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2.2.2 椭圆的简单几何性质(第一课时)


(第一课时)
资中县龙结中学数学组

椭圆的定义 图形 标准方程

a b F 1 co

MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c ? 0) y y F 2 M M
F2 x

M

o
F 1

x

x2 y 2 + 2 =1 2 a b

?a > b > 0 ?

y 2 x2 + 2 =1 2 a b

?a > b > 0 ?

F1(0,-c),F2(0,c) 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) a,b,c的关系 a2 - c2 = b2(a > c > 0,a > b > 0)

焦点位置的 判断

椭圆分母看大小,焦点随着大的跑.
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x2 y2 观察椭圆 2 + 2 =1(a>b> 0), a b 你能从图上看出它的范围吗? 你能用代数方法解释它的范围?

1.范围: -a≤x≤a,-b≤y≤b
2 y 由 2 ? 1, ? 1得 a b2

y

x2

x2 ? a 2 , y 2 ? b 2
∴-a≤x≤a,-b≤y≤b

F1

O

F2

x

椭圆落在x=±a,y= ±b组成的矩形框中
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x2 y2 观察椭圆 2 + 2 =1(a>b> 0), a b 你能看出它具有怎样的对称性?

P1(-x,y)

y P(x,y)

O

X

P2(-x,-y)
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2.对称性: 坐标轴是椭圆的对称轴
原点是椭圆的对称中心

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 P1(-x,y) y P(x,y)
O
X

P2(-x,-y) (1)把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( y )轴对称; (2)把(y)换成(-y),方程不变,说明椭圆关于( x )轴对称; (3)把(X)换成(-X), (y)换成(-y), 方程不变, 说明椭圆 关于( 原点 )对称.
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x2 y2 观察椭圆 2 + 2 =1(a>b> 0), a b 椭圆上哪些点比较特殊?

3.顶点:
椭圆与它的对称轴的四个 A1 交点,叫做椭圆的顶点. (-a,0) 即:A1(-a,0)、A2(a,0)、 B1(0,-b)、B2(0,b)

y B1(0,b) O
B2 (0,-b) A2 (a,0) x

线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长 分别为2a、2b;a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
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观察不同的椭圆,你发现椭 圆的扁平程度一样吗?用什么量 可以刻画椭圆的扁平程度? y

O

x

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4.离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比就称为椭圆的
c 离心率,用e表示,即e = . a (1)离心率的取值范围: 0<e<1

(2)离心率对椭圆形状的影响: ①e越接近1,c就越接近a,b就越小,椭圆就越扁. ②e越接近0,c就越接近0,b就越大,椭圆就越圆. 当e=0时,椭圆会变成什么图形?

当e=0,则a=b,c=0,焦点重合, 椭圆变为圆,方程变为x2+y2=a2.
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例1 已知椭圆方程为16x2+25y2=400,则 它的长轴长是 10 ;短轴长是 8 ;焦距是 6 ;
3 离心率等于 5 ;焦点坐标是 (-3,0)、(3,0) ;

(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4) 顶点坐标是_____________________________.

解题思路
1.将椭圆方程转化为标准方程 2.确定焦点的位置.
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x2 a
2

+

y2 b
2

= 1 的形式.

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=6,e=
x y y 2 x2 (2)离心率e=0.8,焦距为8. 25 + 9 = 1或 25 + 9 = 1 x2 y2 y2 x2 (3)长轴是短轴的2倍,且过点P(2,-6). + = 1或 + = 1 148 37 52 13
x2 y2 1 ,焦点在x轴上. 36 + 32 3 2 2 =1

(4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相 x2 y2 垂直,且焦距为6. 18 + 9 = 1

解题思路
1.求椭圆的标准方程时,应:先定位(焦点),再定量(a、b)

2.当焦点位置不确定时,要讨论,此时有两个解!
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标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c关系

x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b

x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b a
-a≤y≤a,-b≤x≤b (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c)

-a≤x≤a,-b≤y≤b (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)

关于x、y轴成轴对称;关于原点成中心对称

长半轴长为a,短半轴长为b(a>b)
c e = a

a2=b2+c2(a>b>0)
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课堂练习 课堂作业

第48页练习第2、3题 第49页习题2.2A组第3、4、5题

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