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第二课时 等差数列前n项和的性质


第二课时

等差数列前n项和的性质

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第一章 数列

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1.进一步了解等差数列的定义,通项公式以及前n项和公 式.

2.理解等差数列的性质,等差数列前n项和公式的性质应
用. 3.掌握等差数列前n项和之比问题,以及实际应用.

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第一章 数列

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1.对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查是本课时 的热点. 2.常与函数、不等式结合命题.

3.多以选择题和解答题的形式考查.

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第一章 数列

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第一章 数列

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1.等差数列的前 n 项和公式有两种形式,用首项、末 n?a1+an? 项和项数表示为 Sn= ,用首项,公差和项数表示为 2 n?n-1? Sn=na1+ 2 d. 2.通过前面的学习我们还知道 当 d>0 时,等差数列单调递增,其前 n 项和 Sn 有最小 值,当 d<0 时,等差数列单调递减,其前 n 项和 Sn 有最大 值.
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3.若等差数列{an}的通项公式为an =2n-3(n∈N +且n≤10),
则a1+a3+a5+a7+a9=35,a2+a4+a6+a8+a10=45,结合等差 数列的性质和前n项和公式,上面的问题可以有多种求法,若记

S奇=a1+a3+a5+a7+a9,S偶=a2+a4+a6+a8+a10,则
①S奇可以看作首项为a1=-1,公差为4的等差数列的5项和: S偶则可看作首项为a2=1,公差为4的等差数列的5项和;

S奇 a5 ②S 奇=5a5,S 偶=5a6,故 =a , S偶 6 ③S 偶-S 奇=5d=10,又 S 奇+S 偶=S10=80,也可求得 S 偶和 S 奇. 那么,对于任意的等差数列,上面的关系和方法都适用吗?

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第一章 数列

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1.等差数列的前 n 项和公式与函数 由于等差数列的前 n 项和公式 n?n-1? d 2 ? d? Sn=na1+ 2 d=2n +?a1-2?n. ? ? (1)当d=0,a1≠0时,Sn= na1 ,它是n的 一次 函数.

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2.等差数列的前n项和的性质
设{an}是公差为d的等差数列,则

(1)Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,?,也成等差数列,公差为
m2d .

(2)若等差数列的项数为2n,则S偶-S奇= nd ,S奇/S偶= an/an+1 .

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第一章 数列

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1.数列{an}的前n项和Sn=2n2+n(n∈N+),则数列{an}为
( A.首项为1,公差为2的等差数列 B.首项为3,公差为2的等差数列 C.首项为3,公差为4的等差数列 D.首项为5,公差为3的等差数列 )

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解析:

d 由 Sn 的表述式知 =2,∴d=4, 2

又 a1=S1=3,故选 C.

答案: C

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2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项
之和为30,则其公差为( A.5 C.3 解析: 因为项数为偶数, 所以S偶-S奇=5d=15,∴d=3. 答案: C ) B.4 D.2

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第一章 数列

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3.在等差数列{an}中,若S2=2,S4=4,则a5+a6=______.

解析:

由于S2,S4-S2,S6-S4也成等差数列,且S2=2,

S4-S2=2,故S6-S4=2,即a5+a6=2.

答案: 2
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9 =72,则a2 +a4+a9 =________. 解析: 由等差数列的性质S9 =9a5 =72,a5 =8,a2 +a4 +

a9=a1+a5+a9=3a5=24,故填24. 答案: 24

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第一章 数列

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5.(1)等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,求 S13. 1 (2)等差数列{an}的公差 d=2,且 S100=145, 求 a1+a3+a5+?+a99.
解析: (1)∵a2+a12=a1+a13=2a7, 又 a2+a7+a12=24,∴a7=8. 13?a1+a13? ∴S13= =13×8=104. 2

(2)∵S100=(a1+a3+?+a99)+(a2+a4+?+a100) =2(a1+a3+?+a99)+50d=145, 1 又 d=2,∴a1+a3+?+a99=60.
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一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10, 求前110项之和.

本题既可以按照基本方法先求首项和公差,写出前n项和公 式来求解,也可以利用等差数列的前n项和性质进行求解.

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[解题过程] 方法一:设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn, n?n-1? 则 Sn=na1+ 2 d. ? ?10a +10×9d=100 2 ? 1 由已知得? 100×99 ? d=10 ?100a1+ 2 ? 11 ①×10-②,整理得 d=-50. 1 099 代入①,得 a1= , 100 ① ②

110×109 ∴S110=110a1+ d 2
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1 099 110×109 ? 11? =110× 100 + ×?-50? 2 ? ? ?1 099-109×11? ? =110×? ? ? 100 ? ? =-110, 故此数列的前 110 项之和为-110. 方法二:设 Sn=an2+bn,∵S10=100,S100=10, 11 ? ?102a+10b=100 ?a=-100 ? ∴? ?? , 2 ?100 a+100b=10 ? ?b=111 10 ?
11 2 111 ∴Sn=-100n + 10 n, 11 111 2 ∴S110=- ×110 + ×110=-110. 100 10
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第一章 数列

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方法三:数列 S10,S20-S10,S30-S20,?,S100-S90,S110-S100 成等差数列.设其公差为 d,前 10 项的和 10×9 10S10+ 2 · 100=10?d=-22, d=S ∴S110-S100=S10+(11-1)d=100+10×(-22)=-120, ∴S110=-120+S100=-110.

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第一章 数列

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方法四:∵S100-S10=a11+a12+?+a100 90?a11+a100? 90?a1+a110? = = . 2 2 又S100-S10=10-100=-90, ∴a1+a110=-2, 110?a1+a110? ∴S110= =-110. 2

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方法五:设数列{an}的公差为d. n?n-1? Sn d 由于Sn=na1+ 2 d,则 n =a1+2(n-1).
?Sn? d ? ? ? ?是等差数列,公差为 . ∴数列 n 2 ? ? ? ?

S100 S10 d S110 S100 d ∴100- 10 =(100-10)2,且110-100=(110-100)2, 将已知数值代入上式,消去d,可得S110=-110.

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第一章 数列

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[题后感悟] 本题解法较为灵活,方法一、二建立方程(组)

计算属于通性通法.方法三、四、五直接应用性质简捷明快,
起到事半功倍的效果.

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第一章 数列

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1.(1)已知数列{an}是等差数列,前四项和为21,末四项和 为67,且各项和为286,求项数. (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=1,S3m=4,试 求S6m.
解析: (1)由题意知a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, 所以a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88. 88 所以a1+an= 4 =22. n?a1+an? 因为Sn= =286,所以n=26. 2
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第一章 数列

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(2)∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m?成公差为d的等差数列 ∴设S2m-Sm=x,则S3m-S2m=2x-1 4 ∴1+x+(2x-1)=4,解得x=3, 4 1 ∴所以该数列的公差d=3-1=3. 1 S6m相当于以Sm=1为首项,d=3的数列的前6项的和. 6×5 1 S6m=6×1+ 2 ×3=11.

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第一章 数列

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已知数列{an}为等差数列,其前12项和354,在前12项中,
偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27,求这个数列的通项公 式.

利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的 奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等差数列求解.

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第一章 数列

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[解题过程]

方法一:由等差数列的性质可知奇数项a1,a3,

a5,?,a11与偶数项a2,a4,a6,?,a12仍然成等差数列,
设{an}的首项为a1,公差为d,则
6×5 S偶=a2×6+ ×2d=6a1+36d, 2 6×5 S奇=a1×6+ 2 ×2d=6a1+30d,

?12a1+66d=354, ?a =2, ? ? 1 ∴?6a1+36d 32 解得? ?d=5. ? ?6a +30d=27, ? 1 ∴an=a1+(n-1)d=5n-3.
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第一章 数列

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方法二:设奇数项与偶数项的和分别为 S 奇,S 偶, ?S偶+S奇=354, ? ∴?S偶 32 ?S奇=27, ?
?S偶=192, ? ∴? ?S奇=162, ?

192-162 ∴d= =5, 6 ?a1+a11?×6 又∵S 奇= =3(2a1+10d)=162, 2

∴a1=2, ∴an=a1+(n-1)d=5n-3.
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第一章 数列

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[题后感悟] 等差数列{an}中,a1,a3,a5,…是首项为a1, 公差为2d的等差数列,a2,a4,a6,…是首项为a2,公差为2d的 等差数列.当项数为2n时,S偶-S奇=nd,方法二中运用到了这 些性质.

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第一章 数列

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2.等差数列{an}的奇数项的和为51,偶数项的和为 1 42 2 ,首项为1,项数为奇数,求此数列的末项及通项公 式.
解析: 设等差数列{an}的项数为2k+1,则数列的中 间项为ak+1,偶数项有k项,奇数项有k+1项,于是 1 S奇= (k+1)(a1+a2k+1)=(k+1)ak+1=51,① 2 1 1 S偶=2k(a2+a2k)=kak+1=422,②
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第一章 数列

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k+1 51 ①÷ ②,得 k = 1,解得k=5, 422 ∴数列共有11项. 51 17 将k=5代入①,得a6= = . 6 2 17 又a1+a11=2a6,∴a11=2a6-a1=2× 2 -1=16, 17 17 3 (或a1+5d= 2 ,1+5d= 2 ,d=2.因此末项a11=16)

3n-1 通项公式an=1+(n-1)d= 2 (n∈N+,n≥1).
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有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn,Tn, Sn 7n+2 a5 若T = ,求b . n+3 n 5

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[策略点睛]

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[规范作答]

a5 2a5 a1+a9 方法一:b =2b = b1+b9 5 5

9?a1+a9? 2 S9 7×9+2 65 = = = = . 12 9?b1+b9? T9 9+3 2 Sn 7n+2 方法二:因为 = , Tn n+3 所以设Sn=(7n+2)kn,Tn=(n+3)· kn. a5 65k 65 ∴a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k,∴b =12k=12. 5

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第一章 数列

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方法三:设an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2, a1 S1 9 4 当n=1时, = = ,∴b1= a1 b1 T1 4 9 n?n-1? n 1 na1+ 2 d1 a1+2d1-2d1 Sn ∴ = = Tn n 1 n?n-1? nb1+ 2 d2 b1+2d2-2d2 1 n a1-2d1+2d1 7n+2 =4 1 n = n+3 9a1-2d2+2d2

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第一章 数列

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?3 ? 1 ? 1 ? d1 2 7 ∴ n + ?2d1+a1-2d1? n + 3 ?a1-2d1? = d2n2 + 2 2 ? ? ? ? ??4 ? ?4 1 ? 1 ? ?? a1- d2?· 7+d2?n+2?9a1-2d2? 2 ? ??9 ? ? ?

?d1=7d2 ? ?d +a =28a -5d 1 9 1 2 2 ∴? 1 ? 3 8 ?3a1- d1= a1-d2 2 9 ?

14 ? ?d1= 9 a1 ,∴? ?d2=2a1 9 ?



14 a +4× 9 a1 a5 a1+4d1 1 65 ∴b = = 2 =12. b1+4d2 4 5 a +4× a1 9 1 9
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第一章 数列

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[题后感悟] 方法一、二对条件和等差数列的性质及基本关
系应用比较充分,从而方法比较简单,运算量较小,而方法三 虽然稍显烦琐,但这是求有关比值问题的基本方法,即分子、 分母用相同的参数表示出来,约去参数得到比值.

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第一章 数列

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3.两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn, Sn 2n an 若T = ,求b . 3n+1 n n
解析: 方法一:设an=a1+(n-1)d,bn=b1+(n-1)e. a1 S1 1 取n=1,则 = = ,所以b1=2a1. b1 T1 2 n?n-1? n-1 n d na1+ d a1+ d a1+ d- 2 2 2 2 Sn 所以 T = = = n e= n?n-1? n-1 n nb1+ 2 e b1+ 2 e 2a1+2e-2 2n , 3n+1
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第一章 数列

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3 d? 3 2 ? d 故 en +(4a1-e)n=2dn +?3a1-2d+2?n+a1-2. ? ?
2

d ? ?a1-2=0, ? 从 而 ? 4a1-e=3a1-d, ? 3 ?e= d. ? 2 2n-1 . 3n-1



?d=2a , ? 1 ? ?e=3a1. ?

an 所以b = n

方法二:设 Sn=an2+bn,Tn=pn2+qn(a,b,p,q 为常 数),
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第一章 数列

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?3a=2p, ? 从而?3b+a=2q, ?b=0, ? 3qn2+qn.

?a=2q, ? 即?b=0, ?p=3q, ?

所以 Sn=2qn2,Tn=

a1 S1 1 an Sn-Sn-1 2n-1 当 n=1 时, =T =2; n≥2 时, = 当 b1 bn Tn-Tn-1=3n-1. 1

Sn 2n 方法三:∵ = ,且Sn,Tn均为n的二次函数, Tn 3n+1 ∴设Sn=2kn2,Tn=(3n+1)kn a1 S1 2 1 ∴n=1时, = = = b1 T1 4 2
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第一章 数列

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2n2-2?n-1?2 an Sn-Sn-1 n≥2时 = = bn Tn-Tn-1 ?3n-1?n-?3n-4??n-1? 2n-1 = 3n-1 a1+a2n-1 ?2n-1?· S2n-1 2?2n-1? 2 an 方法四: = = = bn b1+b2n-1 T2n-1 3?2n-1?+1 ?2n-1?· 2 2n-1 = . 3n-1

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一个水池有若干出水量相同的水龙头.如果所有水龙头 同时放水,那么24 min可注满水池.如果开始时全部放开,以后 每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时, 恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个

水龙头放水时间的5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多长时间?

本题可用等差数列前n项和知识建立方程求解.

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第一章 数列

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[解题过程]

设共有n个水龙头,每个水龙头放水时间从小

到大依次为x1,x2,?,xn.
由已知可知x2-x1=x3-x2=?=xn-xn-1,

∴数列{xn}成等差数列,
1 每个水龙头1 min放水 24n (这里不妨设水池的容积为 1), 1 ∴ · 1+x2+?+xn)=1, (x 24n 即Sn=24n,
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n?x1+xn? ∴ =24n, 2
∴x1+xn=48. 又∵xn=5x1, ∴6x1=48, ∴x1=8(min), ∴xn=40(min), 故最后关闭的水龙头放水40 min.

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第一章 数列

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[题后感悟] 解决实际问题首先要审清题意,明确条件与问 题之间的数量关系,然后建立相应的数学模型,通过解答数学 问题实现实际问题的解决.常用的数学模型有函数、方程、不

等式、数列、概念统计等.本题就是建立了等差数列的前n项和
这一数学模型,以方程为工具解决问题的.

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4.从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该 款服装售出10件,第二天售出25件,第三天售出40件,以后每 天售出的件数分别递增15件,直到4月12号日 销售量达到最 大,然后,每天售出的件数分别递减10件. (1)记从4月1日起该款服装日销售量为an ,销售天数为n, 1≤n≤30,求an与n的关系;

(2)求4月份该款服装的总销售量;
(3)按规律,当该商场销售此服装超过1 200件时,社会上就 开始流行,当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于100件 时,则此服装在社会上不再流行.试问:该款服装在社会上流 行是否超过10天?说明理由.
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解析:
{an}.

(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列

由题意知,数列a1,a2,?,a12是首项为10,公差为15的等 差数列, ∴an=15n-5(1≤n≤12且n∈N+). 而a13,a14,a15?,a30是首项为a13=a12-10=165, 公差为-10的等差数列, ∴an=165+(n-13)×(-10) =-10n+295(13≤n≤30且n∈N+).
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?15n-5 ? ∴an=? ?-10n+295 ?

1≤n≤12且n∈N+ . 13≤n≤30且n∈N+ (2)4 月份该款服装的总销售量为 12?a1+a12? ?30-12?×?30-12-1?×?-10? +18a13+ 2 2 12×?10+175? 18×17×?-10? = +18×165+ 2 2 =2 550(件). (3)4 月 1 日至 4 月 12 日的销售总量为 12?a1+a12? 12×?10+175? = =1 110<1 200, 2 2

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∴4 月 12 日前该款服装在社会上还没有流行. 39 由-10n+295<100,得 n> 2 , ∴第 20 天该款服装在社会上不再流行. ∴该款服装在社会上流行没有超过 10 天.

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等差数列前n项和的常用性质 (1)项数(下标)的“等和”性质: n?a1+an? n?am+an-m+1? Sn = = 2 2
?Sn? ? ? (2)等差数列{an}中,数列? n ?仍为等差数列. ? ? ? ?

(3)等差数列{an}中,若Sm=p,Sp=m(m≠p), 则Sm+p=-(m+p).

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(4)等差数列{an}中,若Sm=Sp(m≠p),则Sm+p=0. (5)在等差数列{an}中, ①若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+ S奇 an = . 1)(an,an+1为中间两项);S偶-S奇=nd; S偶 an+1 ②若项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an;S奇-S偶= S奇 n an; = . S偶 n-1

(6)若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别是 am S2m-1 Sn和Tn,则 = . bm T2m-1 (7)若{an}为等差数列,前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,?也为等差数列.
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◎已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和 Sn 5n+3 a9 Tn,且对一切正整数n都有T = ,试求b 的值. 2n+7 n 9
【错解】 设Sn=(5n+3)k,Tn=(2n+7)k,k≠0,

则a9=S9-S8=(5×9+3)k-(5×8+3)k=5k, b9=T9-T8=(2×9+7)k-(2×8+7)k=2k, a9 5 所以 = . b9 2

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第一章 数列

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【错因】

Sn 5n+3 此解答错在根据条件 T = ,设Sn=(5n 2n+7 n

+3)k,Tn=(2n+7)k,这是把等差数列前n项和误认为是关 于n的一次函数,没有准确把握前n项和公式的特点.

【正解】

因为{an}和{bn}是公差不为0的等差数列,

故设Sn=n(5n+3)k,Tn=n(2n+7)k,k≠0, 则a9=S9-S8=9×(5×9+3)k-8×(5×8+3)k=88k, b9=T9-T8=9×(2×9+7)k-8×(2×8+7)k=41k, a9 88 所以b =41. 9
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练考题、验能力、轻巧夺冠
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