 当 x ? [0, 2] 时, x( x ? 2) ? 0 . ① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上递减. 此时 f ( x)max ? f (0) , f ( x)min ? f (2) . 而 f (0) ? 3(1 ? a), f (2) ? 3a ?1, ? f (2) ? 0 ? f (0) .

? | f ( x) |max ? max{ f (0),| f (2) |} .
又 f (0)? | f (2) |? 3(1 ? a)? | 3a ? 1|? 3(1 ? a) ? (3a ?1) ? 2 ? 0 ,从而 f (0) ?| f (2) | . 故? | f ( x) |max ? max{ f (0),| f (2) |} ? f (0) ? 3(1 ? a) . ② 当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a

? 1 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上递增.

此时 f ( x)max ? f (2) , f ( x)min ? f (0) . 而 f (0) ? 3(1 ? a), f (2) ? 3a ?1, ? f (0) ? 0 ? f (2) .
13

? | f ( x) |max ? max{| f (0) |, f (2)} .
又 | f (0) | ? f (2) ?| 3(1 ? a) | ?(3a ?1) ? 3(a ?1) ? (3a ?1) ? ?2 ? 0 ,从而 | f (0) |? f (2) . 故 | f ( x) |max ? max{| f (0) |, f (2)} ? f (2) ? 3a ?1 . ③ 当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,

f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3a ? 0 , ? x1 ? 1? 1? a , x2 ? 1? 1? a ,且 0 ? x1 ? x2 ? 2 .
当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x) 变化情况列表如下:

x f
?(x )

0

(0,x1) +

x1
0

(x1,x2) ?

x2
0

(x2,2) +

2

f
(x)

3? 3a



极大值



极小值



3a?1

所以 f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a , f ( x2 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ,且

? f ( x1) ? f ( x2 ) ? 2 ? 0, f ( x1) ? f ( x2 ) ? 4(1? a) 1 ? a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ?| f ( x2 ) | ,
f (0) ? 3(1 ? a) ? 0 , f (2) ? 3a ? 1 ,其中 f (2) 的符号暂时无法确定.
所以 | f ( x) |max ? max{ f (0),| f (2) |, f ( x1)} . (ⅰ)当 0 ? a ?

2 时, f (0) ?| f (2) | ,此时 | f ( x) |max ? max{ f (0), f ( x1)} . 3

f ( x1 ) ? f (0) ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a) ?
因为 0 ? a ?

a 2 (3 ? 4a) 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a)

2 ,所以 2 ? 3a ? 0,3 ? 4a ? 0 ,从而 f ( x1 ) ? f (0) ? 0 . 3

此时 | f ( x) |max ? f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a . (ⅱ)当

2 ? a ? 1 时, f (2) ? 0, f (0) ? 0 ,且 f (2) ? f (0) ,此时 3

| f ( x) |max ? max{ f (2), f ( x1 )}

f ( x1 ) ? f (2) ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 2) ?


a 2 (3 ? 4a) . 2(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 2)

2 3 ? a ? 时, 3 ? 4a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f (2) . 3 4
14

此时 | f ( x) |max ? f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a . 当

3 ? a ? 1 时, 3 ? 4a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f (2) . 4

此时 | f ( x) |max ? f (2) ? 3a ? 1 . 综上所述:

? ?3 ? 3a , a?0 , ? 3 ? | f ( x) |max ? ?1 ? 2(1 ? a) 1 ? a , 0 ? a ? , 4 ? 3 ? 3a ? 1 , a? . ? ? 4
7.【解析】 (1)当 0 ? x ? 1 时, ? 1 ? ? x ? 0 ,则

f ( x) ? ? f (? x) ? 2 x3 ? 5ax2 ? 4a 2 x ? b .
当 x ? 0 时, f (0) ? ? f (?0) ? f (0) ? 0 .

?2 x 3 ? 5ax2 ? 4a 2 x ? b, (?1 ? x ? 0), ? ? f ( x) ? ?0, ( x ? 0 ), ?2 x 3 ? 5ax2 ? 4a 2 x ? b, (0 ? x ? 1 ). ? (2)当 0 ? x ? 1 时

f ?( x) ? 6x 2 ? 10ax ? 4a 2 ? 2(3x ? 2a)(x ? a) ? 6( x ?
(i)当

2a )( x ? a) . 3

2 2a 3 ? ? 1 ,即 1 ? a ? 时 3 3 2

当 x ? ? 0,

? ?

2a ? ? 2a ? ? 时, f ?( x) ? 0 , 当 x ? ? ,1? 时, f ?( x) ? 0 , 3 ? ? 3 ?

? 2a ? ? 2a ? ? f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增,在 ? ,1? 上单调递减, ? 3 ? ? 3 ?
? g (a) ? f ( 2a 28 3 )? a ?b . 3 27 2a 3 ? 2 ,即 ? a ? 3 时, f ?( x) ? 0 , (ii)当 1 ? 3 2

? f ( x) 在 ?0,1? 单调递增.

? g (a) ? f (1) ? 4a 2 ? 5a ? 2 ? b ,

15

3 ? 28 3 a ? b, (1 ? a ? ), ? ? 27 2 ? g (a) ? ? ?4a 2 ? 5a ? 2 ? b, ( 3 ? a ? 3). ? 2 ?
(3) 要使函数 f ( x) 在 ?0,1? 上恒有 f ( x) ? 0 ,必须使 f ( x) 在 ?0,1? 上的最大值 g (a) ? 0 .也 即是对满足 1 ? a ? 3 的实数 a , g (a ) 的最大值要小于或等于 0 . (i)当 1 ? a ? 则 g (a) ?

28 2 3 3 a ? 0 ,此时 g (a) 在 (1, ) 上是增函数, 时, g ?( a ) ? 2 9 2
3

7 28 ? 3 ? ? ? ?b ? ?b . 2 27 ? 2 ?

7 7 ? ? b ? 0 ,解得 b ? . ………① 2 2 3 (ii)当 ? a ? 3 时, g ?(a) ? 8a ? 5 ? 0 2
此时, g (a ) 在 ? ,3? 上是增函数, g (a ) 的最大值是 g (3) ? 23 ? b . 2

?3 ? ? ?

? 23 ? b ? 0 ,解得 b ? 23 .………②
由①、②得实数 b 的取值范围是 [23, ??) . 8.【解析】 (Ⅰ)由 f ?( x ) ?

a (1 ? x ) ( x ? 0) 知: x

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1, ??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (1, ??) ,单调减区间是 (0,1) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无单调区间. (Ⅱ)由 f ?(2) ? ?
3 2

a 2 ? 1 ,得 a ? ?2 ,∴ f ( x) ? ?2ln x ? 2 x ? 3 , f ?( x) ? 2 ? . 2 x

故 g ( x) ? x ? x ? ? f ?( x) ? ? x ? (2 ? ) x ? 2 x 2 ?2 ?
3 2

?m

?

m

g?( x) ? 3x2 ? (4 ? m) x ? 2 .
令 g ( x) ? 0 得, ? ? (m ? 4) ? 24 ? 0
/ 2

故 g ( x) ? 0 两个根一正一负,即有且只有一个正根
/

∵ g ( x) 在区间 ? t ,3? 上总存在极值,
16

? g / ( x) ? 0 在 (t ,3) 上有且只有一个实数根。

37 ? m?? ? ? (3) ? 0 / ? ?g / 3 g / (t ) ? 0, ? g (3) ?? ? g (0) ? ?2 ? 0,? ? ?0 ? g ?(t ) ? 0 ?m ? 4 ? 2 ? 3t ? t ?
2 ? 3t在t ?[1,2]单调减。? m ? ?9 , t 37 , ?9) 综上得: m ? ( ? 3
而y?

+? 9.【解析】(1) f ( x) 的定义域为 0,

(

) , f ?( x)=2e

2x

-

a ( x > 0) . x

①当 a ? 0 时, f ? ( x) > 0 恒成立, f ? ( x) 没有零点; ②当 a > 0 时,因为 e 2 x 单调递增, -

a +? ) 上单调递增.又 单调递增,所以 f ? ( x) 在 ( 0, x a 1 当 b 满足 0 < b < 且 b < 时,f ? 从而 f '(a) ? f '(b) ? 0 , 且函数 y ? f '( x) f? (a) > 0 , (b) < 0 , 4 4

的图象在 [b, a] 上连续不断, 由函数的零点存在性定理知 f '( x) 在 (b, a) 上存在零点, 又 f? ( x)

+? 在 0,

(

) 上单调递增,故当 a > 0 时, f ?( x) 存在唯一零点. ( ) 上的唯一零点为 x .
0

综上所述,当 a ? 0 时, f ? ( x) 没有零点;当 a > 0 时, f ? ( x) 存在唯一零点.

+? (2)由(1)知,记 f ? ( x) 在 0,

当 x 变化时, f ? ( x) , f ( x) 变化情况列表如下:
x
(0 , x0 )
?

x0
0

( x0 , ? ?)

f? ( x) f ( x)
故 f ( x)min ? f ( x0 ) ? e2 x0 ? a ln x0 . 由于 f '( x0 ) ? 0 ,即 2e
2 x0

?



极小值



-

a =0 , x0

所以 f ( x0 )=

1 a 2 2 1 ? 2 x0 即 x0 = 时等号成立. + 2ax0 + a ln ? 2a a ln ,当且仅当 2 x0 2 2 x0 a a
17

故当 a > 0 时, f ( x) ? 2a a ln

2 . a

10.【解析】(1) f ( x ) 的定义域为 (0 , ? ?) . f '( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上单调递增; ②当 a ? ?1 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上单调递减; ③当 ?1 ? a ? 0 时,令 f '( x0 ) ? 0 ,解得 x0 ? 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 变化情况列表如下:
x
(0 , x0 )

?

a ?1 (舍去负值). 2a

x0
0

( x0 , ? ?)
?

f '( x) f ( x)

?



极大值


a ?1 ) 2a

综上所述, 当 a ? ?1 时,f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上单调递减; 当 ?1 ? a ? 0 时,f ( x ) 在 (0 , ? 上单调递增,在 ( ?

a ?1 , ? ? ) 上单调递减;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上单调递增. 2a

(2)不妨设 x1 ? x2 ,而 a ? ?1 ,由(1)知 f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上单调递减,从而

?x1, x2 ? (0, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2
等价于 ?x1 , x2 ? (0, ??) , ?( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 4( x1 ? x2 ) . 即 ?x1 , x2 ? (0, ??) , f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1 . 记 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ( x ? 0) ,则 g '( x) ?

a ?1 ? 2ax ? 4 . x

?x1, x2 ? (0, ??) , f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1
等价于 g ( x) ? f ( x) ? 4 x 在 (0 , ? ?) 上单调递减,即 g '( x) ? 0 在 (0 , ? ?) 上恒成立,即

a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0 在 (0 , ? ?) 上恒成立. x
1 2 x2 ? 1 ? a ? ?1 ,?? ? 在 (0 , ? ?) 上恒成立. a 4x ? 1 2 x2 ? 1 ( x ? 0) ,下求 h( x) 的最小值. 4x ? 1 t ?1 令 t ? 4 x ? 1 ,则 x ? (t ? 1) , 4
记 h( x) ?
18

从而 h( x) ? H (t ) ?

2(

t ?1 2 ) ?1 1 9 4 ? (t ? ? 2) . t 8 t

? t ? 1 ? 0 , ? H (t ) ?

1 9 1 9 1 1 (t ? ? 2) ? (2 t ? ? 2) ? ,当且仅当 t ? 3 时取等号.故 H (t )min ? , 8 t 8 t 2 2

1 1 即 h( x)min ? h( ) ? . 2 2

1 1 ? ,即 a ? ?2 . a 2 故 a 的取值范围为 (?? , ? 2] .

所以只需 ?

19


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