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解三角形应用第4课时练习题


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点击三角形面积引申题
例 1 如图 1,已知直角三角形的两直角边 AC, BC 的长分别为 4 和 3,且其外接圆的 劣弧 上有一点 P 满足 ?PAC ? 45 ,求四边形 ABCP 的面积. AC
?

C 分析:将四边形分成 ?ABC 和?APC ,求出这两个三角形的

面积,再求和即可完成. AW 解:如图 2,连接 PB ,则可知 ?APB 为 Rt ? ,? BC ? 3, AC ? 4, ACC C P 3 SAC 4 ? AB ? 5 ,? sin ?BAC ? ,C ?BAC ? . cos A 5 5
B

又 ?BAP ? ?BAC ? ?CAP ? ?BAC ? 45 .
?

4 2 3 2 2 ? cos ?BAP ? cos ?BAC ? 45? ? cos ?BAC ? cos 45? ? sin ?BAC ? sin 45? ? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10 ? AP ? AB ? cos?BAP ? 5 ?
? S ?ABC ?

?

?

2 2 1 1 2 2 ? . ? S ?ACP ? ? AC ? AP ? sin 45? ? ? 4 ? ? ?1 10 2 2 2 2 2

1 1 ? BC ? AC ? ? 3 ? 4 ? 6. 故 S四边形ABCP ? S ?ABC ? S ?APC ? 6 ? 1 ? 7. 2 2

例 2 如图 3,已知四边形 ABCD 中, AB ? BC, AB ? 2 3, BC ? 2, AC ? CD,

?ADC ? 120?. 求四边形 ABCD 的面积.(答案提示:连接 AC, 可知

D C

AC ? 4, 用 余 弦 定 理 求 出 AC ? CD ?

4 3 , 所 以 3

A

B

S四边形ABCD ? S ?ABC ? S ?ACD ? 2 3 ?

4 3 10 3 = ). 3 3

例 3 已 知 ?A B C的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

2 2 sin 2 A ? sin 2 C ? ?a ? b?sin B, ?ABC的外接的半径为 2.
(1)求角 C. (2)求 ?ABC 面积 S 的最大值.

?

?

解 :(1) 由 正 弦 定 理 及 已 知 得 sin A ?

a 2 2

, sin C ?

c 2 2

, sin B ?

b 2 2

代 入

2 2 s i 2 A ? s i 2 C ? ?a ? b? ? s i B 得 a 2 ? c 2 ? ?a ? b? ? b.? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab. n n n
由余弦定理得 cosC ?

?

?

a2 ? b2 ? c2 1 ? , 又0 ? C ? ? , ?C ? 60?. 2ab 2
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(2) 由(1)得 c ? 2 2 ? sin C ? 即 ab ? 6 ? ?a ? b? . ? S ?ABC ?
2

6. ? a 2 ? b 2 ? ab ? 6 ? ?a ? b? ? ab ? 6.
2

1 1 3 2 2 ? ab ? sin C ? ? 6 ? ?a ? b ? ? sin 60? ? 6 ? ?a ? b ? . 2 2 4 3 3 . 2

?

?

?

?

? 当 a ? b 时, S ?ABC 的面积有最大值为

例 4 在 ?AOB 中, O 为坐标原点, A?cos? , sin ? ?, B?2 cos ? ,2 sin ? ?, 求三角形 AOB 的 面积最大值. ( 答 案 提 示 : 用 距 离 公 式 求 出 AB ? 5 ? 4 c o?? ? ? ?,? 由 余 弦 定 理 得 s

n ? c o ?A O B c o?? ? ? ?. ? s i ?A O B 1 ? c o 2s?? ? ? ?. 故 S ?AOB ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ?. s ? s

? 当 cos?? ? ? ? ? 0 时, S ?AOB 的最大值为 1).
证明恒等式应用
例 1 在△ABC 中,若 a 2 ? b(b ? c) ,求证:A=2B. 证明:因为 cos B ?

a 2 ? b 2 ? c 2 bc ? c 2 b ? c a ? ? ? , 2ac 2ac 2a 2b a2 a 2 ? 2b 2 b 2 ? bc ? 2b 2 c ? b ?1 ? ? ? . 2b 4b 2 2b 2 2b 2

所以 cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? 2 ?
2

又 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? (bc ? b 2 ) c ? b ? ? ,所以 cos A ? cos 2 B . 2bc 2bc 2b
中 , 求 证 :



而角 A,B 是三角形的内角,所以 A=2B. 2 在 △ ABC

tan A(sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A) ? tan B(sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B)
证明:由正弦定理与余弦定理,可得 sin A ? sin B ? sin C ? 2 sin B sin C cos A ,
2 2 2

sin 2 B ? sin 2 A ? sin 2 C ? 2 sin A sin C cos B ,
所以 sin C ? sin A ? sin B ? 2 sin A sin C cos B .
2 2 2



sin A ? 2 sin B sin C cos A ? 2 sin A sin B sin C , cos A sin B ? 2 sin A sin C cos B ? 2 sin A sin B sin C . ① 式右边 ? cos B
则①式左边= 所以左边=右边,即 tan A(sin B ? sin C ? sin A) ? tan B(sin C ? sin A ? sin B) .
2 2 2 2 2 2

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例 3 如图 1,一条直线上有三点 A、B、C,点 C 在点 A 与点 间,点 P 是此直线外一点,设 ?APC ? ? , ?BPC ? ? ,求证:

B 之

sin(? ? ? ) sin ? sin ? ? ? . PC PB PA
证明:因为 S ?ABP ? S ?APC ? S ?BPC ,

1 1 1 PA ? PB sin(? ? ? ) ? PA ? PC sin ? ? PB ? PC sin ? , 2 2 2 sin(? ? ? ) sin ? sin ? ? ? 两边同除以 PA·PB·PC,得 . PC PB PA BD AB ? . 例 4 已知△ABC 中,AD 是 ?BAC 的平分线,求证: DC AC 证明:如图 2,设 ?ADB ? ? ,在△ABD 中,由正弦定理得 BD AB BD sin ?BAD ? ? ,即 , sin ?BAD sin ? AB sin ?
所以 在△ACD 中,由正弦定理可得

DC AC ? , sin ?DAC sin(? ? ? )

DC sin ?DAC ? ,因为由题设知 ?BAD ? ?DAC , AC sin ? BD DC BD AB ? ? . 所以 ,即 AB AC DC AC


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