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2014初一升初二暑假衔接班教材


初一升初二

暑 期 培 优 教 材

暑 期 培 优 教 材
(数学)
编者:张老师 成都·2013.5


专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题七



第一部分——温故知新
整式运算? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 乘法公式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 平行线的性质与判定? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9 三角形的基本性质? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 全等三角形? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?14 如何做几何证明题? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?17 轴对称? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22

第二部分——提前学习
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题七 专题八 勾股定理? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?25 平方根与算数平方根? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?29 立方根? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?32 平方根与立方根的应用 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?35 实数的分类? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?39 最简二次根式及分母有理化? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 42 非负数的性质及应用? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?46 二次根式的复习? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?49

1

第一部分——温故知新
专题一 整式运算

1.由数字与字母 单项式中的 单项式中所有字母的

组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 叫做单项式的系数 叫做单项式的次数 叫做这个多项式的次数 后
m n m? n

2.几个单项式的和叫做多项式 多项式中 3.单项式和多项式统称为 4.整式加减实质就是

a ?a 5.同底数幂乘法法则: a ·
6.幂的乘方法则: a

mn (m.n 都是正整数) ;逆运算 a ? ? n n n 7.积的乘方法则: ?ab? ? (n 为正整数) ;逆运算 a b ? m?n m n m?n ? 8.同底数幂除法法则: a ? a ? a (a≠0,m.n 都是正整数) ;逆运算 a 0 9.零指数的意义: a ? 1?a ? 0? ; 1 ?p 10.负指数的意义: a ? p ?a ? 0, p为正整数 ? a

? ?

(m.n 都是正整数) ;逆运算 a

m?n

?

m n

11.整式乘法: (1)单项式乘以单项式; (2)单项式乘以多项式; (3)多项式乘以多项式 12.整式除法: (1)单项式除以单项式; (2)多项式除以单项式

知识点 1.单项式多项式的相关概念 归纳:在准确记忆基本概念的基础上,加强对概念的理解,并灵活的运用 例 1.下列说法正确的是( ) A.没有加减运算的式子叫单项式 C.单项式-1 的次数是 0 例 2.如果多项式 3x
m?2

B. ?

5 5?ab 的系数是 ? 3 3
2

D. 2a b ? 2ab ? 3 是二次三项式

? ?n ? 1?x ? 1是关于 x 的二次二项式,求 m,n 的值

知识点 2.整式加减 归纳:正确掌握去括号的法则,合并同类项的法则 例 3.多项式 x ? 3kxy ? 3 y
2

?

2

1 ? ?? ? ? xy ? 8 ? 中不含 xy 项,求 k 的值 3 ? ?

3

知识点 3.幂的运算 归纳:幂的运算一般情况下,考题的类型均以运算法则的逆运算为主,加强对幂的逆运算的 练习,是解决这类题型的核心方法。 例 4.已知 a m ? 3, a n ? 5 求(1) a
2 m ?3n

的值 (2) a

3m ? 2 n

的值

? 3? 例 5.计算 (1) ? ? ? ? 14 ?

2011

? 2? ??4 ? ? 3?

2010

?1? (2) ? ? ? ?2010 ? ?0 ? 2 ?1 ?2?

?1

知识点 4.整式的混合运算 归纳:整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据,注意运算时灵活运用法则。 例 6.先化简,再求值: a b ? 2ab ? b
2 2

?

3

, b ? ?1 ? ? b ? ?a ? b??a ? b? ,其中 a ? 1 2

知识点 5.运用幂的法则比较大小 归纳:根据幂的运算法则,可以将比较大小的题分为两种:①化为同底数比较;②化为同指 数比较 例 7.比较大小 (1) a ? 3 , b ? 4 , c ? 5
55 44 33

(2) a ? 8 , b ? 16 , c ? 32
41 31

25

1.若 A 是五次多项式,B 是三次多项式,则 A+B 一定是( A.五次整式
31

) D.次数不能确定 ) D. b > c > a

B.八次多项式
41
61

C.三次多项式

2.已知 a ? 81 , b ? 27 , c ? 9 ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是( A. a > b > c 3.若 2 ? 4
x y ?1

B. a > c > b
y x ?1

C. a < b < c ) D.1
3

, 27 ? 3 B.-3

,则 x ? y 等于( C.-1

A.-5

4.下列叙述中,正确的是(
2

) B.a、π 、0、2 都是单项式 D.
2

A.单项式 x y 的系数是 0,次数是 3 C.多项式 3a b ? 2a ? 1 是六次三项式
3 2

m?n 是二次二项式 2

5.下列说法正确的是(

) B. 多项式与多项式的和是多项式 D.多项式至少有两项
?1

A.任何一个数的 0 次方都是 1 C. 单项式与单项式的和是多项式 6.下列计算: ① (?1) ? ?1 ② (?1)
0

? ?1 ③ 2 ? 2?2 ?

1 1 ④ 3a?2 ? 2 (a ? 0) 2 3a


⑤ ( ?a ) ? ( ? a )
2 m

m 2

⑥ a3 ? a 2 ?

1 ? a3 正确的有( a2
D. 5 个

A. 2 个

B. 3 个

C. 4 个

7.在 ?ax ? 3 y ?与?x ? y ? 的积中,不想含有 xy 项,则 a 必须为
3 2 8.若 a 2 ? pa ? 8 a 2 ? 3a ? q 中不含有 a 和a 项,则 p ?

. ,q ? .

?

??

?

9.比较大小 (1) a ? 9 20 , b ? 2714 , c ? 8111 (2) a ? 2
100

, b ? 375

(3) a ? 2 , b ? 4 , c ? 5
24 20

12

10.计算(1) ? 2 ? ?2 ? ? ? ? ? ?
0

?1? 3 ? ?? 2? ? 2?

?1

(2) ?

?5? ? ? 13 ?

2005

3? ? ??? 2 ? 5? ?

2006

专题二

乘法公式

1.平方差公式: ?a ? b??a ? b? ? a ? b
2

2

平方差公式的一些变形: (1)位置变化: ?a ? b??? b ? a ? ? (2)系数变化: ?3a ? 5b??3a ? 5b? ? (3)指数变化: m ? n
3

? a 2 ? b2

? 9a 2 ? 25b 2
? m6 ? n 4

?

2

??m

3

? n2 ?

?

(4)符号变化: ?? a ? b??a ? b ? =

? ? a2 ? b2 ? b2 ? a2

?

?

(5)数字变化:98?102=(100-2)?(100+2)=10000-4=9996
3

(6) 增项变化:?x ? y ? z ??x ? y ? z ? ?

? ?x ? z ? ? y 2 ? x 2 ? 2xz ? z 2 ? y 2
2

(7)增因式变化: ?a ? b??a ? b? a 2 ? b 2 a 4 ? b 4 ? a 2 ? b 2 a 2 ? b 2 a 4 ? b 4 ?

?

??

? ?
2

??

??

?

? a8 ? b8
2.完全平方公式: ?a ? b? ? a 2 ? 2ab ? b 2 , ?a ? b? ? a 2 ? 2ab ? b 2
2

完全平方公式的一些变形: (1)形如 ?a ? b ? c ? 的计算方法
2

?a ? b ? c?2 ?
? ?a ? b? ? 2?a ? b?c ? c 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 2ac ? 2bc ? c 2
2

(2)完全平方公式与平方差公式的综合运用

?2a ? b ? c??2a ? b ? c? ?
? ?2a? ? ?b ? c? ? 4a 2 ? b 2 ? 2bc ? c 2
2 2

(3)幂的运算与公式的综合运用

?2a ? b?2 ?2a ? b?2 ?
2 2

? 4a 2 ? b 2

?

?

2

? 16a 4 ? 8a 2 b 2 ? b 4
2

(4)利用完全平方公式变形,求值是一个难点。 已知: a ? b, ab的值, 求 : ?a ? b? ? ?a ? b? ? 4ab , a 2 ? b 2 ? ?a ? b? ? 2ab 已知: a ? b, ab的值, 求 : ?a ? b? ? ?a ? b? ? 4ab , a 2 ? b 2 ? ?a ? b? ? 2ab
2 2 2

已知: a ? b, a

2

2 ? a ? b ? ? ?a 2 ? b 2 ? ? b 的值, 求 : ab ?

2

2

已知: a ? b, a ? b或?a ? b? , ?a ? b? 的值, 求 : ab ?
2 2

?a ? b?2 ? ?a ? b?2
4

(5)运用完全平方公式简化复杂的运算

9992 ? ?1000? 1? ? 1000000 ? 2000? 1 ? 998001
2

知识点 1.平方差公式的应用 例 1.计算下列各题 (1) ? x ?
2

?1 ?3

1 ?? 1 2 1 ? y ?? x ? y ? 2 ?? 3 2 ?

(2) ?? ax ? by??? ax ? by?

(3)999?1001

3

例 2.计算(1) ?2 ? 1? 2 2 ? 1 2 4 ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 2006 ? 1 ? 1

?

??

?

?

?

(2)

2012 2012 ? 2011 ? 2013
2

知识点 2.完全平方公式

1 ? ? 1 ? ? 例 3.计算(1) ? x ? y ? ? x ? y ? 2 ? ? 2 ? ?

2

2

(2) ?a ? b ? 2c ??? a ? b ? 2c ?

例 4.已知 a ? b ? 3, ab ? ?1. 求(1) a ? b
2

2

(2) ?a ? b ?

2

例 5.已知 x ? y ? 5, x ? y ? 1 ,求 xy 的值

知识点 3.配完全平方式 归纳:配完全平方式求待定系数有三种情况,?求一次项系数(2 个答案)?求另一个平方 项(1 个答案)?求另一个平方项的底数(2 个答案) 例 6.已知 4 x ? 8 x ? m 是一个完全平方式,则 m 的值为(
2



A.2

B. ? 2

C. 4

D. ? 4

1.已知 m+n=2,mn= -2,则 m?+n?的值为( A.4 A.833 A.9 B.2
2n

) ) )

C.16
3n 2

D.8 D.1225
2

2.若 n 为正整数,且 x

? 7 ,则 (3x ) ? 4( x 2 ) 2n 的值为(
C.3283 C.2
3

B.2891 B.10

2 3.若 a ? b ? 2 , a ? c ? 1 ,则 (2a ? b ? c) ? (c ? a) 等于(

D.1

4.下列说法正确的是( A.2x-3 的项是 2x,3 C.x +2xy+y 与
m 2m 2 2

) B.x-1 和
2

x? y 都是多项式 5
2n-2 8

1 -1 都是整式 x


D.3x y-2xy+1 是二次三项式

5.若单项式 3x y 与-2x A.1,5

y 的和仍是一个单项式,则 m,n 的值分别是( C.3,4 ) C.9a -12a+4 ) C.4 C.±6 D.6 ) D.6 )
2

B.5,1

D.4,3

6.下列多项式中是完全平方式的是( A.2x +4x-4 7.若 a-
2

B.16x -8y +1

2

2

D.x y +2xy+y

2 2

2

1 1 2 =2,则 a + 2 的值为( a a
B.2
2

A.0 A.±3 9. 3(22 ? 1)(24 ? 1)(28 ? 1) A. 2
2

8.如果多项式 x ? m x ? 9 是一个完全平方式,则 m 的值是( B.3

(232 ? 1) ? 1 的个位数字为(
C. 6 ) D. 8

B.

4

10.下列叙述中,正确的是(

A.单项式 x y 的系数是 0,次数是 3 C.多项式 3a b ? 2a ? 1 是六次三项式
3 2

B.a、π 、0、2 都是单项式 D.

2

m?n 是二次二项式 2

11.下列说法正确的是(

) B. 多项式与多项式的和是多项式 D.多项式至少有两项
?1

A.任何一个数的 0 次方都是 1 C. 单项式与单项式的和是多项式 12. 下列计算: ① (?1) ? ?1 ② (?1)
0

? ?1 ③ 2 ? 2?2 ?


1 1 ④ 3a?2 ? 2 (a ? 0) 2 3a

⑤ ( ?a ) ? ( ? a )
2 m

m 2

⑥ a3 ? a 2 ?

1 ? a3 正确的有( 2 a
D. 5 个

A. 2 个

B. 3 个

C. 4 个

13.已知,x、y 是非零数,如果 14. ?a ? b??a ? b? a ? b
2

xy 1 1 ? 5 ,则 ? ? __________ ____. x? y x y

?

2

??a

4

. ? b 4 ? __________ _______

?

15.乘积 ?1 ?
2

? ?

1 ?? 1 ?? 1 ? 1 ?? 1 ? ? =______________. 1 ? 2 ??1 ? 2 ???? 1 1? 2 ?? 2 ?? 2 ? 2 ?? 3 ?? 4 ? ? 1999 ?? 2000 ?
.
2

16. 若 x ? mx ? 15 ? ( x ? 3)(x ? n) ,则 m = 17.已知 a ? b ? 3, ab ? ?12 ,则 a ? ab ? b
2

=__________ (a ? b) =__________.
2

3

18.已知 ?a ? b? ? 11 ?a ? b? ? 7 ,则 ab 的值是 ,
2 2

.

19.已知 x ?

1 1? ? ? 3,则? x ? ? 的值为 x x? ?
2 2

2

.

20.已知 a ? b ? 5,ab ? 3,则a ? b 的值为 21.当 x = 最小值是
2

.

,y= .

时,多项式 4 x 2 ? 9 y 2 ? 4 x ? 12y ? 1有最小值,此时这个

22.若 ?a ? b ? ? 2b ? 1 ? 0,则 ab ? ?2ab ? 3?ab ? 1??的值是 23.若 1 ?

.

4 4 2 ? 2 ? 0,则 的值为 x x x
0 ?2

. . ,y? . . . . .

24.若 ?x ? 3? ? 2?3x ? 6? 有意义,则 x 的取值范围是 25.若代数式 x 2 ? y 2 ? 14x ? 2 y ? 50 的值为 0,则 x ? 26.计算 ?? 2? ? ?? 3? ? ? 4 ? 105
2 0

?

? ? ?0.1?
0

?2

的结果为

27.已知 x ? x ? 1 ? 0,则x
2

2000

? x1999 ? x1998 的值为

28.多项式 a 3 ?

1 4 ab ? a m?1b ? 6 是一个六次四项式,则 m ? 2
2 2

29.若代数式 2a ? 3a ? 7 的值是 8,则代数式 4a ? 6a ? 9 的值为 30.已知 x ? xy ? 20 ,xy ? y ? 12,则x ? y 的值为 31.计算 ?? 2? 32.已知 2
6006

. .

? 0.1252001 的结果为
9

? ? ? 2 ,则 x =
x 3
2 2

. .

33.若 m ? n ? 3,则2m ? 4mn ? 2n ? 6 的值为 34.(1) 9 ? ?10 ? 1? ? 10 ? 1 ? 10 ? 1 ? 1
2 4

?

? ?

?

(2)

10002 2522 ? 2482

35.若 x ? y ? 8, x ? y ? 48 ,求 y-x 的值
2 2

3

36.(1)若 x ? y ? 9, xy ? 16 ,求 x 2 ? y 2

(2)已知 ?x ? y ? ? 16, ?x ? y ? ? 4 ,求 xy 的值
2 2

37.计算 : 4 32 ? 1 34 ? 1 ? ? ? ? ? ? 32006 ? 1

?

??

?

?

?

38.已知 x ? y ? 25, x ? y ? 7 ,且 x>y,求 x-y 的值
2 2

2 2 39.已知 a ? b ? 1 , a ? b ? ?3 ,求 a ? 3ab ? b 的值.

40.已知 a-b=2,b-c=3,求 a +b +c -ab-bc-ca 的值.

2

2

2

专题三 平行线的性质与判定

1.平行线的判定 (1)同位角相等,两直线平行(2)内错角相等,两直线平行(3)同旁内角互补,两直线 平行 2.平行线的性质 (1)两直线平行,同位角相等(2)两直线平行,内错角相等(3)两直线平行,同旁内角 互补 3.余角性质: 或 的余角相等 补角性质: 或 的补角 相等

3

例 1.如图,AB,CD 被 EF 所截,且∠AEG=∠CFG,EM,FN 分别平分∠AEG,∠CFG。求证:EM∥ G FN M E B A N D F H 例 2.如图,直线 AB∥CD,MH,GN 分别平分∠EMB,∠CNF,求证:MH∥NG E A M N F 例2图 例 3.如图,已知 AB∥CD,分别探索下列两个图中∠B,∠D,∠E 之间的关系 A E B A B E H B 例1图 C

C G

D

C D D C 例 4.已知,AB∥CD,∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于 F 点,∠E=140°,求:∠ (图 2) BFD 的度数 (图 1) A F C (例 4 图) D B E

1.已知,AB∥CD,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,求证:EF∥AB C D

E A
3

F B

2. 如图,已知 AB∥CD,分别探索下列三个图中∠B,∠D,∠E 之间的关系 E B A A A B E

B

D E 图2

C

D 图1

C

C 图3

D

3. 如图,已知 AB∥CD,猜想下列三个图中∠B,∠D,∠E,∠F 之间的关系 A B E F 图1 D D 图2 C C 图3 D A E F C B A E B F

4.如图, 已知 l1∥l2, MN 分别和直线 l1、 l2 交于点 A、 B, ME 分别和直线 l1、 l2 交于点 C、 D. 点 P 在 MN 上(P 点与 A、B、M 三点不重合) . (1)如果点 P 在 A、B 两点之间运动时∠α 、∠β 、∠γ 之间有何数量关系?请说明理由. (2)如果点 P 在 A、B 两点外侧运动时∠α 、∠β 、∠γ 有何数量关系?(只须写出结论)
l1 N A P
γ β α

l2

B

E

C

D

M

3

专题四

三角形的基本性质

1.三角形三边的关系 (1)三角形任意两边之和大于第三边 (2)三角形任意两边之差小于第三边 设 a,b,c 为三角形的三边,用不等式表示三边的关系 2.三角形内角和定理及推论 (1)定理:三角形三个内角的和等于 180° (2)直角三角形的两个锐角互余 3.三角形的外角 (1)定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角 (2)三角形外角性质。 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的 ②三角形的外角和等于 4.三角形具有稳定性 5.三角形中的三种重要线段 (1)三角形的角平分线:三角形内一个内角的平分线与这个角对边相交,这个角的顶点和 交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 (2)三角形的中位线:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角形的中 位线 (3)三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线,顶点和垂足之间的线 段叫做三角形的高线 注意: (1)三角形的角平分线、中线、高线都是 ;角的平分线是 (2)三角形的三条角平分线、三条中线均相交于三角形 一点: 三角形的三条高线:锐角三角形在三角形 ;钝角三角形在三角形 ;直角三角形 在三角形 。

知识点 1.三角形三边的关系 归纳: 三角形三边的关系常用来判断三条已知线段能否构成三角形, 确定三角形第三边的范 围,以及证明线段的不等关系。 三角形边长问题中,一定要注意判断三角形的存在性。 例 1.如果三角形的两条边长分别为 23cm 和 10cm, 第三边与其中一边的长相等, 那么第三边 的长为 cm 例 2.在△ABC 中,AB=AC,中线 BD 把△ABC 的周长分为 15 和 6 两部分,求△ABC 各边的长

知识点 2.三角形内角与外角
3

归纳: (1)在角的计算中,尽量转化在同一三角形内,根据内角和定理进行计算 (2)三角形外角性质是非常重要的知识点,通常结合角平分线、高线及三角形内角定 理来解题较为常见 例 3. 如图,某零件中∠BAC=90°,∠B,∠C 应分别是 21°和 32°, 检验工人量得∠BDC=148°,就断定此零件不合格,为什么? C

D

A 例3图 例 4.已知△ABC 中,∠C=∠ABC=2∠A,BD 是 AC 边上的高,求∠DBC 的大小 A D B C

B

例4题

例 5.如图,射线 AD,BE,CF 构成如图所示的角,求∠1+∠2+∠3 等于多少? F 3

A 2 C 例5图

B D

E

1

1.已知三角形的三个内角度数比是 1:5:6,则最大内角的度数为( ) A.60° B.75° C.90° D.120° 2.现有2cm.4cm.5cm.8cm长的四根木棒,任选三根组成 一个三角形,那么可以组成三角形的个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C, A 则∠1+∠2等于 4.直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角是 度 D 5.已知△ABC中,CD为中线,AC=3cm,BC=4cm 则△ACD与△BCD的周长相差 B 第5题 6.如图,△ABC中,∠A=40°,∠ACB=104°, BD为AC边上的高,BE平方∠ABC,求∠BEC与∠EBD的度数

C B

3



D E C 第 6 题 图

7.已知△ABC, (1)图1,若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,求∠P与 ∠A的关系 (2)图2,若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,求∠P与∠A的关系 (3)图3,若P点是外角∠CBD和∠BCE的角平分线的交点,求∠P与∠A的关系 A P A



P B 图1 C B 图2 C E

B D

C E P 图3

专题五

全等三角形

1.全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边相等 (2)全等三角形的对应角相等 (3)全等三角形对应边上的高,中线以及对应角的平分线 (4)全等三角形的周长、面积 2. 三角形全等的判定 (1)三边分别对应相等的两个三角形全等(简称 SSS) (2)两边及夹角分别对应相等的两个三角形全等(简称 SAS) (3)两角及夹边分别对应相等的两个三角形全等(简称 ASA) (4)两角及其一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简称 AAS) (5)斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称 HL) 注意:两边一角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等

知识点 1.三角形全等的证明问题 归纳:灵活运用三角形全等证明线段的关系及角与角之间的关系是三角形全等中常见的问 题。 例 1.如图,一直∠DCE=90°,CD=CE,AD⊥AC 于 A,BE⊥AC 于 B,试说明 AB+AD=BE E

3

A

B C

D

例1图

例 2.如图,在△MNP 中,∠MNP=45°,H 是高 MQ 和 NR 的交点,证明:HN=PM M R H P Q 例2图 N

知识点 2.多次证明三角形全等 归纳:有些线段或角的问题只用一次三角形全等无法证明,所以,需要进行 2 次证明三角形 全等。 例 3.如图,AB=CD,AE=DF,CE=BF,求证:BE∥CF E

A

B

C

D

例3图

F

知识点 3.三角形中的和、差、倍、分问题 归纳:利用三角形全等来证明线段的“和” “差” “倍” “分” ,一般采用————截长或补短 的方法 ①截长法:就是在长线段上截取一段,使截取的线段等于两条线段中的一条线段,然后证明 剩下的线段等于两条短线段中另一条线段。 当遇到角平分线时, 以角平分线为公共边在较长的边上截取相等部分的方法, 构造三角形全 等 例 4.如图,AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,点 D、E、C 在同一直线上,证明:AD+BC=AB D 1 A 2 例4图 3 E C 4 B

②补短法: 就是延长两条短线段中的一条线段, 使延长线的部分等于两条短线段中的另一条 线段,再证明延长后的线段等于长线段 当遇到中线时,通常延长中线一倍,采用补短的方法,构造三角形全等 例 5.如图,D 为△ABC 的边 BC 上的一点,且 CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE 是△ABD 的中线, 求证:AC=2AE A
3

B

E

D 例5图

C

1.下面两个等腰三角形一定全等的是( ) A.边长分别为 2 和 3 的两个等腰三角形 B.边长分别为 3 和 5 的两个等腰三角形 C.边长分别为 4 和 7 的两个等腰三角形 D.边长分别为 5 和 11 的两个等腰三角形 2.如图,AB=AC,AD=AE,AB,DC 交于点 M,AC,BE 交于点 N,∠DAB=∠EAC,证明:AM=AN A D M B 第 2 题图 3.如图,在△ABC 中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C,求证:AB+BD=AC A 1 B 2 C N C E

D 第 3 题图

4.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,E 是 BC 中点,过 E 做 EF∥AD,交 AB 于 G,交 CA 的延长线于 F,求证:BG=CF G B A

E

D

C

第 4 题图

5.如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD,CE 交 BD 的延长线于 E, 求证:BD=2CE A D 1 B 2 E

C

6.证明:在直角三角形中 30°所对的直角边等于 90°角所对的斜边的一半

3

专题六

如何做几何证明题

1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。 几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两 类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果) ,从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步 向前推进,直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再 把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于 表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离, 最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图 形分解成基本图形。 在更多时候需要构造基本图形, 在构造基本图形时往往需要添加辅助线, 以达到集中条件、转化问题的目的。

1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。 很多其它 问题最后都可化归为此类问题来证。 证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。

A B C 例 1.已知:如图所示, ? 中, ?C ? 90? ,AC ? BC,AD ? DB,AE ? CF 。
求证:DE=DF
A E

D

C
3

F

B

分析:由 ? 是等腰直角三角形可知, ? ,由 D 是 AB 中点,可考虑连结 A B C A ? ? B ? 4 5 ? CD,易得 C ,? 。从而不难发现 ? DA ?D D C F ?? 4 5 D C F ? ? D A E 说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分 线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结 CD,因 为 CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长 ED 到 G,使 DG=DE,连结 BG, 证? 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 E F G 例 2. 已知:如图所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。求证:∠E=∠F

E A B F C D

说明:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意: (1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量; (2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中, 平行与垂直是两种特殊的位置。 证两直线平行, 可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直 线垂直,可转化为证一个角等于 90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一” 来证。 例 3. 如图所示,设 BP、CQ 是 ? 的内角平分线,AH、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的垂线。 A B C 求证:KH∥BC
A Q K B P H C

3

分析:由已知,BH 平分∠ABC,又 BH⊥AH,延长 AH 交 BC 于 N,则 BA=BN,AH= HN。同理,延长 AK 交 BC 于 M,则 CA=CM,AK=KM。从而由三角形的中位线定理, 知 KH∥BC。 说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形。 我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。 例 4. 已知:如图所示,AB=AC, ∠ 。 求证:FD⊥ED A ? 9 0 ? , A E ? B F , B D ? D C

A E F B D C

说明:有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅 助线。 说明:证明两直线垂直的方法如下: (1)首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证二。 (2)找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。 (3)证明二直线的夹角等于 90°。 3、证明一线段和的问题 (一) 在较长线段上截取一线段等一较短线段, 证明其余部分等于另一较短线段。 (截长法) 例 5. 已知:如图,在 ? 中, ? ,∠BAC、∠BCA 的角平分线 AD、CE 相交于 O。 A B C B ? 6 0 ? 求证:AC=AE+CD
B

E A

O

D

C
3

分析:在 AC 上截取 AF=AE。易知 ? ,? 。由 ? ,知 A E O ? ? A F O ? 1 ? ? 2 B ? 6 0 ? 。? ,得: ? 5 ? ? 6 ? 6 01 ? , ? ? 6 02 ? , ? ? ? 3 ? 1 2 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 6 0 ?

? F O CD ? ? O C , ? F C ? D C
(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明 该线段等于较长线段。 (补短法) 例 6. 已知:如图 7 所示,正方形 ABCD 中,F 在 DC 上,E 在 BC 上, ? 。 E A F ?? 4 5 求证:EF=BE+DF

A

D F

B

E

C

分析:此题若仿照例 1,将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。不妨延长 CB 至 G,使 BG=DF。

1.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,点 E 是 AB 上一个动点,若∠B=60°,AB=BC,且∠DEC =60°;求证:BC=AD+AE

A

D

E B C

3

2.如图所示,已知 ? 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并且使 AE=BD,连结 A B C

CE、DE。 求证:EC=ED

E

A B

C

D

3. 已知如图,在 Rt△ABC 中,AB=CD,∠ABC=90°,∠ABD=∠DBC,CE⊥BD 的延长线于点 E, 证明:BD=2CE A E D B C

4.图(1)中,C 点为线段 AB 上一点,△ACM,△CBN 是等边三角形,AN 与 BM 相等吗?说明理由; 如图(2)C 点为线段 AB 上一点, 等边三角形 ACM 和等边三角形 CBN 在 AB 的异侧,此时 AN 与 BM 相等吗?说明理由; 如图(3)C 点为线段 AB 外一点,△ACM,△CBN 是等边三角形,AN 与 BM 相等吗? 说明理由。 A C M M N B A N

M C

N B

C

B

3

图(1)

图(2)

图(3)

专题七

生活中的轴对称

1.角平分线 (1)角平分线上的一点到角两边的 相等 (2)角的内部到角两边距离相等的点,一定在这个角的 2.线段垂直平分线 (1)线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的 相等 (2)到线段的两端点的距离相等的点在这条线段的 3.等腰三角形 (1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,两边相等的三角形叫 做等腰三角形 (2)等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线重合叫做“ ” (3)等边三角形:是特殊的等腰三角形,其中有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形同样具备“三线合一”的性质 4.含 30°的直角三角形 在直角三角形中 30°所对的直角边等于 90°角所对的斜边的一半

知识点 1.角平分线及线段垂直平分线 例 1.如图,AD 为等腰直角三角形 ABC 的底角平分线,∠C=90°,证明:AC+CD=AB B D C A

例1图 例 2.如图,△ABC 中,AB=10,AC=6.BC 的⊥平分线分别交 AB,BC 与点 E,D.求:△ACE 的周 长 A E B C

D 例2图

例 3.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D,若 DE 垂直平分 AB, 求,∠B 的度数 C D
3

A

E 例3图

B

知识点 2.等腰三角形与等边三角形 例 4.等腰三角形的一腰上的高于另一腰的夹角为 20°,则顶角为多少度?

例 5.如图,在△ABC 中,AB=AC,E 为 BC 中点,BD⊥AC,垂足为 D,若∠EAD=20°求:∠ABD 的度数 A D B C

E 例5图

例 6.如图, 在等边△ABC 的 AC 边上取中点 D, BC 的延长线上取一点 E, 使 CE=CD, 证明: BD=DE A D B 例6图

C

E cm 度

1.如图,DE 是 AC 的垂直平分线,AB=10cm,BC=11CM,则△ABD 的周长为 2.如图, 在△ABC 内有一点 D, 且 DA=DB=DC, 若∠DAB=20°, ∠DAC=30°, 则∠BDC= 3.如图,△ABC 为等边三角形,∠BAD=∠CBE=∠ACF,则∠BEC= 度 A E B D 第 1 题图 C D B 第 2 题图 C B D A A F E C B D

A

E 第 4 题图

C

第 3 题图

4.如图,DE 是△ABC 中 AB 边的垂直平分线,分别交 AB,BC 与 D,E,AE 平方∠BAC, 若∠B=30°,求∠C 的度数 A

B

D

第 5 题图

E

C

3

5.如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E 都在 BC 上,且 AD=AE,求证:BD=CE 6.如图,△ABC,AB=AC,D 在 AB 上,E 在 AC 的延长线上,且 BD=CE,连接 DE 交 BC 于 F, A 试探究 DF 与 EF 的数量关系

第二部分——提前学习
专题一 勾股定理
B

D C F E

一、勾股定理: 1.内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a ,b ,斜边为 c ,那么 a?+b?=c?。 二、勾股定理的证明:常用的是拼图法 用拼图法验证勾股定理的思路是:1)图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙, 面积是不会改变的;2)根据同一图形的面积不同的表示方法,列出等式,推到出勾股 定理。 常见的方法如下: 方法一:

a

b

b

a

a a

a

c b

a

a

c c

b

b

c

b

b

b

c

c b

a

a

b

a

做 8 个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b,斜边长为 c,再做三个 边长分别为 a、b、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是 a + b,所以面积相等. 即

1 1 a 2 ? b 2 ? 4 ? ab ? c 2 ? 4 ? ab 2 2 , 整理得

a2 ? b2 ? c2 .

方法二: 以 a、b 为直角边,以 c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等

1 ab 于2 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使 A、E、B 三点在一条直线上,B、F、C
三点在一条直线上,C、G、D 三点在一条直线上. ∵ RtΔ HAE ≌ RtΔ EBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90?, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90?. ∴ ∠HEF = 180?―90?= 90?. ∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. 它的面积等于 c2. ∵ RtΔ GDH ≌ RtΔ HAE,
3

D a H

b c

G

a

C b

c F

b A a

c

c E b

a B

∴ ∵ ∴ 又∵ ∴

∠HGD ∠HGD ∠EHA ∠GHE ∠DHA

= + + = =

∠EHA. ∠GHD = 90?, ∠GHD = 90?. 90?, 90?+ 90?= 180?.
2

∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形,它的面积等于 ?a ? b? .
2 2 2 ∴ ∴ a ?b ? c . 方法三: 以 a、b 为直角边(b>a) , 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形,则每个直角

?a ? b ?2

1 ? 4 ? ab ? c 2 2 .

1 ab 三角形的面积等于 2 . 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔ DAH ≌ RtΔ ABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90?, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90?, ∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形,它的面积等于 c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90?. ∴ EFGH 是一个边长为 b―a 的正方形,它的面积等于 ?b ? a ? .
2

D b G A a H E F C

c

B

1 2 4 ? ab ? ?b ? a ? ? c 2 2 ∴ . 2 2 2 ∴ a ?b ? c .
三、勾股定理的适用范围: 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间嗦存在的数量关系,它只适用于直角三角形, 对于锐角三角形和钝角三角形的三边不具备这一特征, 因而在应用勾股定理的时候, 必 须知道考察的对象是直角三角形。 四、勾股定理的应用: 1.已知直角三角形的任意两边,求第三边

知道直角三角形一边,可得到另外两边之间的数量关系 五、勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长 a ,b ,c ,满足 a?+b?=c?,那么这个三角形就是直角三角形,c 边 就是斜边。 1.勾股定理的逆定理是判定三角形是否是直角三角形的一种重要方法, 它是通过 “数转化为 形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和 a?+b?与最长边的 平方 c?作比较, 若 a?+b?=c?,则是直角三角形, 若 a?+b?<c?,则是钝角三角形,若 a?+b?>c ?,则是锐角三角形。 注:不要误认为三角形的最长边一定就是 c 边,也可用是 a ,b 边,要看清题目。 六、勾股数: 1. 3 4 5 6 8 10 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 11 60 61 以及它们各自 的相同倍数(整数倍,小数倍)
3

2.对于两个任意的正整数 m ,n(m>n),则 m?+n?, m?-n?,2mn 也成勾股数。 且(m?-n?)?+(2mn)?=(m?+n?)?。 七、有关“蚂蚁怎样走最近”的问题: 通常的做法是将立体图形展开成为平面图形, 然后再在平面图形上找准与立体图形相对 应的点,连结两点之间的线段就是最短距离。

1.勾股定理的直接应用: 例 1.正方形的面积是 2,它的对角线长为_______。 2.求第三条边的长: 例 2.在直角三角形中,a=3 b=4.第三边的平方是________。 例 3.已知两条线段的长为 6cm 和 8cm, 当第三条线段取__________时, 这三条线段能组成一 个直角三角形。 3.与高,面积有关: 例 4.两个直角分别是 3 和 4 的直角三角形斜边上的高是_________。 例 5.等腰三角形的底边为 10cm,周长为 36cm,则它的面积是_______cm?. 4.判断三角形的形状: 通常做法是找较短的两条边,求它们的平方和,再和最长的边的平方进行比较。 5.求线段的长: 例 6.在直角三角形中,∠C=90 度,∠1=∠2,CD=1.5 BD=2.5,求 AC 的长。

6.求最短距离: 例 7.如图所示,蚂蚁要从棱长为 5cm 的正方体的 A 点爬到 B 点,问 最短距离是多少?

7.有关梯子的问题:一般情况下,隐含的条件是墙与地面垂直,自己做示意图,再求解。 例 8.长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45 度角,作业时调整为 60 度角,则梯子顶端沿墙角 而升高了_____m. 8.有关旗杆的问题:一般情况下隐含的条件是旗杆与地面垂直,自己作示意图,再求解。 例 9.小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1m,当他把绳子的 下端拉开 5m 后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。

1.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠, 使它落在斜边 AB 上, 且与 AE 重合, 则 CD 等于 ( )
3

A.

2cm

B. 3cm

C. 4cm

D.

5cm

2.求下列各图字母中所代表的正方形的面积。 B 112

SA ? 225

144 256 400 D A 2 .8 米处吹断,倒下的旗杆的顶端落 3.如图,一次“台风”过后,一根旗杆被台风从离地面 在离旗杆底部 9.6 米处,那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高?

400

225

SB ?

SC C ?

SD ?

400



2.8

4.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边 和长为 7cm,则正方形 A,B,C,D 的面积之和为___________cm 5.如图,一个圆柱形纸筒的底面周长是 40cm,高是 30cm,一只小蚂蚁在圆筒底的 A 处,它 想吃到上底与下底面中间与 A 点相对的 B 点处的蜜糖, 试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少?

6.如图折叠长方形的一边 BC,使点 B 落在 AD 边的 F 处,已知:AB=3,BC=5,求折痕 EF 的 长. A E B C F D

7.如图所示,已知四边形 ABCD 中,AD=3cm,AB=4cm,DC=12cm,BC=13cm,且 AB⊥AD。求四 边形 ABCD 的面积。

8.如图 14.2.7, 已知 CD=6m, AD=8m, ∠ADC=90°, BC



9.6



3

24m, AB=26m.求图中阴影部分的面积.

9.如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF,再 以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,如此下去. (1) 记正方形 ABCD 的边长为 a1=1, 按上述方法所作的正方形的边长依次为 a2, a3, a4, ??,

an,请求出 a2,a3,a4 的值;
(2)根据以上规律写出 an 的表达式.

10.A、B 与建筑物底部 D 在一直线上,从建筑物顶部 C 点测得 A、B 两点的俯角分别是 30°、 60°,且 AB=20,求建筑物 CD 的高。

11.某楼梯的侧面视图如图 4 所示,其中 AB ? 4 米, ?BAC ? 30° , ?C ? 90° ,因某种 活动要求铺设红色地毯,则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 B
13m 5m



A

30°

C

12.如图,要为一段高 5 米长 13 米的楼梯铺上红地毯,至少需要红地毯_______米。

专题二

平方根与算数平方根

2 一、算术平方根:如果一个正数 x 的平方等于 a ,即 x ? a ,那么这个正数 x 就叫做 的

算术平方根,记作“ a ” ,读作“根号 a ” 。
3

注意: (1)规定 0 的算术平方根为 0,即 0 ? 0 ; (2)负数没有算术平方根,也就是 a 有意义时, a 一定表示一个非负数; (3) a ? 0 ( a ? 0 ) 。
2 二、平方根:如果一个数 x 的平方等于 a ,即 x ? a ,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根

(也叫二次方根) 。 注意: (1)一个正数 a 必须有两个平方根,一个是 a 的算术平方根“ a ” ,另外一个 是“- a ”,读作“负根号 a ” ,它们互为相反数; (2)0 只有一个平方根,是它本身; (3)负数没有平方根。 三、开平方:求一个数 a 的平方根的运算。其中 a 叫做被开方数。

? a?

?a (a ? 0) a2 ? a ? ? ?? a ( a ? 0)
2

? a ?a ? 0?

102 ? 100

11 2 ? 121

12 2 ? 144

132 ? 169

142 ? 196
182 ? 324

152 ? 225
192 ? 361

162 ? 256
202 ? 400

172 ? 289
252 ? 625

例1、求下列各数的算术平方根与平方根 (1) 5
2

(2)100

(3)1

(4)0

(5)

4 9

(6)7

例2、计算 (1) 81 (2)

1 4

(3)-

9 16

(4)

?? 2?2

(5) 4 ?

25 4 ? 36 9

(6) ?

4 16 ? 9 25

例3、计算

3

(1)

? 64?

2

? 25 ? ? (2) ? ? 49 ? ? ?
(5) 4 ?

2

(3)

?7.2?2
4 16 ? 9 25

(4)

?? 2?2

25 4 ? 36 9

(6) ?

例 4、当

a?2 a?2

有意义时,a 的取值范围是多少?

1、求下列各数的算术平方根和平方根 (1) 16 (2)

121 225

(3) 12

(4) 0.01

(5)?? 5?

2

2、计算

? 16 ? ? ? (1) ? 81 ? ? ?

2

(2) ?? 0.5?

2

(3) 6

1 4 ? 4 49

(4) 0.25 ? 2 ?

1 4

3、判断 (1)-5 的平方根为-5????????????????????( (2)正数的平方根有两个,它们是互为相反数?????????? ( (3)0 和负数没有平方根????????????????????( (4)4 是 2 的算术平方根???????????????????( (5) 9 的平方根是±3 ???????????????????( (6)因为 ) )
2

) ) ) )

1 1 1 1 的平方根是± ,所以 =± ??????????( 4 4 16 16

4、 1 ? x ? 2 x ? 1 有意义,则 x 的范围___________ 5、如果 a(a>0)的平方根是±m,那么( A.a =±m
2

) C. a =±m
3

B.a=±m

2

D.± a =±m

1、下列各数中没有平方根的数是( A.-(-2)
3

) C.a
0

B.3 )

-3

D.-(a +1)

2

2、 a 2 等于( A.a

B.-a

C.±a )

D.以上答案都不对

3、若正方形的边长是 a,面积为 S,那么( A.S 的平方根是 a C.a=± S

B.a 是 S 的算术平方根 D.S= a

4、当 x ___________时, 1 ? 3 x 是二次根式.

x ?1 有意义,则 x 的范围为___________ x?2 64 6、计算: (1)(2) 32 ? 4 2 169
5、要使

7、解下列方程: (1) 4 x ? 256 ? 0
2

(2) ? ?x ? 3? ? ??? 4?
2

3

(3) ?x ? 4? ? 169
2

8、若 x ? 10 ?

x ? y ? 25 ? 0 ,求 x ? y ? xy 的值。

专题三

立方根
3

1、立方根的概念:如果一个数 x 的立方等于 a ,即 x =a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方 根(或叫做三次方根) 。 2、立方与立方根的关系:若有 x =a 成立,则 a 是 x 的立方,x 就是 a 的立方根。 注:任何数均有立方根,立方根是唯一的;任何数不一定有平方根,平方根是不唯一 3、开立方的概念:求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方,a 叫做被开方数。 注: 3 a ? a
3
3

, (3 a ) ? a
3

4、正数的立方根是正数;0 的立方根是 0;负数的立方根是负数 注:正数的立方根大于负数的立方根,0 是介于两者之间。

例 1、 (1)由于 (?3) 的-27,则
3



的立方根。

3

(2)若

= b 成立,则



的立方;



的立方根。

例 2、 (1)2 的立方等于多少?是否有其他的数,他的立方等于 8? (2)-3 的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是-27? 例 3、求下列各数的立方根 (1)512 (2) ? 3

3 8

(3)0

(4) ? 0.216

例 4、比较三个数的大小: 3 ? 59 ,0, 3 6

例 5、若 a ? 4 ? b ? 12 =0,则 b ? a 的立方根是多少?

★例 6、已知 x= m?n m ? n ? 3 是 m+n+3 的算术平方根,y= m?2 n?3 m ? 2n 是 m+2n 的立方根, 求 y-x 的立方根.

一、填空题: 1、若 (0.5) =0.125,则 2、64 的立方根是________. 3、 ? 3 ? 8 的立方根是________ 二、判断并加以说明. 1、?
3



的立方根.

1 1 的立方根是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 2

) ) ) ) ) )

2、? 5 没有立方根 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (

1 1 的立方根是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 216 6 8 2 4、 ? 是 ? 的立方根? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 729 9
3、 5、 负数没有平方根和立方根? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6、a 的三次方根是负数,a 必是负数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (

3

7、立方根等于它本身的数只能是 0 或 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8、如果 x 的立方根是 ? 2 ,那么 x ? ?8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 9. ? 5 的立方根是 ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (
3

) ) ) ) )

1 的立方根是没有意义? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 216 1 1 11、 ? 的立方根是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 27 3
10、? 三、选择题: 1、 8 的立方根是( A、2 B、-2 ) C、4 D、+2

2、 3 64 的立方根是( ) . A、16 B、 3 4 ). C.-3 D.-7 C、4 D、8

3、计算 25 ? 3 8 的结果是( A.3 B.7

4.下列叙述正确的是( ) . A.
3

7 是 7 的一个立方根

B. (3 ? 11) 的立方是 11 D.如果 x 有平方根,它一定有立方根

C.如果 x 有算术平方根,则 x>0 四、计算题 1、已知 a ? 64 ? b ? 27 =0,求
3 3

(a ? b) b 的立方根。

★2、若 3x+1 的平方根是+4,求 9x+19 的立方根.

一、判断题: 1、

125 5 的立方根是+ ???????????????????????( 9 729

) ) )

2、负数没有立方根 ????????????????????????( 3、- 3 7 是-7 的立方根 ???????????????????????(

3

4、若 3 x ? 3 y ,则 x=y ???????????????????????( 5、若 x ? y ,则 3 x ? 3 y ???????????????????????( 二、选择题 1、若 m<0,则 m 的立方根是( A、 3 m B、 - 3 m ) C、+
3

) )

m


D、

3

?m

2、如果 3 6 ? x 是 6-x 的立方根,那么( A、x<6 三、填空题 1、若 x<0, x = 2、比较大小 : 3 2
2

B、x=6

C、 x ? 6

D、x 是任意实数

2

,3 x =
3

3

?5
3

3、 (?4) 的算术平方根与 (?4) 的立方根的乘积是 4、若 x ? (3 ? 5 ) 3 ,则 ? x ? 1 = 四、求下列各数的立方根. (1) ?1 (2)

1 1000

(3) ? 343

(4) 15

5 8

五、能力拓展题。 已知 7 ? 11 ? a ? b ,7 ? 11 ? c ? d , ( a, c 为整数,b, d 为正的纯小数) , 求b ? d 的平方根。

专题四

平方根与立方根的应用

1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系: (1) 区别: A、根指数不同:平方根的根指数为 2,且可以省略不写;立方根的根指数为 3,且 不能省略不写。 B、被开方的取值范围不同:平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可 以是任何数。 C、 结果不同:平方根的结果除 0 之外,有两个互为相反的结果;算术平方根只有 一个,且是正数;立方根的结果只有一。
3

(2) 联系:二者都是与乘方运算互为逆运算。 特别注意:

( a )2 ? a

a2 ? a

3

a3 ? a

(3 a ) 3 ? a

2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。 3、比较两个无理数的大小: ( 1) > b ? 0 ?

a> b
3 3

(2) a > b ? 3 a > 3 b 或 a > b

4、含有二次根号式子取最小值时,当且仅当被开方数为 0,且被开方数为非负数有意义。 5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。

例 1、下列说法,正确的有( ) (1) 只有非负数才有平方根和立方根; (2)如果 a 有立方根,那么 a 一定是正数 ; (3) 如果 a 没有平方根,那么 a 一定是负数 ; (4)立方根等于它本身的数是 0; (5)一个正数的平方根一定大于它的立方根。 A.1 个
3

B 2个 是

C3 个 的立方; ;
3

D4 是 的立方根。

例 2、a.由于 4 ? 64 ,则 b.若

? a >0,则 ( a 2 ) 2 ?

a3 ?
; 3 ?? 1?3 的倒数是 ). 。

例 3、 3 ? 1 的相反数是

; ? 2 的绝对值是

例 4、A.若 a= ? 32 ,b=-∣- 2 ∣,c= ? 3 (?2)3 ,则 a、b、c 的大小关系是( A. a>b>c B. c>a>b C. b>a>c
3

D.

c>b>a
3

B.比较大小: 1.5

5 ; 4

3m2 ? 1

3

m2 ? 2 ; 3


2

例 5、多项选择题:下列各数没有算术平方根的是( A.-﹙-2﹚ B. (?3) 3

) ,有立方根的是( D.11.1

C. (?1) 2

例 6、如果 3x ? 5 +1 有意义,则 x 可以取的最小整数为 是 例 7、A、解方程 。

,若有意义,最小值

(2 x ? 1) 3 ? ?8

B、若 a ? b ? 8 =0,则 b 的立方根是多少?
a

3

一、 判断题 (1)只有正数才有平方根、算术平方根和立方根? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( (2)如果 a 没有平方根 ,那么 a 也没有立方根 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( (3)如果 a 有立方根 ,那么 a 也有平方根 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( (4)算术平方根等于它本身的数为 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( (5)a 的三次方根是负数,a 必是负数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( (6)
3

) ) ) ) ) )

4

4 4 =4 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 63 63

二、填空题 1、
81 的平方根是_______,

4 的算术平方根是_________, 10?2 的算术平方根





2、 a ? 1 ? 2 的最小值是________,此时 a 的取值是________。 3、若一个正数的平方根是 2 a ? 1 和 ? a ? 2 ,则 a ? ____,这个正数是 4、 当 m ______时, 3 ? m 有意义;当 m ______时, 3 m ? 3 有意义; 5、 5 ? 2 的相反数是 三、选择题 1、 2 x ? 1 的算术平方根是 2,则 x ? ( A. ? ) C. ; ? 3 的倒数是
3 3





3 2
0

B.

3 2
C. ).

1 2
0 和1

D. ?

1 2
D. -1 和 1

2、 若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则这个数是( ) A. B. 1

2 3、若-a-b>0,则 ( a ? b) =(

A. -a-b

B.

a?b

C.

a?b

D.

a?b
) .

2 4、 比较大小: A.若 a= ? ( ?5) ,b=-∣-1∣, c= ? 3 (?2)3 ,则 a、 b、 c 的大小关系是 (

A.

a>b>c

B. c>a>b )

C. b>a>c

D. c>b>a

5、若 a<0,则下列各数有平方根的是(

3

A. - a 四、计算题

B. ? a 2

C. ? 3 a 2

D.

?

?a

1、 解方程: (1) 4(x+1) =8

2

(2) 8(1 ? x) 3 ? 27

2、若 a >0, a ? 4 ? b ? 3 =0 成立,则 b
2 2

2a

? 2a 的算术平方根、平方根及立方根分

别是多少?

一、判断题: 1、下列说法中正确的是( A、-4 没有立方根 C、 ) B、1 的立方根是±1 D、-5 的立方根是 3 ? 5

1 1 的立方根是 6 36
10 4 = 27 3
3

2、 在下列各式中:3 2 个数是( ) A. 1

0.001=0.1, 3 0.01 =0.1,- 3 (?27)3 =-27,其中正确的

B.

2 )

C.

3

D.

4

3、下列说法中,正确的是(

A、一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数 B、一个有理数的立方根,不是正数就是负数 C、负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是-1,0,1 4、若 x ?

1 1 ? x 有意义,则 3 x =______. + 8 8
2 2`

二、.判断下列各式是否正确成立. (1) 若|a|>b,则 a >b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (
3



(2)若 a > b ,则 a > b ,且 a > b (2) 三、填空题

3

3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (



3

3

3 3 3 = 3 ?3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 26 26



1、 平方根是它本身的数是____; 立方根是其本身的数是____;算术平方根是其本身的 数是________。 2、 若 a<0,则( 3 ? a ) =_________.
-3

3、 若 a =1,则 3 a =_________.
2

4、π 的 5 次方根是_________. 5、若± a ? 3 a ,则 a 是 。

6、-0.008 的立方根的平方等于_________. 四、解方程 (x-1) =-
3

1 . 64

专题五

实数的分类

1、实数的概念:有理数和无理数统称为实数,实数有两种分类方法。 按定义分:实数可以分为有理数和无理数;整数和分数都是有理数,即有限小数或无限循环 小数;无理数是无限不循环小数 按正负分:实数可以分为正实数、0、负实数;正实数分为正有理数和正无理数;正有理数 分为正整数和正分数。负实数分为负有理数和负无理数;负有理数分为负整数和负分数。 注:对实数进行分类时,可以有不同的方法,但要按同一标准,做到不重不漏。π 也是无理 数。 2、实数的性质(重点) :有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。 (1) a 与 b 互为相反数 ? a ? b ? 0 ,且互为相反数的两个数的绝对值相等。 (2) 与 b 互为倒数 ? ab ? 1 ,正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,零没有倒数。 (3)绝对值的非负性: a ? 0 3、比较两个实数的大小:做差法;平方法;取近似值法;倒数法 在数轴上,右边的数总比左边的数大;正数大于负数;正数大于 0;负数小于 0;两个负数 相比较,绝对值大的反而小。 4、实数的四则运算及化简
3

(1)有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用(交换律、结合律、分配律) (2)化简遵循无理数的化简原则,一直化为最简的为止。

例 1、把下列各数按要求分别填入相应的集合内: 2 ,

1 , 7 , 9 ,π ,0.373773773773?, 4

5 3 , 2 ,- 5 ,- 3 8 ,0, 3 5 中, 2
有理数集合: 无理数集合: 正数集合: 负数集合: 例 2、(1) ?

2 的相反数是 2

,倒数是 .

,绝对值是

.

(2) 在数轴上离原点距离是 5 的点表示的数是 (3) ? 125 的立方根是 , ? 8 的立方根是 . 数;负数的立方根是 数;0 的立方根是 例 3、比较下列各组数的大小: (1) ? 3 ? 1 与 ? 5 ? 1

,0 的立方根是

。正数的立方根是

(2) 3 5 与 2 11

(3) 11 ? 13 与 10 ? 14

(4) ?

1 2 2

与?

1 4

例 4、计算下列各式 (1)

3? 8 6

(2) ( 3 ? 2 )( 3 ? 2 )

2 2 2 2 2 2 (3) (?4) ? 3 ? 8 ? 6 ? 13 ? 5

(4) (

3?

2 ) 2 (5 ? 2 6 )

例 5、若 y= 2 ? x ?

x ? 2 ? 1, 则 x y 是多少?
3

1、填空题 (1)在数轴上表示与 3 的点距离最近的整数点表示的数是 (2)已知数轴上两点 A、B 到原点的距离分别是 2 和 2 ,则 A ? B ? (3)若 x ? 3 ? y ? 。 。

3 ? 0 ,则 ( xy) 2001 ? 3




(4)计算: 18 ? ( 2 ? 1) = 值范围为 2、比较下列各组数大小 ⑴ 140 12 ⑵ .

★(5)已知 ?ABC 的三边长为 a , b, c ,且 a和b 满足 a ? 1 ? b ? 4b ? 4 ? 0 ,则 c 的取
2

5 ?1 2

0.5
n

⑶?

3.14

3、已知 m, n 为实数,且 m ? 3 ? n ? 2 ? 0 ,求 m

4、已知 2 ? x ? 1 ? y ? 0 ,且 x ? y ? y ? x ,求 x ? y 的值.

一、填空题 1、一个的算术平方根是 8,则这个的立方根的相反数是 2、若 x ? 64 ,则
2

.

3

x?
=

. ;绝对值是 ; (2) 3 ? ? =
3 3

3、 2 - 3 的相反数是 4、化简(1) 2 ? 5

. . .

5、若 a , b 互为相反数, c , d 互为倒数,则 a ? b ? 3 cd ? 6、比较大小:(1) 7 6 8、已知 x ? 5 ? 二、解答题 1、已知 x、y 为实数,且 y ?

6 7 ; (2)1 ? 5


1? 3 ;

7、已知 x ? 1 ? 1 ? x 有意义,则 x 的平方根为

y ? 6 ? ( z ? 8) 2 ? 0 ,求 3x ? y ? z ? 1 的值__________。 2006 9、若 a ? b ? 1 与 a ? 2b ? 4 互为相反数,则 (a ? b) = 。
x ? 9 ? 9 ? x ? 4 .求 x ? y 的值.

3

三、计算题 (1) ? 3 ?

1 27

(2) ( 8 ? 13)( 8 ? 13)

(3) (5 ? 3) 2 ? (1 ? 3)( 3 ? 8)

专题六

最简二次根式及分母有理化

1、二次根式的重要性质 :

2 注 1:式子中 a ? a 中的 a 可以取任意实数,同时注意与 ( a ) 2 ? a 的区别。

注 2:

中 a 既可以是单个数字,单个字母,单项式,也可以是可进行因式分解的

多项式,等等,总之它是一个整体概念。 2、最简二次根式的概念:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式:①被开方数 的因数是整数,因式是整式; ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 3、同类二次根式的概念:几个二次根式化为最简二次根式以后,如果被开方数相同,则这 几个二次根式成为同类二次根式 4、分母有理化的概念:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 5、有理化因式的概念:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式, 就说这两个代数式互为有理化因式。 注:二次根式的有理化因式不是唯一的,它们可以相差一个倍数。 6 、熟记一些常见的有理化因式:

a 的有理化因式是 a ; a ? n b 的有理化因式是

a?n b ; 的有理化因式是 a ? b ; m a ?n b 的有理化因式是 3 3 m a ? n b ; a ? b 的有理化因式是 3 a 2 ? 3 ab ? 3 b 2 。

例 1、填空题 1、当 _________时, ;

2、当

时,

,当

时,



3

3、若 (a ? 1) 2 ? 1 ? a ,则 4、 当 时,

________; ;

a ( 2a ) 2

?

5、当 a+2<0 时, a 2 ? 4a ? 4 的化简结果是 6、 8



m3 化为最简二次根式是 n2




例 2、选择题 (1)如果 ? x 2 ? x 成立,那么( (A)x=0 (A) (C) (B)x<0 (2) 下列各式中正确的是( ) (B) (D) (C)x≥0 (D)x≤0

a2 ?1 ? a ?1

(a ? b) 2 ? a ? b

a ? b ab 4 b a ? a2
) (C) 2 与 8 (D) 3 与 6
2

(3)下列各组中,是同类二次根式的是( (A) 2 与 6 例 3、 (1)化简 32a
2

(B 3 与 9 ( )

(2)若 1≤a≤2,化简 a ? 2a ? 1 ? a ? 2

(3)化简 x 2 ? 8x ? 16 ? x 2 ? 2x ? 1

( ? 4 <x<1)

例 4、将下列各式分母有理化。 (1) (2) (3) (4)

例5、化简下列各式 (1) (2)

(3)

a?b a? b

(4)

2 x ?2 y 2 x?2 y

(5)

(6)

3

例6、已知

,求

的值。

一、填空题 1、 当 _________时, ( a ) 2 ? a 成立。
2 2、 ( x ? 2) ? 2 3、若 a > c ,则 (c ? a ) ?

4、若 a >

4 ,则 ( 3a ? 4 ) 2 ? 3
2

5、若 a <0,则 2a ? a ? 3 a ? 二、选择题 ★1、若 24n 是整数,则正整数 n 的最小值为( A、3
2



B、4

C、5

D、6 ) D、6 ) D、0 和 9
2

2、 ( 3 ? 5) ? 1 ? 3 化简的结果为( A、4 A、0 三、化简题 1、若 a < b <0, 请化简: ? a ? b ? 2 (a ? b) B、 2 3 ? 6 B、1

C、 6 ? 2 3 C、9

3、若 a ? 9 ? n (n ? 0) 是整数,则 a 的值是(

2、实数 a,b 在数轴上所对应的点的位置如图(1)所示,化简 b ? a ? ( a ? b)

2

图(1)
2 ★3、已知 a 、 b 、 c 为△ABC 的三边长,请化简 (a ? b ? c) ? (c ? a ? b) 。 2

4、将下列各式分母有理化 (1)

2 3? 3

(2)

3? 2 2 3? 2 2
3

(3)

1? b 1? b

(b ? 1)

(4) x

2

y 8x3

(5)

a?b a ?b

(6)

7?a ? b ? a?b

5、化简下列各式。 (1)

5 24

(2)

3m 6m

(3)

1 2? 3

(4)

1 1 1 ? 2 6

6、已知 x ? (1)

5 ? 3 , y ? 5 ? 3 ,求下列各式的值。
(2)

1 x

y x ? x y

(3) xy

一、选择题 1、 A. a?1 2、把

1 1 成立的条件是: ( ? a? ? ?a?
2

) D. a? 1

B. a? 1

C. a? 1 )

2 化成最简二次根式结果为: ( 27
2
B.

A.

2 9
2

3 3

C.

6 9

D. )

3 9

3、已知 t<1,化简 1 得: ( ?? t t? 2 t? 1 A. 2 ? 2 t B. 2t
2

C.2 ) B. D.
2 07 . ? ?07 . ?? 2

D.0

4、下列各式中,正确的是: (

? ? C. ?? 7 ? ?7
2

7 A. ? 7 ??
2

0 . 7 . 7 ?? ? ?0

二、指出下列各组中,哪些数是最简二次根式,哪几个数又是一组同类二次根式?

2 、 27 、 3 、 125 、 8 、 5 、 6 、 18 、 12
1、找出下列各式的有理化因式。 (1) 2 3 ? 1 (4) a ? a ? 1
2

(2) a ? a ? 1 (5) 3a ? a

(3) a b ? b a

3

2、将下列各式分母有理化。 (1) ( x x ? y y ) ? ( x ?

y)

(2)

1 1? 2 ? 3

(3)

2? 3? 5 2? 3? 5

(4) 1

1 1 ? ? 3 2 6

3、解答题。 已知 x ? (1)

2 ? 2 , y ? 2 ? 2 ,求下列各式的值。
(2) x ? xy ? y
2 2

1 y

专题七

非负数的性质及应用

1、二次根式的基本性质(式子 a ?a ? 0? 叫做二次根式)
2 ? ? 对于非负数a, 有 a ? a ? a?a ? 0 ? (1) ? ? , 则 a 2 ? a ? ? 0?a ? 0 ? ? ?对于任意实数 ?? a?a ? 0 ? ? (2)若 a>b>0,则 a ? b 。

? ?

2、最简二次根式 要满足下列条件的根式是最简二次根式: (1)被开方数的每一个因式的指数是 1。 (2)被开方数不含有分母。 3、二次根式运算法则

a * b ?a ? 0,b ? 0? ; a a (2) ?a ? 0,b ? 0?; ? b n b n (3) a ? a ?a ? 0 ? ; a ? 4 a ?a ? 0 ? ; (4) 4、复合二次根式 a ? 2 b 的化简:
(1) ab ?

? ?

设法找到两个正数 x,y(x>y) ,使 x+y=a,x?y=b,则

? x? y 2 5、非负数的三种形式:绝对值 a 、平方项 a 、算术平方根 a ?a ? 0? 。
3

a?2 b ?

?

x? y

?

2

例 1、已知 x ? y ? 5 ? 2 x ? y ? 4 ? c ,求 y 的值。
x

2 例 2、已知 a ? b ? 2 3 ? a ? b ? 2 2 ? c ,求

?

?

b 的值。 a

例 3、化简 a ? 2 ? a ? 3 。

例 4、已知 a、b 为实数,且满足 1 ? a ? ?b ? 1? 1 ? b ? 0 ,则 a

2004

? b 2004 的值是多少?

例 5、 若实数 a,b,c 满足 a ? 2b ? 2 ,且 ab ?

bc 3 2 1 c ? ? c ,则 的值为多少? a 2 4

例 6、若 u,v 满足 v ?

2u ? v v ? 2u 3 ? ? ,求 u 2 ? uv ? v 2 的值。 4u ? 3v 4u ? 3v 2

例 7、 设 a ? b ,化简根式 2 ab ? a ? b 。

3

例 8、化简 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 。

一、选择题。 1.已知 x,y 是实数, 3x ? 4 ? y 2 ? y ? 9 ? 0 ,若 axy ? 3x ? y 则实数 a 的值是( A. )

1 4

B. ?

1 4

C.

7 4


D. ?

7 4

2.实数 a 满足 a ? a ? 0 ,则 a 是( A.零或负 B.非负数

C.非零实数

D.负数 )

3.如果 x ? 1 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( A.大于零
2

B.等于零

C.不小于 1

D.大于 1 )

4. ? ? x ? 1? 是一个实数, 则 x 可取值的个数为 ( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个

5.已知实数 x、y 满足 x ? 2 ? A.0 B.5

x ? y ? 5 ? 0 ,则 ? x 4 ? y 2 的值是(
D.-5 )



C.2

6.若 a,b 是实数,且

?ab ?2

? b ? a ,则 a 与 b 的大小关系是(

A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b 7.若 a、b 是实数,则下列命题正确的是( )
2 2 A.若 a ? b ,则 a ? b

B. 若a ? b , 则a ? b
2

2

C.若 a ? b ,则 a ? b 二、填空题。 1.若 2 ? x ?

2 2 D. 若a ? b , 则a ? b

x ? 2 有意义,则 x=

。 。 。 。 。
3

2.若两个实数 x 和 y 互为倒数,则 xy= 3. 1

9 的算术平方根的倒数的相反数是 16
3 ? 11 ? ? 3 的结果是
63 ? 8 ? 63 的值是

4.化简

5.代数式 8 ?

6. 6 ? 35 ? 6 ? 35 的值为 7.若 y ? x=



2x ? 5 ? 10 ? 4x ? 10, 则
,y= 。 。

8.若 a 与它的绝对值的和为零,则 a 2 ? 3 a 3 ? 9.等式 a 2 b ? ?a b 成立的条件是 。

a2 ?1 ? 1? a2 ? a 1、若 a、b 为实数,且 b= ,求 a ? b ?3 的值 。 a ?1

2.化简 a ? 4 ? a ? 1 。

专题八

二次根式的复习

1、二次根式的乘法法则 : 数相乘,根指数不变. 2、二次根式的除法法则: 除,根指数不变。 3、分母有理化和有理化因式的概念(同上一讲) 。 (

.即:两个二次根式相乘,被开方

)即:两个二次根式相除,被开方数相

4、熟记一些常见的有理化因式: a 的有理化因式是 a ; a ? n b 的有理化因式是

a?n b ;

的有理化因式是 a ? b ; m a ? n b 的有理化因式是

m a ? n b ; 3 a ? 3 b 的有理化因式是 3 a 2 ? 3 ab ? 3 b 2 ) 。

3

例 1、填空题 (1)等式 x2 ? 1 ? (2)计算: (1) 16 (3) 56 ?
14
x ?1 ? x ? 1 成立的条件是

. .

25 ?
1 . 5 3 ? 0 . 1 7

; (?15) ? (?27) ? .



例 2、化简: (1) 27a3b2 = (3) ; (2) 24a ? 18a3 ? ; (4) .

36 y = 49 x 2
a

3 2 27


?

.

例 3、 (1)把 18 化简的结果应是( A.

3 3 2 B. 2a a a

C. 3a 2a

D. )

2 3a a

(2)下列计算中,正确的是( A. 5 C.

3 5 ? 3 4 4
1 9 1 3 17 ? ? ? ? 16 25 4 5 20

B. D.

9

5 5 3 ?3 ? 35 7 7 7

482 ? 322 ? (48 ? 32)(48 ? 32) ? 16 5


(3)如果 a3 ? 2a2 ? ?a a ? 2 ,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 0 B. 0 ? a ? 2 C. ?2 ? a ? 0 ) D. a ? ?2

(4)下列二次根式中,最简二次根式是( A.

12

B.

x?2

C.

3 2

D.

4a3b2

例 4、将下列各式分母有理化 (1)

6 2 3? 6

(2)

a b ?b a ab

例 5、计算下列各式。 (1)

1? 3 1 2? 3 ? ? 2 2? 3 2 3 ?2

(2) ? 2 a 4b ? 3a 2b3 ? 2ab

3

例 6、已知 x ?

2 2? 3? 5

,y ?

2 2? 3? 5

,求

x 2y2 的值 x 2 ? 2xy ? y 2

1、 填空题 (1) 4a2b3 ? ;

x4 ? x2 y ?
,化简为 。 。

(2)写出 8 的一个同类二次根式 (3) 2 3 ? 3 2 的一个有理化因式是 (4) 3 ? 2

27 ? 4



1 ? 3 1.5 ? 5

2、将下列各式分母有理化。 (1)

2 2? 3

(2)

a ? a ?1 a ? a ?1

3、计算下列各式。 (1) 1

2 1 ? 3 3

(2)

1 18( a ? 2)3 a?2

4、先化简后求值: 已知: x ? 1.69, 求 2 x
2

1 ? 3 x3 ? 4 x3 的值。 x

3

1、计算下列各式

(1)

3? 5 15

(2) 18 ? (3 2 ? 2 2)

(3) ?

1 6ab ? 3 3b 3 a 3

(4) ?

y x2

x4 y ?

x y

(5)

( 5 ? 3 )( 3 ? 1) 5 ? 2 3 ?1

(6)

a ? 4b a ?2 b

?

a ? b ? 2 ab a ? ab

?(

a b ? ) a b

3


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