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江苏省扬州中学2015-2016学年第一学期期中考试高一数学试卷


江苏省扬州中学 2015-2016 学年第一学期期中考试

高一数学试卷
2015.11 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
2 1.若 2 ? x ? 4, x ? x ,则 x=

?

?

▲ ▲ ▲

2.函数 y ? l

og 2 ( x ? 3) 的定义域为 3. 已知 a 2 ?
1

4 (a>0) ,则 log 2 a ? 9 3

4.二次函数 y=3x2+2(m-1)x+n 在区间 ? ??,1? 上是减函数,在区间 ?1, ??? 上是增函数,则 实数 m= ▲

5. 在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 y ? ex?1 的图像沿着 x 轴的正方向平移 1 个单位长 度,再作关于 y 轴的对称变换,得到函数 f(x)的图像,则函数 f(x)的解析式为 f(x)= 6.三个数 a ? 0.32 , b ? log2 0.3, c ? 20.3 之间的大小关系是 7. 已知函数 f ? n ? ? ? ▲ ▲

(用 a,b,c 表示)

? ?n ? 3, n ? 10, 则 f ? 8? ? ?f ? ? f ? n ? 5?? ? , n ? 10. ?



8. 已知函数 f ( x ) 是偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? x ? 1 ,则当 x ? 0 时, f ( x ) 的 解析式为 f(x)= ▲ ▲

9.若方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 在 (n, n ? 1), n ? Z 内有一解,则 n ?

?2? ?2 ? 9 ? 10.化简: ? ? ? 2 ? ? ? ?3? ? 16 ?
3 2

0

?

1 2

? (lg 8 ? lg125) =
3 2



11.由等式 x ? ?1x ? ?2 x ? ?3 ? ( x ? 1) ? ?1 ( x ? 1) ? ?2 ( x ? 1) ? ?3 定义 映射 f : (?1 , ?2 , ?3 ) ? (?1 , ?2 , ?3 ) ,则 f (1,2,3) ? ▲

1

12.若关于 x 的方程 mx ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根,则实数 m 的取值范围是 ▲
2

13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过原点 O 的直线与函数 y ? 3x 的 图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y ? 9 x 的图象于点 C, 若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是 ▲ (第 13 题) 14. 已知函数 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 1, 当 x ? ?0,1? 时, f ?x? ? 3x ? 1 ? 1. 若对任意实数 x , 都有 f ? x ? t ? ? f ? x ? 成立,则实数 t 的取值范围 ▲

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题 14 分) 设 U ? R, A ? {x |1 ? x ? 3}, B ? {x | 2 ? x ? 4}, C ? {x | a ? x ? a ? 1} ,a 为实数, (1)分别求 A ? B, A ? (CU B) ; (2)若 B ? C ? C ,求 a 的取值范围.

16. (本题 14 分)已知函数 h( x) ? m ? 5m ? 1 x (1)求 m 的值;

?

2

?

m ?1

为幂函数,且为奇函数.

(2)求函数 g ( x) ? h( x) ? 1 ? 2h( x) 在 x ? ?0, ? 的值域. 2

? 1? ? ?

2

1 17. (本题 14 分)已知函数 f(x)=2ax+ (a∈R) . x (1)当 a ?

1 时,试判断 f(x)在 (0,1] 上的单调性并用定义证明你的结论; 2

(2)对于任意的 x ?(0,1] ,使得 f(x)≥6 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18. (本题 16 分)如图,在长为 10 千米的河流 OC 的一侧有一条观光带,观光带的前一 部分为曲线段 OAB,设曲线段 OAB 为函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , x ? [0, 6](单位: 千米)的图象,且图象的最高点为 A(4, 4) ;观光带的后一部分为线段 BC. (1)求函数为曲线段 OABC 的函数 y ? f ( x), x ?[0,10] 的解析式; (2)若计划在河流 OC 和观光带 OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带 MNPQ,绿 化带由线段 MQ,QP,PN 构成,其中点 P 在线段 BC 上.当 OM 长为多少时,绿化带 的总长度最长?

3

19. (本题 16 分)已知函数 f ( x) ? log a (1)求实数 m 的值;

1 ? mx (a ? 0, a ? 1) 是奇函数. x ?1

(2)是否存在实数 p, a ,当 x ? ( p, a ? 2) 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, ??) .若存在,求 出实数 p, a ;若不存在,说明理由; (3)令函数 g ( x) ? ?ax2 ? 6( x ?1)a f ( x ) ? 5 ,当 x ? [4,5] 时,求函数 g ( x) 的最大值.

20 . ( 本 题 16 分 ) 已 知 函 数 f ?x ? ? x 2 ? 2bx ? c 为 偶 函 数 , 关 于 x 的 二 次 方 程
2 1? , f ?x? ? a?x ? 1? 的解构成集合 ?

(1)求 a, b, c 的值; (2)若 x ? ?? 2,2? ,求证:

f ?x ? ?
2 ? ?x

5 ?1 x ? 1; 2

x (3) 设g?

??

f x ? ?? f

若存在实数 x1 , x2 ? ?0,2? 使得 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? m , ?,

求实数 m 的取值范围.

4

高一期中数学试卷答案
一、填空题 1.1 6. b ? a ? c 2. (3, ??) 3.4

2015.11

[来源:Zxxk.Com]

4.-2

5. e

?x

13 3 7.7 9. 2 10. 7 2 8. ? x ? x ? 1 2? 12 33 8、 ; 9、- ;10、y ? 3sin(2 x ? );11、 ; 3 12、 ; 9 3 3 5 2 4 4 2 13、 -15; 11. (?2,3,1) 12. 13、 . (log3 2, 2) 14. (??, ? ) ? (? , ? ) (?? ,1] 14 3 3 3
二、解答题 15. (1) A∩B={x|2<x≤3},
UB={x|x≤2

…………………………………………3 分 …………………………………………5 分 …………………………………………8 分 …………………………………………10 分 …………………………………………14 分

或 x≥4}

A∪(

UB)=

{x|x≤3 或 x≥4} ∴C ? B ∴2<a<3

(2)∵B∩C=C ∴2<a<a+1<4

16. 解 (1) ∵函数 h( x) ? m ? 5m ? 1 x ∴ m ? 5m ? 1 ? 1
2

?

2

?

m ?1

为幂函数 …………………………………3 分 …………………………………6 分

解得 m ? 0或5 ∴m ? 0

又 ∵奇函数 (2) 由(1)可知

? 1? g ( x)? x? 1 ? 2x x ? ?0, ? ? 2?
…………………………………9 分

令 1 ? 2x =t,则 t ?[0,1]

1 1 ? g (t ) ? ? t 2 ? t ? 2 2 1 2

?1 ? 得值域为 ? ,1? …………………………………14 分 ?2 ?
1 x
…………………………………2 分

17. 解: (1)∵ a ?

∴ f ( x) ? x ?

f ( x) 在 (0,1] 上的单调递减
证明:取任意的 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? x2 ? 1
5

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

1 1 x ?x ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 1 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ? 1) x1 x2 (*)

? ( x1 ? x2 )
∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1 得

∴ x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1x2 ? 1

(*式 ) 大于 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
…………………………………8 分

所以 f ( x ) 在 (0,1] 上的单调递减

1 (2)由 f(x)≥6 在 (0,1] 上恒成立,得 2ax+ ≥6 恒成立 x 即 2a ? 6( ) ? ( )

1 x

1 x

2

1 ( ) ? [1,?? ) x

1 1 ? (6( ) ? ( ) 2 ) m a x? 9 x x 9 ? 2a ? 9 即a ? 2
注:本题若含参二次函数讨论求解,自行酌情给分。

…………………………………14 分

18. 解: (1)因为曲线段 OAB 过点 O,且最高点为 A(4, 4)

1 ? ? ?a ? ? 4 ?c ? 0 ? ? ?16a ? 4b ? c ? 4 ,解得 ?b ? 2 ? b ?c ? 0 ?? ? ?4 ? 2a ?
所以,当 x ? [0, 6] 时, y ? ?

(也可以设成顶点式)

1 2 x ? 2x 4

……………………………3 分

因为后一部分为线段 BC, B(6,3), C (10, 0) ,当 x ?[6,10] 时, y ? ?

3 15 x? ……6 分 4 2

? 1 2 ? x ? 2 x, x ? [0, 6] ? ? 4 综上, f ( x) ? ? ?? 3 x ? 15 , x ? (6,10] ? ? 4 2

……………………………8 分

6

1 2 1 t ? 2t , PN ? ? t 2 ? 2t 4 4 1 2 3 15 1 2 8 由 PN ? ? t ? 2t ? ? x ? , 得 x ? t ? t ? 10 , 4 4 2 3 3 1 2 8 所以点 N ( t ? t ? 10, 0) ……………………………11 分 3 3
(2)设 OM ? t (0 ? t ? 2) ,则 MQ ? ? 所以,绿化带的总长度 y ? MQ ? QP ? PN

1 1 11 1 1 ? 2(? t 2 ? 2t ) ? ( t 2 ? t ? 10) ? ? t 2 ? t ? 10 ……13 分 4 3 3 6 3
当 t ? 1 时, ymax ?

61 6
……………………………16 分

所以,当 OM 长为 1 千米时,绿化带的总长度最长 19. 解: (1)∵函数 f ( x) ? log a

1 ? mx (a ? 0, a ? 1) 是奇函数. x ?1

∴ f (? x) ? f ( x) ? 0解得m ? ?1 又 m ? 1 时,表达式无意义,所以 m ? ?1 ……………………………2 分

(2)由题设知: 函数 f(x)的 定义域为 (1,??) ? (??,?1) , ①当 p ? a ? 2 ? ?1 时,有 0 ? a ? 1 . 此时 f(x)为增函数,

? 1? n ?1 ?log 其值域为 (1,??)知? n ?1 ? ?a ? 2 ? ?1
②当 1 ? p ? a ? 2 时,有 a>3.

(与题设矛盾,无解);……………………5 分

此时 f(x)为减函数,

?p ?1 ? ( 1, ? ?) 其值域为 知? a ?1 loga ?1 ? a ?3 ?
符合题意

得a ? 2 ? 3, p ? 1.

…………………8 分

综上①②:存在这样的实数 p, a 满足条件, p ? 1, a ? 2 ? 3 …………………9 分 (3)∵ g ( x) ? ?ax ? 6( x ?1)a
2 f ( x)

? 5 , f ( x) ? log a

1? x x ?1

∴ g ( x) ? ?ax ? 6 x ? 1
2

x ? [4,5] 且 a ? 0, a ? 1
7

①当

3 3 ? 4 ? a ? , a ? 1 时,函数 g ( x) 在 [4,5] 上单调递减 a 4
…………………11 分

所以 g ( x)max ? g (4) ? ?16a ? 25 ②当

3 3 ? 5 ? 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 [4,5] 上单调递增 a 5
…………………13 分

所以 g ( x)max ? g (5) ? ?25a ? 31 ③当

3 3 3 a ? a ? 时,函数 g ( x) 在 [ 4, ] 上单调递增,在 [ ,5] 上单调递减 4 5 a 3 a 9 所以 g ( x) max ? g ( ) ? ? 1 …………………15 分 3 a

综上①②③, g ( x ) max

? ?? 16a ? 25 ? ?9 ? ? ?1 ?a ? ? 25a ? 31 ? ?

3 a ? ,a ? 1 4 3 3 ?a? 5 4 3 0?a? 5

…………………16 分

20. 解: (1)由 f(x)为偶函数可知,b=0 方程 f ( x) ? a( x ? 1) 即 (a ? 1) x ? 2ax ? a ? c ? 0
2 2

?(a ? 1) ? 2a ? a ? c ? 0 所以 ? 2 ?4a ? 4(a ? 1)(a ? c) ? 0
所以 a ?

1 ? ?a ? 解得 ? 2 ? ?c ? 1
…………………3 分

1 , b ? 0, c ? 1 2
2

(2)证明:由(1)得 f ( x) ? x ? 1 ,当 x ? ?? 2,2? 时,

( x 2 ? 1) ? (

5 ?1 5 ?1 2 5 ?1 | x | ?1)2 ? x ? ( 5 ? 1) | x |? | x | (| x | ?2) ? 0 2 2 2 5 ?1 x ? 1对任意的 x ? ?? 2,2? 恒成立 2
8

所以

f ?x ? ?

…………………6 分

(3)由题意知, m ?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |max ,即 m ? g ( x)max ? g ( x)min ………8 分 由(2)知,当 x ? ?0,2? 时,

g ( x) ?

5 ?1 5 ?1 x ?1? (2 ? x) ? 1 ? 5 ? 1 2 2
…………………11 分

所以当 x ? 0或2 时, g ( x) 有最大值 5 ? 1 考虑 ( x ? 1) ?
2

1 1 1 1 ( x ? 1) 2 ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? 0 2 2 2 2

所以

f ( x) ?

2 ( x ? 1) 2
…………………14 分

则 g ( x) ?

2 2 ( x ? 1) ? (2 ? x ? 1) ? 2 2 2 2

故 m ? 5 ?1? 2 2

…………………16 分

9


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