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2015年全国高中数学联赛安徽省初赛


2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题
一. (考试时间:2015年7月4日上午9:00-11:30) 填空题(每题8分,共64分)

1.已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 | ? e ? x , x ? R ,那么这个函数的最小值是 . 2.一个数列 {xn } ,满足 x1 ? 1, xn ?
xn ?1

? 1 ,n ? 2 2 xn ?1 ? 4

,那么这个数列 {xn } 的通项公式是

。 。

? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知向量 ? , ? ,1 ?| ? |,| ? |,| ? ? ? |? 3 ,则 ? ? ? 的范围是

4.函数 f ( x) 是定义域为R,周期为 2? 的奇函数,有f(3)=f(4)=0,则该函数在[0, 10]上的零点个数至少是 5.已知 a ? R, (a ? cos x)(a ? sin x) ? 1 有实根,那么 a 的范围是 。

6.在平面直角坐标系中有一点P(0,1),Q点满足PQ的中垂线与函数 y ? x 2 相切 ,那么Q点的轨迹方程是 。 z ?i 7.已知复数 z ? x ? yi , z 的虚部和 的实部都大于等于0,那么在复平面内满 1? z 足条件的(x,y)构成的图形面积为 。 8.对任意的正整数n,从男女乒乓球选手中各选配男双、女双、混双各n对,且 每位选手不兼项,那么各种配对的方法总数为 。 二.解答题(第9、10题每题21分,第11、12题每题22分,共86分) 9.已知 a, b ? R ? , a ? b ? 1, 求证 a 2 ?
1 1 ? b2 ? ? 3 。 a b
A D

10.如图,线段AD、BE、CF都垂直于平面ABC,AD ? =a, BE=b, CF=c, AB=AC=BC=1,求四面体ABCE和四面体BDEF的公共 部分体积(用a, b, c表示)
B

C F

E

11.平面四边形ABCD四边长分别为四个连续整数,求证:ABCD面积的最大值不是 整数。

12.已知31位学生参加一次考试,试卷共10题,每人至少做出6道题,证明:存 在两名学生,做出的题目中至少有5题相同。


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