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九年级数学24.1.4


24.1.4 圆周角

探 究
问题:将圆心角顶点向上移,直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征? C

O A B

.

顶点在圆上 两边都与圆相交

?

这样的角叫圆周角。

辨一辨:
判断下列图

形中所画的∠P是否为圆周角?并说明理由。
P P

P

P 不是 顶点不 在圆上。 是 顶点在圆上, 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。

观察:
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可 以通过其中的圆弧形玻璃窗 AB 观看窗内的海洋动物,同 学甲站在圆心O的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠 墙的位置C,他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系? 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们 的视角( ∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗?

观察图中∠ACB、 ∠ADB和∠AEB 与我们学过的圆 心角有什么区别

探究
? 分别量一下 AB 所对的 圆周角∠ACB、 ∠ADB和∠AEB的度 数比较一下,再改变 圆周角的位置,圆周 角的度数有没有变化? 你有什么发现? ? 再量出图中 AB所对的 圆周角和圆心角的度 数,比较一下,你有 什么发现?
D A

C

O B E

猜想:
? 同弧所对的圆周角的度数没有变化, 并且它的度数等于这条弧所对的圆心 角的度数的一半。

验证:
? 为了验证我们的猜想,我们根据圆周角 与圆心的相对位置关系分三种情况来证 明:(1)圆心在圆周角的一边上;(2) 圆心在圆周角的内部;(3)圆心在圆周 角的外部
P
P O

P O
B O

B A

A

B

圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.

第(1)种情况:
证明:∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A+∠C ∴∠BOC=2∠A

1 即∠A= ∠BOC 2

第(2)种情况:
A

证明:由第(1)种情况得:
1 ∠BAD= 2 ∠ BOD

O
B D C

1 ∠CAD= ∠ COD 2

1 1 ∠BAD+∠CAD= ∠ BOD+ ∠COD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2

第(3)种情况:
A

证明:连接AO并延长交⊙O于D。

由第(1)种情况得:
O

C
D

B

1 ∠CAD= ∠ COD 2 1 ∠BAD= 2 ∠ BOD

1 1 ∠CAD-∠BAD= ∠ COD- ∠BOD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2

归纳总结
圆周角定理
C

D
A

在同圆或等圆中,同弧(或等弧)所对 的圆周角相等;同弧(或等弧)所对的 圆周角等于圆心角的一半. 推 论
A

O

·
B

E

C2 C1 C3

直径(或半圆)所对的圆周角是 直角, 90°的圆周角所对的弦是 直径.

O

·

B

观察:
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可 以通过其中的圆弧形玻璃窗 AB 观看窗内的海洋动物,同 学甲站在圆心O的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠 墙的位置C,他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系? 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们 的视角( ∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗?

观察图中∠ACB、 ∠ADB和∠AEB 与我们学过的圆 心角有什么区别

在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它 们所对弧一定相等吗?为什么? 在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等, 它们所对弧一定相等. F
C

因为,在同圆或等圆中, 如果圆周角相等,那么它所
A
O

G

·
E
B

对的圆心角也相等,因此它
所对的弧也相等.

练习:
1、如图,在⊙O中,ABC=50°, 则∠AOC等于( D ) A、50°; B、80°; C、90°; D、100°
A B O C

2.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形 ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪 些是相等的角? ∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7
3 6 4 5

D A
2 1 8 7

∠3 = ∠6

B

C

方法点拔:由同弧来找相等的圆周角

3、如图,△ABC是等边三角形,动点P 在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重 合,则∠BPC等于( B ) A、30°; B、60°; C、90°; D、45°
A

C

B

P

4、如图,AB是⊙O的直径 BC = 则∠BOD= 60° 。

BD ,∠A=30°,

C

A

O D

B

5、如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上, ∠C=30 °,AB=2,则⊙O的半径是 2 。
C O A

B

6、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 50° 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=_____.
D

A

O 40°

B

C

6、已知⊙O中弦AB的等于半径,求: 弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 圆心角为60
O



。 。 圆周角为 30 或 150

A

B

小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相

交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角等于90° 90°的圆周角所对的弦是直径 3.在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角相 等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半;相

等的圆周角所对的弧相等。

作业:

A:习题24.1 第4题
B:书87页练习3题 家庭: 全品59——60页(除15、16题外)


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