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高中数学必修2


高中数学必修 2__第一章《空间几何体》知识点总结与练习

第一节

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[知识能否忆起] 一、多面体的结构特征 多面体 棱柱 棱锥 棱台 结构特征 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个面的交线都平行且相 等 有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱锥

被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分

二、旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 一条直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线

三、简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式: 一种是由简单几何体拼接而成; 一种是由简单几何 体截去或挖去一部分而成, 有多面体与多面体、 多面体与旋转体、 旋转体与旋转体的组合体. 四、平行投影与直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° (或 135° ), z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段, 直观图中仍平行于坐标轴. 平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 五、三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正

上方观察几何体画出的轮廓线. 1.正棱柱与正棱锥 (1)底面是正多边形的直棱柱,叫正棱柱,注意正棱柱中“正”字包含两层含义:①侧 棱垂直于底面;②底面是正多边形. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥,注意 正棱锥中“正”字包含两层含义: ①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心, ②底 面是正多边形,特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体. 2.对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是从三个 方向看到的该几何体的侧面表示的图形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要 画成虚线. (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察 几何体用平行投影画出的轮廓线. 3.对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段,“平行于 x 轴的线段平行性不变,长 度不变;平行于 y 轴的线段平行性不变,长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系: S 直观图= 2 S ,S 原图形=2 2S 直观图. 4 原图形

空间几何体的结构特征

典题导入 [例 1] (2012· 哈师大附中月考)下列结论正确的是( A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的 几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 [自主解答] A 错误,如图 1 是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的 )

几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B 错误,如图 2,若△ABC 不是直角三 角形,或△ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥; 图1

图2 C 错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于 底面边长,这与题设矛盾. [答案] D 由题悟法 解决此类题目要准确理解几何体的定义, 把握几何体的结构特征, 并会通过反例对概念 进行辨析.举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱 台等,也可利用它们的组合体去判断. 以题试法 1.(2012· 天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧 棱称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是( A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解析:选 B 如图,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也 相等,则其腰与底面所成角相等,即 A 正确;底面四边形必有一个外接圆, 即 C 正确;在高线上可以找到一个点 O,使得该点到四棱锥各个顶点的距 离相等,这个点即为外接球的球心,即 D 正确;但四棱锥的侧面与底面所 成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立).故仅命题 B 为假命题. )

几何体的三视图

典题导入 [例 2] (2012· 湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图 不可能是( )

[自主解答] 根据几何体的三视图知识求解. 由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无实线和虚线, 因此俯视图不可能是 C. [答案] C 由题悟法 三视图的长度特征 三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽, 即“长对正,宽相等,高平齐”. [注意] 画三视图时,要注意虚、实线的区别. 以题试法 2.(1)(2012· 莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图, 那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )

解析:选 D 由俯视图排除 B、C;由正视图、侧视图可排除 A. (2)(2012· 济南模拟)

如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,其正视图如图所示,则此三棱柱侧视图 的面积为( A.2 2 C. 3 解析:选 D 2 3. ) B.4 D.2 3 依题意,得此三棱柱的左视图是边长分别为 2, 3的矩形,故其面积是

几何体的直观图

典题导入 [例 3] 已知△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三角形,求原△ABC 的面积. [自主解答]

建立如图所示的坐标系 xOy′,△A′B′C′的顶点 C′在 y′轴上,A′B′边在 x 轴 上,OC 为△ABC 的高. 把 y′轴绕原点逆时针旋转 45° 得 y 轴, 则点 C′变为点 C,且 OC=2OC′,A,B 点即为 A′,B′点,长度不变. 已知 A′B′=A′C′=a,在△OA′C′中, 由正弦定理得 OC′ A′C′ = , sin∠OA′C′ sin 45° sin 120° 6 所以 OC′= a= a, sin 45° 2 所以原三角形 ABC 的高 OC= 6a. 1 6 所以 S△ABC= ×a× 6a= a2. 2 2

由题悟法

用斜二测画法画几何体的直观图时,要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”. 坐标轴的夹角改变, ? ? “三变”?与y轴平行线段的长度改变, ? ?图形改变; 平行性不变, ? ? “三不变”?与x轴平行的线段长度不变, ? ?相对位置不变. 以题试法 3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45° ,腰和上底均为 1 的等 腰梯形,那么原平面图形的面积是( A.2+ 2 2+ 2 C. 2 ) 1+ 2 B. 2 D.1+ 2

解析:选 A 恢复后的原图形为一直角梯形 1 S= (1+ 2+1)×2=2+ 2. 2

第二节

空间几何体的表面积和体积

[知识能否忆起] 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 S 侧=2πrl S 侧=πrl 体积 V=Sh=πr2h 1 1 1 V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2 3 3 3 1 V= (S 上+S 下+ S上· S下)h 3 1 = π(r2 +r2+r r )h 3 1 2 12 V=Sh

圆台

S 侧=π(r1+r2)l

直棱柱

S 侧=Ch

正棱锥 正棱台 球

1 S 侧= Ch′ 2 1 S 侧= (C+C′)h′ 2 S 球面=4πR2

1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上· S下)h 3 4 V= πR3 3

1.几何体的侧面积和全面积: 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面 积公式的记忆,最好结合几何体的侧面展开图来进行. 2.求体积时应注意的几点: (1) 求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解 决. (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性. 3.求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.

几何体的表面积

典题导入 [例 1] (2012· 安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.

[自主解答] 示).

由几何体的三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 (如图所

在四边形 ABCD 中,作 DE⊥AB,垂足为 E,则 DE=4,AE=3,则 AD=5.

1 所以其表面积为 2× ×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92. 2 [答案] 92 由题悟法 1.以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之 间的位置关系及数量. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. 3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 以题试法 1.(2012· 河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图,已知该饰物的正 视图、侧视图都是面积为 3 ,且一个内角为 60° 的菱形,俯视图为正方 2 )

形,那么该饰物的表面积为( A. 3 C.4 3

B.2 3 D.4

解析:选 D 依题意得,该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成,正四棱锥的底 1 ? 面边长和侧面上的高均等于菱形的边长,因此该饰物的表面积为 8×? ?2×1×1?=4.

几何体的体积

典题导入 [例 2] (1)(2012· 广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A.72π C.30π

B.48π D.24π

(2)(2012· 山东高考)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上的一点,则三棱锥 A-DED1 的体积为________. [自主解答] (1)

由三视图知,该几何体是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图所示, 圆锥的底面半径为 3,高为 4,半球的半径为 3. 14 1 V=V 半球+V 圆锥= · π·33+ ·π·32· 4=30π. 23 3 1 1 1 1 (2)VA-DED1=VE-ADD1= ×S△ADD1×CD= × ×1= . 3 3 2 6 [答案] (1)C 1 (2) 6

本例(1)中几何体的三视图若变为:

其体积为________. 解析:由三视图还原几何体知,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积 V=V
圆锥 圆柱

-V

1 =π×32×4- π×32×4=24π. 3 答案:24π

由题悟法 1.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分 利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则 几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握. 3.等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时,可选择容 易计算的方式来计算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”. 以题试法 2.(1)(2012· 长春调研)四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形,且 PD 垂直于底面 ABCD,N 为 PB 中点,则三棱锥 P-ANC 与四棱锥 P-ABCD 的体积比为( )

A.1∶2 C.1∶4

B.1∶3 D.1∶8

解析:选 C 设正方形 ABCD 面积为 S,PD=h,则体积比为 1 11 1 11 Sh- · S· h- · Sh 3 32 2 32 1 = . 1 4 Sh 3 (2012· 浙江模拟)如图,是某几何体的三视图,则这个几何体的体积是( )

A.32 C.8

B.24 32 D. 3

解析:选 B 此几何体是高为 2 的棱柱,底面四边形可切割成为一个边长为 3 的正方形 1 和 2 个直角边分别为 3,1 的直角三角形,其底面积 S=9+2× ×3×1=12, 2 所以几何体体积 V=12×2=24.

与球有关的几何体的表面积与体积问题

典题导入 [例 3] (2012· 新课标全国卷)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. C. 2 6 2 3 B. D. 3 6 2 2 )

[自主解答] 由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△ ABC,O 是 SC 的中点,因此三棱锥 S-ABC 的高是三棱锥 O-ABC 高 的 2 倍, 所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积的 2 倍. 在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示, S△ABC= 3 3 ×AB2= , 4 4 12-? 6 3?2 = , ?3? 3

高 OD=

1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6 [答案] A 由题悟法 1.解决与球有关的“切”、“接”问题,一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作 截面,把空间问题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系. 2.记住几个常用的结论: (1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R, ①正方体的外接球,则 2R= 3a; ②正方体的内切球,则 2R=a; ③球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a, b, c, 外接球的半径为 R, 则 2R= a2+b2+c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 1∶3. 以题试法 3.(1)(2012· 琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则 这个几何体的外接球的表面积为( )

A.2 3π C.4 3

8π B. 3 16π D. 3

(2)(2012· 潍坊模拟)如图所示, 已知球 O 的面上有四点 A、 B、 C、 D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= 2,则球 O 的体积 等于________.

解析:(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示. 其中侧面 DBC⊥底面 ABC, 取 BC 的中点 O1, 连接 AO1, DO1

知 DO1⊥底面 ABC 且 DO1= 3,AO1=1,BO1=O1C=1. 在 Rt△ABO1 和 Rt△ACO1 中,AB=AC= 2, 又∵BC=2,∴∠BAC=90° . ∴BC 为底面 ABC 外接圆的直径,O1 为圆心, 又∵DO1⊥底面 ABC,∴球心在 DO1 上, 即△BCD 的外接圆为球大圆,设球半径为 R, 则( 3-R)2+12=R2,∴R= ∴S 球=4πR2=4π×? 2 . 3

2 ?2 16π = . 3 ? 3?

(2)如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设正方体的外接球 球 O 的半径为 R,则正方体的体对角线长即为球 O 的直径,所以|CD| = ? 2?2+? 2?2+? 2?2=2R,所以 R= 4πR3 故球 O 的体积 V= = 6π. 3 答案:(1)D (2) 6π 某些空间几何体是某一个几何体的一部分,在 解题时,把这个几何体通过“补形”补成完整的 几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破 解空间几何体的体积问题,这是一种重要的解题 策略——补形法.常见的补形法有对称补形、联系 补形与还原补形.对于还原补形,主要涉及台体中 “还台为锥”问题. 1.对称补形 [典例 1] (2012· 湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ) 6 . 2

8π A. 3 10π C. 3

B.3π D.6π

[解析]

由三视图可知,此几何体是底面半径为 1,高为 4 的圆柱被从

1 母线的中点处截去了圆柱的 ,根据对称性,可补全此圆柱如图,故体积 V 4 3 = ×π×12×4=3π. 4 [答案] B [题后悟道] “对称”是数学中的一种重要关系,在解决空间几何体中的问题时善于发 现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助. 2.联系补形 (2012· 辽宁高考)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3的正方形.若 PA=2 6,则△OAB 的面积为________. [解析] 由 PA⊥底面 ABCD,且 ABCD 为正方形,故可补形为长方 体如图,知球心 O 为 PC 的中点, 又 PA=2 6,AB=BC=2 3, ∴AC=2 6,∴PC=4 3, ∴OA=OB=2 3,即△AOB 为正三角形, ∴S=3 3. [答案] 3 3 [题后悟道] 三条侧棱两两互相垂直,或一侧棱垂直于底面,底面为正方形或长方形, 则此几何体可补形为正方体或长方体,使所解决的问题更直观易求.

练习题
1.(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析:选 A B 中正方体的放置方向不明,不正确.C 中三视图不全是正三角形.D 中 俯视图是两个同心圆. 2.(2012· 杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体 一定是( ) B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 )

A.圆柱 C.球体

解析:选 C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满

足任意截面都是圆面. 3.下列三种叙述,其中正确的有( )

①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

解析:选 A ①中的平面不一定平行于底面,故①错.②③可用下图反例检验,故②③ 不正确.

4.(教材习题改编)利用斜二测画法得到的: ①正方形的直观图一定是菱形; ②菱形的直观图一定是菱形; ③三角形的直观图一定是三角形. 以上结论正确的是________. 解析:①中其直观图是一般的平行四边形,②菱形的直观图不一定是菱形,③正确. 答案:③ 5.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该 几何体的俯视图为________.

解析:由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示,所以该几何体的俯视图 为③.

答案:③

1.(2012· 青岛摸底)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图) 中有且仅有两个相同的是( )

A.②③④ C.①③④

B.①②③ D.①②④

解析:选 A ①的三个视图都是边长为 1 的正方形;②的俯视图是圆,正视图、侧视图 都是边长为 1 的正方形;③的俯视图是一个圆及其圆心,正视图、侧视图是相同的等腰三角 形;④的俯视图是边长为 1 的正方形,正视图、侧视图是相同的矩形. 2.有下列四个命题: ①底面是矩形的平行六面体是长方体; ②棱长相等的直四棱柱是正方体; ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 A 命题①不是真命题,因为底面是矩形,但侧棱不垂直于底面的平行六面体 不是长方体;命题②不是真命题,因为底面是菱形(非正方形),底面边长与侧棱长相等的直 四棱柱不是正方体; 命题③也不是真命题, 因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱 与底面垂直;命题④是真命题,由对角线相等,可知平行六面体的对角面是矩形,从而推得 侧棱与底面垂直,故平行六面体是直平行六面体. 3.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ( )

解析:选 C C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求,故选 C.

4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求 画出的该几何体的侧视图是( )

解析:选 B 由直观图和正视图、俯视图可知,该几何体的侧视图应为面 PAD,且 EC 投影在面 PAD 上,故 B 正确. 5.如图△A′B′C′是△ABC 的直观图, 那么△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析:选 B 由斜二测画法知 B 正确. )

6.(2012· 东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为(

)

A.2+ 3 C.2+2 3

B.1+ 3 D.4+ 3

1 解析:选 D 依题意得,该几何体的侧视图的面积等于 22+ ×2× 3=4+ 3. 2 7.(2012· 昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积 1 为 , 则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________. (填入所有可能的图形前的编号) 2

①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆. 解析:如图 1 所示,直三棱柱 ABE-A1B1E1 符合题设要求,此时俯视图△ABE 是锐角 三角形;如图 2 所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 符合题设要求,此时俯视图△ABC 是直角三 角形;如图 3 所示,当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时,所得直四棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 符合题设要求,此时俯视图(四边形 ABCD)是正方形;若俯视图是扇形 或圆,体积中会含有 π,故排除④⑤.

答案:①②③ 8. (2013· 安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为________.

解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为 2、高为 2 的正三棱柱 除去上面的一个高为 1 的三棱锥后剩下的部分, 其直观图如图所示, 故该几 1 1 1 5 3 何体的体积为 ×2×2sin 60° ×2- × ×2×2sin 60° ×1= . 2 3 2 3 5 3 答案: 3 9.正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长均为 3,其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全 等的等腰三角形,则正视图的周长为________. 解析:由题意知,正视图就是如图所示的截面 PEF,其中 E、F 分别是 AD、BC 的中点,连接 AO,易得 AO= 2,而 PA= 3,于 是解得 PO=1,所以 PE= 2,故其正视图的周长为 2+2 2. 答案:2+2 2 10.已知:图 1 是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图 2 是某几何 体的三视图,试说明该几何体的构成.

解:图 1 几何体的三视图为:

图 2 所示的几何体是上面为正六棱柱,下面为倒立的正六棱锥的组合体. 11.(2012· 银川调研)正四棱锥的高为 3,侧棱长为 7,求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形 的高). 解:如图所示,正四棱锥 S-ABCD 中, 高 OS= 3, 侧棱 SA=SB=SC=SD= 7, 在 Rt△SOA 中, OA= SA2-OS2=2,∴AC=4. ∴AB=BC=CD=DA=2 2. 作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 中点. 连接 SE,则 SE 即为斜高, 1 在 Rt△SOE 中,∵OE= BC= 2,SO= 3, 2 ∴SE= 5,即棱锥的斜高为 5. 12.(2012· 四平模拟)已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积.

解:(1)三棱锥的直观图如图所示. (2)根据三视图间的关系可得 BC=2 3, ∴侧视图中 VA= 2 3 42-? × ×2 3?2 3 2 ? ?

= 12=2 3, 1 ∴S△VBC= ×2 3×2 3=6. 2 1.(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a 时,该三棱锥的全 面积是( ) 3 B. a2 4 6+ 3 2 D. a 4 2 a, 2

3+ 3 2 A. a 4 3+ 3 2 C. a 2

解析:选 A ∵侧面都是直角三角形,故侧棱长等于 ∴S 全= 3+ 3 2 3 2 1 2 a +3× ×? a?2= a. 4 2 ?2 ? 4

2.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2,则这个四棱锥的外接球的表面积为 ( ) A.12π C.72π 解析:选 B B.36π D.108π 依题意得,该正四棱锥的底面对角线长为 3 2× 2=6,高为

1 ?2 ?3 2?2-? ?2×6? =3,因此底面中心到各顶点的距离均等于 3,所以该四棱锥的外接球的 球心为底面正方形的中心,其外接球的半径为 3,所以其外接球的表面积等于 4π×32=36π. 3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8,高为 5 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6,高为 5 的等腰三 角形,则该几何体的体积为( A.24 C.64 ) B.80 D.240

解析:选 B 结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥底面是长和宽分别为 8 和 6 的矩形, 1 棱锥的高是 5,可由锥体的体积公式得 V= ×8×6×5=80. 3

4.(教材习题改编)表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面 直径为________.

解析:设圆锥的母线为 l,圆锥底面半径为 r, 则 πrl+πr2=3π,πl=2πr. 解得 r=1,即直径为 2. 答案:2 5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等 腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积是 ________. 解析:由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底面积 即俯视图的面积,为 2 3;侧面积为一个完整的圆锥的侧面积, 且圆锥的母线长为 2,底面半径为 1,所以侧面积为 2π.两部分加起来即为几何体的表面积, 为 2(π+ 3). 答案:2(π+ 3)

1. (2012· 北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示, 该几何体的 体积是( A.8 C.4 解析:选 D ) 8 B. 3 4 D. 3 将三视图还原,直观图如图所示,可以看出,这是一个底

1 1 面为正方形(对角线长为 2),高为 2 的四棱锥,其体积 V= S 正方形 ABCD×PA= 3 3 1 4 × ×2×2×2= . 2 3 2. (2012· 山西模拟)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB=3,BC=2,则棱锥 O-ABCD 的体积为( A. 51 C.2 51 B.3 51 D.6 51 )

解析:选 A 依题意得,球心 O 在底面 ABCD 上的射影是矩形 ABCD 的中心,因此棱 锥 O - ABCD 的高等于 ×(3×2)× 51 = 51. 2 ) 1 2 51 1 2?2 42-? ?2 3 +2 ? = 2 ,所以棱锥 O - ABCD 的体积等于 3

3.(2012· 马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为(

A.4π C.5π

15 B. π 4 17 D. π 4

1 解析:选 D 由三视图可知该几何体是半径为 1 的球被挖出了 部分得到的几何体,故 8 表面积为 7 1 17 ·4π·12+3· ·π·12= π. 8 4 4 4.(2012· 济南模拟)用若干个大小相同,棱长为 1 的正方体摆成一个立体模型,其三视 图如图所示,则此立体模型的表面积为( )

A.24 C.22

B.23 D.21

解析:选 C 这个空间几何体是由两部分组成的,下半部分为四个小正方体,上半部分 为一个小正方体,结合直观图可知,该立体模型的表面积为 22. 5. (2012· 江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示,则此几何体的体积为( )

11 A. 2 9 C. 2

B.5 D.4

解析:选 D 由三视图可知,所求几何体是一个底面为六边形,高为 1 的直棱柱,因此 1 只需求出底面积即可.由俯视图和主视图可知,底面面积为 1×2+2× ×2×1=4,所以该 2 几何体的体积为 4×1=4. 6.如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上,且 EF=2, 动点 Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′-EFQ 的体积( A.与点 E,F 位置有关 B.与点 Q 位置有关 C.与点 E,F,Q 位置都有关 D.与点 E,F,Q 位置均无关,是定值 1 1 16 ×2×4?×4= ,故三棱锥 A′-EFQ 的 解析:选 D 因为 VA′-EFQ=VQ-A′EF= ×? ? 3 ?2 3 体积与点 E,F,Q 的位置均无关,是定值. 7.(2012· 湖州模拟)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个 边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成, 则该多面体的体积是 ________. 解析:由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 1,斜 高为 3 2 1 2 2 ,连接顶点和底面中心即为高,可求得高为 ,所以体积 V= ×1×1× = . 2 2 3 2 6 2 6 )

答案:

8. (2012· 上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面, 则该圆锥的体积为 ________. 解析:因为半圆的面积为 2π,所以半圆的半径为 2,圆锥的母线长为 2.底面圆的周长为 2π,所以底面圆的半径为 1,所以圆锥的高为 3,体积为 答案: 3 π 3 3 π. 3

9.(2013· 郑州模拟)在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该 三棱锥的外接球的表面积为________. 解析: 依题意得, 该三棱锥的三组对棱分别相等, 因此可将该三棱锥补形成一个长方体, a +b =6 , ? ? 2 2 2 设该长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,且其外接球的半径为 R,则?b +c =5 , ? ?c2+a2=52, 得 a2+b2+c2=43,即(2R)2=a2+b2+c2=43,易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径, 所以该三棱锥的外接球的表面积为 4πR2=43π.
2 2 2

答案:43π 10.(2012· 江西八校模拟)如图,把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起, 使 AC= 6.

(1)求证:面 ABEF⊥平面 BCDE; (2)求五面体 ABCDEF 的体积. 解:设原正六边形中,AC∩BE=O,DF∩BE=O′,由正六边形的几何性质可知 OA =OC= 3,AC⊥BE,DF⊥BE. (1)证明:在五面体 ABCDE 中,OA2+OC2=6=AC2, ∴OA⊥OC, 又 OA⊥OB,∴OA⊥平面 BCDE.∵OA?平面 ABEF, ∴平面 ABEF⊥平面 BCDE. (2)由 BE⊥OA,BE⊥OC 知 BE⊥平面 AOC,同理 BE⊥平面 FO′D,∴平面 AOC∥平 面 FO′D, 故 AOC-FO′D 是侧棱长(高)为 2 的直三棱柱, 且三棱锥 B-AOC 和 E-FO′D 为大小相同的三棱锥, ∴VABCDEF=2VB-AOC+VAOC-FO′D 1 1 1 =2× × ×( 3)2×1+ ×( 3)2×2=4. 3 2 2 11.(2012· 大同质检)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD,其中 AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求三棱锥 A-PBC 的体积. 解:(1)证明:如图,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,CD=2,所以 BF 綊 CD. 所以四边形 BCDF 为平行四边形. 所以 DF∥BC. 在△PAB 中,PE=EA,AF=FB,所以 EF∥PB. 又因为 DF∩EF=F,PB∩BC=B, 所以平面 DEF∥平面 PBC. 因为 DE?平面 DEF,所以 DE∥平面 PBC. (2)取 AD 的中点 O,连接 PO.

在△PAD 中,PA=PD=AD=2, 所以 PO⊥AD,PO= 3. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,AD=2, AB⊥AD, 1 1 所以 S△ABC= ×AB×AD= ×4×2=4. 2 2 1 1 4 3 故三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC=VP-ABC= ×S△ABC×PO= ×4× 3= . 3 3 3 12. (2012· 湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示, 其正视图、 俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形.

(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1. 解:(1)几何体的直观图如图所示,四边形 BB1C1C 是矩形,BB1=CC1 = 3, BC=B1C1=1, 四边形 AA1C1C 是边长为 3的正方形, 且平面 AA1C1C 垂直于底面 BB1C1C, 1 3 故该几何体是直三棱柱,其体积 V=S△ABC· BB1= ×1× 3× 3= . 2 2 (2)证明:由(1)知平面 AA1C1C⊥平面 BB1C1C 且 B1C1⊥CC1, 所以 B1C1⊥平面 ACC1A1.所以 B1C1⊥A1C. 因为四边形 ACC1A1 为正方形,所以 A1C⊥AC1. 而 B1C1∩AC1=C1,所以 A1C⊥平面 AB1C1. 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ? ).

2 3 3
2

D. 4? ? 2

2 3 3

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底面 边长为 2 ,高为 3 ,

2 2

2

所以体积为 ?

1 3

? 2? ?
2

3?

2 3 3

所以该几何体的体积为 2? ?

2 3 . 3

答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 3.(2008 山东)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D.12π

答案 D 【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个 圆柱组合而成的,其表面及为

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? .
6.(2006 福建)已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于( 3
C.



A.2 2 答案 D

B.

2 3 3

4 2 3

D.

4 3 3

【解析】正方体外接球的体积是

32 ? ,则外接球的半径 R=2,正方体的对角线的长为 4, 3

棱长等于

4 3 ,选 D. 3
) D. 1∶9

8.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3

答案

C

【解析】设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为

1 3 a ,它的外接球的半径为 a, 2 2

故所求的比为 1∶3 3 ,选 C.


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