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高中数学学业水平考试测试必修四


高中数学学业水平考试测试题(必修四) 注意事项:本试题分第 I 卷和第 II 卷两部分。第 I 卷为选择题,45 分;第 II 卷为非选择题, 55 分,共 100 分。考试时间为 90 分钟 第 I 卷(选择题 共 45 分) 一、选择题(本大题共 15 个小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求) 1.sin14?cos16?+co

s14?sin16? 的值是( )

1 1 3 3 B. C. D.2 2 2 2 ? ? ? ? 3 1 2.已知 a =( ,sin?) b ? (cos ? , ) 且 a // b ,则锐角 ? 的大小为 2 3 ? ? ? 5? A. B. C. D. 12 6 3 4
A. 3.已知角 ? 的终边经过点 P(-3,4),则下列计算结论中正确的是( )





4 4 3 A. tan ? ? ? B. sin ? ? ? C. cos ? ? 3 5 5 4.已知 tan x ? 0 ,且 sin x ? cos x ? 0 ,那么角 x 是(
A.第一象限的角

D. sin ? ?

3 5

) B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 1 5.在[0, 2? ]上满足 sin x ? 的 x 的取值范围是( ) 2 ? A.[0, ] B. [ ? , 5? ] C. [ ? , 2? ] D. [ 5? , ? ] 6 3 6 6 6 6 6.把正弦函数 y=sinx(x∈ R)图象上所有的点向左平移 所有的点的横坐标缩短到原来的 A.y=sin ( x ? C.y=sin (2 x ?

? 个长度单位,再把所得函数图象上 6


1 2

?
6 )

)

?

1 倍,得到的函数是( 2 1 ? B.y=sin ( x ? ) 2 6

3 6 2 2 7.函数 y ? cos x ? sin x 的最小值是(
A、0 B、1

D. y=sin (2 x ?

?

)
) D、—

C、-1

8.若 AB ? CD ,则下列结论一定成立的是( ) A、A 与 C 重合 B、A 与 C 重合,B 与 D 重合

??? ?

??? ?

1 2

??? ???? ??? ? ? 9. CB ? AD ? BA 等于( ) ??? ? ??? ? A、 DB B、 CA
10.下列各组向量中相互平行的是(

C、 | AB |?| CD |

??? ?

??? ?

D、A、B、C、D、四点共线 C、 CD ) B、 a ? (1,2), b ? (2,1)

??? ?

D、 DC

??? ?

? ? A、 a ? (?1, 2), b ? (3,5)

?

?

C、 a ? (2, ?1), b ? (3, 4)

?

?

D、 a ? (?2,1), b ? (4, ?2)
0

?

?

11.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D. 4 )

? ?

?

?

12.若平面向量 b 与向量 a ? (2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. ( 4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

D. ( 4,2) 或 (?4,?2)

13. 函数 y ? 2 sin(2 x ? ? )cos[2( x ? ?)] 是( )

? 的偶函数 4 ? D.周期为 的偶函数 2 1 14. 若 ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? sin ? ? ? ,则 cos 2? ? ( 3
A.周期为 B.周期为 A.
17 9

? 的奇函数 4 ? C.周期为 的奇函数 2

)

B. ?

17 9

C. ?

17 9

D.

17 3

15. 函数 y ? sin x cos x ? 3 cos 2 x ? 3 的图象的一个对称中心是(



A. (

2? 3 ,? ) 3 2

B. (

5? 3 ,? ) 6 2

C. (?

2? 3 , ) 3 2

D. (

?
3

, ? 3)

二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 16.已知 a ? e1 ? 4e2 , b ? 2e1 ? ke2 ,向量e1、 不共线,则当k= e2 17.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 ? 0, 18.若 ? ? ? ?

?

? ?

?? ?

?

? ?

?? ?

?? ?? ?

时, a // b

? ?

? ?? 上的最小值为 ? 2? ?
.



?
4

,则 ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? 的值是

=2 19.已知 A(-1,-2) ,B(2,3) ,C(-2,0) ,D(x,y),且 AC BD ,则 x ? y ? . 20 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 既 是 偶 函 数 又 是 周 期 函 数 , 其 最 小 正 周 期 为 ? ,

??? ?

??? ?

? 5? 当x ? [0, ]时,(x) sin x,( f ? f ) = 2 3

.

三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 35 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

21. (本题满分 6 分) 已知 sin ? ? 2 cos ? , 求

s ? 4cs n i ? o 5n ? o s i 2cs ?

? , sin ? ? 2sin ? cos ?的值。 及 2 ?

22. ( 本 题 满 分 6 分 ) 已 知 点 P(cos2 x ? 1,1) , 点 Q(1, 3 si n2 x ? 1) ( x ? R) , 且 函 数

??? ???? ? , f ( x) ? OP ? OQ ( O 为坐标原点) (I)求函数 f (x) 的解析式; (II) 求函数 f (x) 的最小正周期及最值.

23. (本题 7 分)化简:

(1)

cos(? ? ? ) sin(?? ) cos(?3? ? ? ) sin(?? ? 4? )

?? ? cos ? ? ? ? 2? ? ? sin ?? ? 2? ? ? cos ? 2? ? ? ? (2) ? 5? ? sin ? ?? ? ? 2 ?

24.(本小题满分 8 分)已知非零向量 a, b , 满足 a ? 1 且 a ? b ? a ? b ?

? ?

?

?

? ?

??

?

?

?

? ? 1 ,求向量 a, b 的夹角; 2 ? ? (2)在(1)的条件下,求 a ? b 的值.
(1)若 a ? b ?

? ?

1 . 2

25.(本小题满分 8 分)已知平面内三点 A 、 B 、 C 三点在一条直线上, OA ? (?2, m) ,

??? ?

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? OB ? (n,1) , OC ? (5, ?1) ,且 OA ? OB ,求实数 m , n 的值.

(必修 4)参考答案
一、选择题:BCABB;CCCCD ;CDCAB 二、填空题:16.-8; 三、解答题: 21.答案 ? 17.1; 18.2 ; 19.

11 ; 2

20.

3 2

1 8 , 6 5

22.解(1)依题意, P( cos2 x ? 1,1) ,点 Q(1, 3 sin 2 x ? 1) , 所以, f ( x) ? OP ? OQ ? cos2x ? 3 sin 2x ? 2 .

?? ? ? ? 2. 6? ? 因为 x ? R , 所以 f ( x ) 的最小值为 0 , f (x) 的最大值为 4 , f (x) 的最小正周期为 T ? ? . 2 23.答案: (1)1;(2) sin ? ? 2 24.答案: (1) ;(2) 4 2 ??? ??? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? 25.解析:由于 O、A、B 三点在一条直线上,则 AC ∥ AB ,而 A ?O ? A ? (7, ?1? ) , C C O m ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA ? (n ? 2, 1 ? m) ∴ 7(1 ? m) ? (?1 ? m)(n ? 2) ? 0 ,又 OA ? OB ?m ? 3 ?m ? 6 ? ∴ ?2n ? m ? 0 ,联立方程组解得 ? 或? 3. ?n ? 3 ? n ? ? 2
(2) f (x) ? 2sin ? 2 x ?


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