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培优专题12


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全等三角形及其应用
【知识精读】1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全 等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫 对应角。 全等三角形的表示方法: 2. 若△ABC 和△A′B′C′是全等的三角形, “△ 记作 ABC≌△A′B′C′其中

,“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示 对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应

边相等,对应角相等;4. 寻找对应元素的方法 (1)根据对应顶点找 :如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角; 以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都 写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 (2)根据已知的对应元素寻找:全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹 的边是对应边; (3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。通过对两个全等三角形各种 不同位置关系的观察和分析, 可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 ?翻折 如图(1),?BOC≌?EOD,?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线 AO 翻折 180?得到的;

?旋转 如图 (2) ?COD≌?BOA, , ?COD 可以看成是由?BOA 绕着点 O 旋转 180? 得到的;

?平移 如图(3),?DEF≌?ACB,?DEF 可以看成是由?ACB 沿 CB 方向平行移 动而得到的。
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5. 判定三角形全等的方法:(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角 边公理(2) 推论:角角边定理 6. 注意问题:(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;(2)不能证明 两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即 AAA;b :有两边和其中一角对应相等, 即 SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。 在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的 位置,常常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 (1) 证明线段(或角)相等 例 1:如图,已知 AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC

证明:在Δ ACD 和Δ ABE 中,

AE=AD ∠A=∠A AB=AC.

∴ Δ ACD≌Δ ABE

(SAS)∴ ∠B=∠C(全等三角形对应角相等)

又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB-AD=AC-AE 即 BD=CE
∠B=∠C ∠BFD=∠CFE(对顶角相等) BD=CE

在Δ DBF 和Δ ECF 中

∴ Δ DBF≌Δ ECF (AAS)

∴ BF=FC (全等三角形对应边相等) (2)证明线段平行 例 2:已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为 E、F,DE=BF,AF=CE.求证:
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AB∥CD
D E A F B C

证明:∵ DE⊥AC,BF⊥AC (已知)∴ ∠DEC=∠BFA=90° 在Δ ABF 与Δ CDE 中,
AF=CE (已知) ∠DEC=∠BFA (已证) DE=BF (已知) ∴ Δ ABF≌Δ CDE(SAS)

(垂直的定义)

∴ ∠C=∠A

(全等三角形对应角相等)∴ AB∥CD (内错角相等,两直线平

行) (3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例 3:如图,在△ ABC 中,AB=AC,延长 AB 到 D,使 BD=AB,取 AB 的中点 E, 连接 CD 和 CE. 求证:CD=2CE

证明:取 CD 中点 F,连接 BF ∴ BF=

1 AC,且 BF∥AC (三角形中位线定理) 2

∴ ∠ACB=∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC∴ ∠ACB=∠3 (等边对等角)∴ ∠3=∠2 在Δ CEB 与Δ CFB 中,
BF=BE ∠3=∠2 CB=CB

∴ Δ CEB≌Δ CFB (SAS)∴ CE=CF=

1 CD (全等三角形 2

对应边相等)即 CD=2CE (ⅱ)加倍法 证明:延长 CE 到 F,使 EF=CE,连 BF.
C

4

1

A

E 2 3 B

D

F

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在Δ AEC 与Δ BEF 中,

AE=BE ∠1=∠2 (对顶角相等) CE=FE

∴Δ AEC≌Δ BEF (SAS)

∴ AC=BF, ∠4=∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行) ∵ ∠ACB+∠CBF=180o, ∠ABC+∠CBD=180o, 又 AB=AC ∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD (等角的补角相等)
CB=CB ∠CBF=∠CBD BF=BD ∴ Δ CFB≌Δ CDB (SAS)∴ CF=CD

在Δ CFB 与Δ CDB 中,

即 CD=2CE (4)证明线段相互垂直 例 4:已知:如图,A、D、B 三点在同一条直线上,Δ ADC、Δ BDO 为等腰三角 形,AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。

C O E

A

D

B

证明:延长 AO 交 BC 于 E,在Δ ADO 和Δ CDB 中
AD=DC ∠ADO=∠CDB=90o OD=DB

∴ Δ ADO≌Δ CDB (SAS)

∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD(全等三角形对应边、对应角相等) ∵ ∠AOD=∠COE (对顶角相等)∴ ∠COE+∠OCE=90o∴ AO⊥BC 5、中考点拨: 例 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是 AB 的中点,以点 E 为圆心,EB 为半径画弧, 交 BC 于点 D,连结 ED,并延长 ED 到点 F,使 DF=DE,连结 FC. 求证:∠F=∠A.

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证明:∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,∵EB=ED,∴∠ACB=∠EDB.∴ED∥AC. ∴∠BED=∠A.∵BE=EA.∴BD=CD. 又 DE=DF,∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF,∴∠BED=∠F. ∴∠F=∠A. 例 2 如图,已知△ ABC 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并且使 AE=BD, 连接 CE、DE.求证:EC=ED
E F A

B

C

D

证明:过 D 点作 DF∥AC 交 BE 于 F 点 ∵ △ ABC 为等边三角形∴ △BFD 为等边三角形∴ BF=BD=FD ∵ AE=BD∴ AE=BF=FD∴ AE-AF=BF-AF 即 EF=AB ∴ EF=AC 在△ ACE 和△DFE 中,
EF=AC(已证) ∠EAC=∠EDF (两直线平行,同位角相等) AE=FD (已证) ∴ △AEC≌△FED(SAS)

∴ EC=ED(全等三角形对应边相等) 题型展示: 例 1 如图,△ABC 中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD.

证明:在 AB 上截取 AE=AC,连结 DE. ∵ AE=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴ △AED≌△ACD, ∴ DE=DC,∠AED=∠C. ∵ ∠AED=∠B+∠EDB,∠C=2∠B,∴ 2∠B=∠B+∠EDB. 即 ∠B=∠EDB.∴ EB=ED,即 ED=DC,∴ AB=AC+DC.
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【实战模拟】 1. 下列判断正确的是( )

(A)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 (B)有两边对应相等,且有一角为 30°的两个等腰三角形全等 (C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 (D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2. 已知:如图,CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC 于点 E,BE、CD 交于点 O,且 AO 平分∠ BAC.求证:OB=OC.

3. 如图,已知 C 为线段 AB 上的一点,?ACM 和?CBN 都是等边三角形,AN 和 CM 相交于 F 点,BM 和 CN 交于 E 点。求证:?CEF 是等边三角形。

N M F A C
1

E
2

B

1 4.如图,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线.求证:AD< (AB+AC) 2

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5. 如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 是斜边上 AB 上任一点,AE⊥CD 于

E,BF⊥CD 交 CD 的延长线于 F,CH⊥AB 于 H 点,交 AE 于 G.
求证:BD=CG.

【试题答案】
1. D 2.证明: ∵ AO 平分∠ODB,CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC 于点 E,BE、CE 交于点 O, ∴ OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°, ∠BOD=∠COE。 ∴ △BOD≌△COE(ASA). ∴

OB=OC

3. 分析 由?ACM=?BCN=60?,知?ECF=60?,欲证?CEF 是等边三角形,只要证明 ?CEF 是等腰三角形。 先证?CAN≌?MCB, 得?1=?2.再证?CFN≌?CEB, 即可推得?CEF 是等边三角形的结论。 证明:在?CAN 和?MCB,
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∵AC=MC,CN=CB, ?CAN=?MCB=120?, ∴?ACN≌?MCB 中, ∴ ?FCB 和?CEB 中, ∵?FCN=?ECB=60?,?1=?2,CN=CB, ∴?CFN≌?CEB,∴CF=CE, 又∵?ECF=60?, ∴?CEF 是等边三角形. 4. 分析: 关于线段不等的问题,一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论,由于 AB、AC、AD 不在同一个三角形,应设法将这三条线段转化在同一个三角形中,也就是 将线段相等地转化,而转化的通常方法利用三角形全等来完成,注意 AD 是 BC 边上的 中线,延长 AD 至 E,使 DE=AD,即可得到△ ACD≌△EBD. 证明:延长 AD 到 E,使 DE=AD,连结 BE 在?ACD 与?EBD 中

∴ ?ACD≌?EBD(SAS) ∴ AC=EB(全等三角形对应边相等) 在?ABE 中,AB+EB>AE(三角形两边之和大于第三边) ∴ AB+AC>2AD(等量代换)

说明:一般在有中点的条件时,考虑延长中线来构造全等三角形。

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5.分析:由于 BD 与 CG 分别在两个三角形中,欲证 BD 与 CG 相等,设法证△CGE≌ △BDF。由于全等条件不充分,可先证△AEC≌△CFB 证明:在 Rt△AEC 与 Rt△CFB 中, ∵AC=CB,AE⊥CD 于 E,BF⊥C 交 CD 的延长线于 F ∴∠AEC=∠CFB=90° 又∠ACB=90° ∴ ∠CAE=90°-∠ACE=∠BCF ∴ Rt△AEC≌Rt△CFB ∴CE=BF 在 Rt△BFD 与 Rt△CEG 中,∠F=∠GEC=90°,CE=BF, 由∠FBD=90°-∠FDB=90°-∠CDH=∠ECG, ∴ Rt△BFD≌Rt△CEG ∴ BD=CG

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【知识精读】1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全 等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫 对应角。 全等三角形的表示方法: 2. 若△ABC 和△A′B′C′是全等的三角形, “△ 记作 ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示 对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应

边相等,对应角相等;4. 寻找对应元素的方法(1)根据对应顶点找 :如果两个三角形 全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常 情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角 形的记法便可写出对应的元素。 (2)根据已知的对应元素寻找:全等三角形对应角所对 的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(3)通过观察,想象图形的运动变化状 况,确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出 其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 ?翻折 如图(1),?BOC≌?EOD,?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线 AO 翻折 180?得到的;

?旋转 如图 (2) ?COD≌?BOA, , ?COD 可以看成是由?BOA 绕着点 O 旋转 180? 得到的;

?平移 如图(3),?DEF≌?ACB,?DEF 可以看成是由?ACB 沿 CB 方向平行移 动而得到的。

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5. 判定三角形全等的方法:(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角 边公理(2) 推论:角角边定理 6. 注意问题:(1)在判定两个三角形全等时,至少有 一边对应相等;(2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即 AAA;b : 有两边和其中一角对应相等, SSA。 即 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具, 同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或 需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 (2) 证明线段(或角)相等 例 1:如图,已知 AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC

(2)证明线段平行例 2:已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为 E、F,DE=BF, AF=CE.求证:AB∥CD
D E A F B C

(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例 3:如图,在△ ABC 中,AB=AC,延长 AB 到 D,使 BD=AB,取 AB 的中点 E, 连接 CD 和 CE. 求证:CD=2CE

(4)证明线段相互垂直 例 4:已知:如图,A、D、B 三点在同一条直线上,Δ ADC、 Δ BDO 为等腰三角形,AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。
C O E

A

D

B

5、中考点拨:例 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是 AB 的中点,以点 E 为圆心, EB 为半径画弧,交 BC 于点 D,连结 ED,并延长 ED 到点 F,使 DF=DE,连结 FC. 求证:∠F=∠A.

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例 2 如图,已知△ ABC 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并且使 AE=BD, 连接 CE、DE.求证:EC=ED
E F A

B

C

D

题型展示:例 1 如图,△ABC 中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD.

【实战模拟】1. 下列判断正确的是(

)(A)有两边和其中一边的对角对应相等的

两个三角形全等(B)有两边对应相等,且有一角为 30°的两个等腰三角形全等(C) 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等(D)有两角和一边对应相等的两个三角 形全等 2. 已知:如图,CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC 于点 E,BE、CD 交于点 O,且 AO 平分∠ BAC.求证:OB=OC.

3. 如图,已知 C 为线段 AB 上的一点,?ACM 和?CBN 都是等边三角形,AN 和 CM
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相交于 F 点,BM 和 CN 交于 E 点。求证:?CEF 是等边三角形。

N M F A C
1

E
2

B

1 4.如图,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线.求证:AD< (AB+AC) 2

5. 如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 是斜边上 AB 上任一点,AE⊥CD 于

E,BF⊥CD 交 CD 的延长线于 F,CH⊥AB 于 H 点,交 AE 于 G.求证:BD=CG.

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