当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年北京市高三数学三角函数复习建议


2010-2014 北京高考——三角考题分析 一、2010—2014 年北京高考三角试题
1. (2010 北京理文 10)在△ ABC 中,若 b ? 1, c ? 3 , ?C ? 法一:由正弦定理得 sin B ?

2? ,则 a ? 3

。 (答案 1)

1 ,又 B 为锐角,得 ?B ? 30?

从而知 ?A ? 30? 则 a ? b ? 1 2

法二:由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 得 a 2 ? a ? 2 ? 0 则 a ? 1 或 a ? ?2 (舍) 命题立意: 本题考查的是解三角形,考查余弦、正弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程求解. 易错点:注意利用正弦定理时两解如何取舍(注意在知道两边一夹角时只能用余弦定理,但两边一对角时,两个定 理都可以用,但要注意根的取舍) 2.(2010 北京理 15) (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? 4cos x (Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值。

?

3

解: (I) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4

(II) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x = 3cos 2 x ? 4cos x ? 1 = 3(cos x ? ) ?
2

2 3

7 , x?R 3

因为 cos x ? [?1,1] , 所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x ) 取最大值 6;当 cos x ?

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? 3 3

命题立意:本题考查三角函数化简中的倍角公式的应用,配方法求二次函数在闭区间上的最值,但要注意三角函数 自身的值域限制, 同时也考查了换元法解决三角与二次函数复合而成的复合函数求最值问题 。 易错点:三角公式不熟练;换元法掌握得不好;化简目标不明确。闭区间上二次函数最值 3. (2011 年北京理 9)在 ?ABC 中。 若 b ? 5 ,?B ?

?
4

i n A ? ______;a ? _____。 ,tan A ? 2 , 则s (答案:

2 5 2 10 ) 、 5

2 2 解析:由 tan A ? 2 得 sin A ? 2cos A ,又由 sin A ? cos A ? 1 ,得 sin A ,再用正弦定理求 a 值

命题立意:本题考查的是解三角形,考查正弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程求解.考查学生的基本运算能 力 易错点:已知两角一边求边,显然用正弦,但学生不能准确由 tan A 求出 sin A 4.(2011 年北京理文 15)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1 。

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期: (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ? 3 1 sin x ? cos x) ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 2 2
所以 f ( x) 的最小正周期为 ?

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 sin( 2 x ?
(Ⅱ)因为 ?

?

?
6

?x?

?
4 ?

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?

6

) ? 2? . 3

于是, 当 2x ?

?
6

?
2

, 即x ?

?
6

6

时, f ( x) 取最大值 2; 当 2x ?

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 取最小值—1. 6 6

?

命题立意:本题考查 利用二倍角公式化简三角函数解析式,并求三角函数在给定区间上值域,考查分析问题、解决

问题能力及运算求解能力。 易错点:学生不考虑函数在区间上的单调性,直接代入端点求值。 (专家说出现反解 X 再求值的错误)
5. (2012 年北京理 11 )在△ABC 中,若 a

1 ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ? ,则 b ? __ _________.(答案: 4 ) 4

解析:在 ?ABC 中,用余弦定理 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 4 ? (c ? b)(c ? b) 4 ? 7(c ? b) , ?? ? ? 2ac 4 4c 4c

化简得 8c ? 7b ? 4 ? 0 ,与题目条件 b ? c ? 7 联立,可解得 a ? 2, b ? 4, c ? 3 ,答案为 4 . 命题立意:本题考查余弦定理的应用与等式边形的能力.及解方程思想. 易错点:选用余弦定理时,不能很顺利地转化三边之间关系,及计算错误
6. (2012 年北京理 15 )已知函数

f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x
(2)求 f ( x ) 的单调递增区间.

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小 正周期; 解: f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x = = 2(sin x ? cos x) cos x = sin 2 x ? 1 ? cos 2 x sin x sin x

= 2 sin(2 x ?

?

4

) ? 1 , {x | x ? k? , k ? Z }

(1) 原函数的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z } ,最小正周期为 π ; (2)原函数的单调递增区间为 [?

?
8

? k? , k? ) k ? Z , ( k ? ,

3? ? k? ]k ? Z . 8

命题立意:本题考查二倍角正弦、余弦公式的应用,三角函数的性质等基础知识及三角恒等变形, 易错点:忽略定义域对单调区间的影响 7.(2013 年北京理 3) “? ? ? ”是“曲线 y ? sin(2 x ? ? ) 过坐标原点”的( A )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 命题立意:考查充分必要条件的判断,正弦函数的性质及诱导公式 易错点:忽略函数的周期性和对称性 8.(2013 北京理 15)在△ ABC 中, a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A , (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值 思路方法: (1)根据正弦定理及二倍角公式求解; (2)根据(1)的结论,用同角三角函数关系式及两角和的正弦公式及 正弦定理求解 解: (1) 因为 a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A , 所以在△ ABC 中, 由正弦定理得

3 2 6 2sin A cos A 2 6 ? ? . 。 所以 sin A sin 2 A sin A 3

故 cos A ?

6 3
1 6 3 2 2 ,所以 sin A ? 1 ? cos A ? ,又因为 ?B ? 2?A ,所以 cos B ? 2 cos A ? 1 ? . 所以 3 3 3

(2)由(1)知 cos A ?

sin B ? 1 ? cos 2 B ?

a sin C 5 3 2 2 ?5 ,在△ABC 中,sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ,所以 c ? sin A 9 3

命题立意:知识:正弦定理在解三角形中的应用,同角三角函数关系式,两角和的正弦公式,二倍角的余弦公式的综合 应用。能力:在第(1 )问中考查了转化与化归思想以及分析问题、解决问题的能力;在第( 2 )问中根据 cos A ,求

sin A , cosB , sin C 是考查三角恒等变形的能力,运算求解能力。
易错点:题中角的关系比较凌乱,学生思路混乱,或舍弃正弦定理,转用余弦定理求解,得到增根,不能正确取舍 9.(2014 年北京理 14)设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A, ?, ? 是常数, A ? 0, ? ? 0) 。若 f ( x ) 在区间 [ 性,且 f ( ) ? f (

? ?

?

2

2? ? ) ? ? f ( ) ,则 f ( x) 的最小正周期为 3 6

, ] 上具有单调 6 2

解析:利用正弦型函数的对称性求周期。

因为 f ( x ) 在区间 [

? ?

T ? ? 2? ? 2? ,因为 f ( ) ? f ( , ] 上具有单调性,所以 ? ? , 所以 T ? ) ,所以 f ( x) 的一条对称 6 2 2 2 6 3 2 3

2? ? ? ? ? ? 7 ? 2 3 2 6 ? ? ,所以 轴为 x ? , 又 因 为 f ( ) ? ? f ( ), 所 以 f ( x) 的 一 个 对 称 中 心 的 横 坐 标 为 ? 2 6 2 12 2 3 1 7? ? ? T? ? ? , 所以 T ? ? 4 12 3 4 ?
命题立意:考查三角函数的性质,数形结合思想及逻辑推理能力。题目难度比较大 易错点:关系凌乱,不能很好的梳理已知条件,不会应用正弦函数的对称性 10. (2014 年北京理 15)如图,在△ ABC 中, ?B ? 点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2, cos ?ADC ? (1)求 sin ?BAD ; (2)求 BD, AC 的长

?

A

?
3

, AB ? 8 ,

1 7
B D C

思路方法: (1)在△ ADC 中利用同角三角函数关系式求正弦值; (2)利用正弦定理、余弦定理求边长 解: (1)在△ ADC 中,因为 cos ?ADC ?

1 4 3 ,所以 sin ?ADC ? , 7 7

所以 sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B) ?

4 3 1 1 3 3 3 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

3 3 AB ? sin ?BAD 14 ? 3 ? (2)在△ ABD 中,由正弦定理得 BD ? sin ?ADB 4 3 7 8?
在△ ABC 中,由余弦定理得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos B ? 8 ? 5 ? 2 ? 8 ? 5 ?
2 2 2 2 2

1 ? 49 2

所以 AC ? 7 命题立意:考查正、余弦定理及同角三角函数关系,通过化简三角函数,考查运算求解能力,通过求三角形的边长,考 查方程思想 易错点:不能有效地利用已知条件进行转化构造正余弦定理的条件

二、命题特点与走向
1.命题特点:从近五年的高考题来看,北京高考在三角部分的考查是 1 大 1 小两个考题,小题以填空题居多(只有 13 年 为选择题) ,大题均为 13 分,在 15 题的位置;从考查内容来看一个考查利用正、余弦定理解三角形,另一个考查三角 函数的和差倍角公式、三角恒等变换及三角函数的图象和性质;从难易程度来看,考查的多为中低档题目,只有 14 年 三角函数的图象和性质考查的难度较大(14 题的位置) ;从考查内容的综合性来看,多为单一的三角问题的考查,与 其它知识结合的题目较少,只有在 13 年三角函数公式、图象与逻辑知识结合考查,但难度不大,同时在 13 年文科解 答题的考查中出现了三角函数与导数的结合,但也只限于三角函数的有界性的应用,难度不大。 2.命题走向:结合近五年的高考题,前三年小题均为解三角形,解答题为三角变换及三角函数图象和性质,近两年情况 正好相反,相信这不会固定下来,在今后的命题中两种情况还将继续轮换;从前几年复习的情况来看,我们在三角函 数的变换和图象性质上下的功夫更多些,特别是在解答题的训练上,解三角形的训练相对较弱,在今后的复习中要两 手并进(这只是我校的情况) 。

三、学生易错点分析
1.忽略函数定义域对函数性质的影响,有的是根本就不求定义域,有的的求完也不用, ( 12 年北京理科 15 题)定义域对 函数单调区间的影响,这在导数中也是常见的;同时在求定义域时注意不要对函数解析式进行化简(06 年北京理 15)

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 ) ( f ( x) ? cos x
2.对于闭区间上函数最值问题,往往忽略函数的单调性对最值的影响,直接带入两个端点求值比大小( 11 年北京理 15) ; 3.在题目中涉及到 x 的取值时,学生往往混淆是代入求值还是反解 x 取值的应用条件,如求函数的单调区间、对称轴、 对称中心等都是反解 x 的取值(范围) ,而在求函数的最值时则是由已知的 x 的取值范围求出 ? x ? ? 的取值范围,进 而求最值; (11 年、12 年理 15)

?

4.对于三角公式的记忆不准确,特别是诱导公式的符号及二倍角公式的逆用是学生常出的错误,导致求解计算上的错误; 5.在给值求角时忽略三角函数的周期性和对称性及所给角的取值范围,导致多解(解三角形)或丢解(三角函数,或作 出错误判断(13 年理 3) ; 6.解三角形过程中对于解的个数的判断,学生往往忽略了三角形中大边对大角的规定或内角和的规定,造成多解,或是 在多解情况下不能进行正确的取舍。特别是在已知两边一对角而利用正弦定理求解时对角的取值的取舍或利用余弦定 理时两解均为正时的取舍问题,学生会感到困惑;取舍时往往利用边角关系或内角和关系进行判断。 (13 理 15 若用余 弦定理求 a 边则出现两个解 3 和 5,要想舍去 3 不是一句话就能说清的,可以得出等腰直角三角形与已知矛盾) ,在可 能的情况下,求边用正弦,求角用余弦,可以避免增根。

四、教学建议:
1.三角函数和解三角形是高考中的重点内容,而且以中低档题为主,我们在高考中要势在必得,特别是普通学校,否则 其它地方就没有机会得分了,虽然比提倡应试教育,不提倡模式化教学,但在普通学校恐怕还是不能避免,这也是最 有效的得分策略,所以在教学中还是要稳扎稳打,重在落实,多练常见题型; 2.牢固掌握正余弦函数的五点作图,对于三角函数的各种性质(单调性,最值,对称性,周期性等)引导学生从图象入 手,结合图象进行记忆; 3.对于特殊角(锐角)的三角函数值可以做如下记忆:

0 (0)
sin ?

30 ( ) 6

?

45 ( ) 4

?

60 ( ) 3

?

90 ( ) 2

?

0 ?0 2 4 ?1 2
0

1 1 ? 2 2 3 2 3 3

2 2 2 2
1

3 2 1 1 ? 2 2

4 ?1 2 0 ?0 2
不存在

cos?
sin ? cos ?

tan ? ?

3

4.对于诱导公式可以依赖于口诀(奇变偶不变,符号看象限或横不变纵变,符号看象限,但要讲清楚含义) ,最好还是 让学生学会用三角函数线记忆(结合全等三角形对应量) 5.三角公式的结构图要让学生熟悉,用来推导三角公式,同时清除公式中角的任意性,掌握公式的逆用,特别是倍角公 式的逆用和辅助角公式的应用(和差角的逆用) 6.换元法在三角函数中的应用,特别是用于求函数的单调区间和对称轴(中心) 7.作为普通校的学生,一定要在课上讲清练到,因为学生在课下是不干事或者是想干又不会的 8.阶段性检测和课前或课后检测一定要坚持,只有检测才能督促学生 9.对于个别生要进行课下辅导,争取让绝大多数学生过关(想考学的一定过关,不想考的也有会考) 10.此外:图象变换(伸缩平移的顺序) 、求解析式(结合图象确定 ? 的取值,观察已知点所在区间的单调性) 、给值求 角(注意三角函数的选取和角的取值范围的缩减) 关键点:突出三角函数定义、三角函数线、三角函数图象、三角公式间关系


相关文章:
北京市高中示范校2016届高考数学复习---高三文科三角与...
北京市高中示范校 2016 届高考数学复习 高三文科三角与平面向量复习建议 2015.09. 【三角函数复习】 ? 2015 年考试说明 要求层次 考试内容 A 任意角的概念和弧度...
高三数学 三角函数复习
高三数学 三角函数复习_高三数学_数学_高中教育_教育专区。历年全国卷广东卷三角...(A)- 3 2 (B) 3 2 (C)- 1 2 (D) 1 2 2、 (2015 全)函数 f ...
高三数学复习之三角函数复习建议
高三数学复习之三角函数复习建议高三数学复习之三角函数复习建议隐藏>> 全国中小学“教学中的互联网搜索” 全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 教案设...
高三数学复习之三角函数复习建议
高三数学复习之三角函数复习建议 高三数学复习之三角函数复习建议 复习一、高考考向分析 高考考向分析三角函数是中学教材中一种重要的函数,它的定义和性质有很多独特...
精品高三数学三角函数复习
精品高三数学三角函数复习_数学_高中教育_教育专区。3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新! 三角函数一、选择题: 1.为了...
高三数学三角函数复习
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 高三数学三角函数复习 参考资料参考资料隐藏>> 老子孔子庄子教子有方 状元...
高三数学三角函数复习专题
高三数学三角函数复习专题。高三数学三角函数复习专题...方法与 思维训练、 注意数学思想的渗透以及与数学...有最大值 1 和最小值0 2 3.(2000.北京安徽....
高三三角函数复习
高三三角函数复习_数学_高中教育_教育专区。高三三角函数复习 1.如图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P, 若∠AOP=θ,则点 P 的坐标是( A...
高三数学三角函数复习_教案
高三数学三角函数复习_教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数一.教学目标 1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.三角...
三角函数复习
授课日期 授课主题 年级: 高三年级 2015 年 2 月 4 日 函数复习 2(三角函数) 教学内容 辅导科目:数学 授课时段 学科教师: 10:10-12:10 一.知识梳理 ? 2...
更多相关标签: