当前位置:首页 >> 数学 >>

探究圆锥曲线中的离心率问题


·技巧聚焦·
2 n 2 3, 1 则双曲线离心率e=c = 1+n2 = 2 = . m 3 m 3 m 对于有相同焦 点 的 椭 圆 与 双 曲 线 问 题 , 考虑



山东

黄凤云

2 2 y 其焦距相同 , 将 椭 圆x 的 参 数 a、 b 2 + 2 =1 a b 2

2 以及双曲线x2 -y 的 参 数 m、 n 通过已知条件都 2 =1 m n 用c 表示 , 离心率可得解 .

问题 , 涉及的知识背景多 、 方 法 灵 活, 能够更好地考查 学生的分析能力 、 理解能 力 、 知 识 迁 移 能 力、 解决问题 的能力等 , 越 来 越 多 地 出 现 在 各 类 试 题 中. 以下笔者 1 双曲线与圆相交的离心率问题 总结归纳圆锥曲线离心率的几类求法 .

利用不同的圆锥曲线相交条件下的离心率计算

3 椭圆与抛物线相交的离心率问题
2 设椭 圆 C 与 该 抛 物 线 F2 恰为抛物线 y =4 x 的焦点 , 的一个 交 点 为 A , 若 △A F2F1 是 以 A F1 为 底 边 的 等

例 3 已知椭圆 C 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 、 且 F2 ,

2 2 y x ( >0, 例 1 已知双曲线 C: 的 b>0) 2 - 2 =1 a a b , 右焦点为 F( 以 原 点 为 圆 心, c, 0) c为半径的圆与双

腰三角形 , 则椭圆 C 的离心率为

曲线在第二象限的交点为 A , 若此圆在点 A 处的切线 / 的斜率为 3 则双曲线 C 的离心率为 ( 3, A 3+1; B 6; C 2 3; D ) . 2

设左 焦 点 为 F1 , 由题意k 所以 O A = - 3, 2 π又 所以由余 ∠A O F= , | A O |=| O F |= c, 3

中的c=1, 设椭圆 C 与该抛物线的一个焦点 ( , 为A( 不妨设 在 第 一 象 限) 因 为 △A xA , F2F1 是 yA ) 以A 故| F1 为底边的等腰三角形 , A F2 |=| F1F2 |=2, ) 解 得 xA =1, 又 A( 在 | A F2 |=xA - ( -1 =2, xA , yA ) , , 抛物线 上 , 解得y 即 A( 根据椭圆定义 1, 2) A =2 所 以 a= 2+1, 所以 | A F1 |+| A F2 |=2 2+2=2 a, 椭圆离心率为 2-1. 涉及椭圆与抛 物 线 的 交 点 问 题 , 一般先考虑 标, 通过坐标结合椭圆定义求得 2 离心率可得解 . a, 例4 抛物 线 的 定 义 , 通过定义确定交点 A 的坐 又抛物线 的 准 线 方 程 为 x = -1,根 据 抛 物 线 定 义

. , ) 由题意知抛物 线 焦 点 即 F2 ( 所以椭圆 10 ,

由双曲线定义知| | A F1 |=| O F1 |= c, A F |-| A F1 |= (3-1 ) 所以e=c = 2 = 3+1. c=2 a, a 3-1 本题利 用 圆 在 点 A 处 的 切 线 的 斜 率 确 定 / / 进 而 确 定 ∠A 判 ∠A O F=2 π 3, O F1 =π 3,

2 π 2 2 2 弦定 理 可 得| 又 A F|= c + c -2 c c o s = 3 c. 3 / 所 以 △A 所以 ∠A O F1 =π 3, O F1 为 等 边 三 角 形 ,

4 双曲线与抛物线相交的离心率

断 △A 利用等边三角形的边角关 O F1 为等边三 角 形 , 系以及双曲线定义从而确定离心率 . 2 椭圆与双曲线相交的离心率问题 、 、 焦点相同 , 已知椭圆长轴点 ( 短轴端点( 焦 a, 0) 0, b) 若d 则双曲线的离心率 d d d 3, 1、 2、 3 依次成等 差 数 列 , 为 .
2 2 由c = 1 可 得 a=2 设 c, b= a c = 3 c, a 2 2 2

/ 例2 离 心 率 为 1 2的椭圆 C 1 和双曲线C 2 的

则该双曲线的离心率为 F F ′为直径的圆上 , 如图 1 所示 , 设抛物线
2 c x 的 准 线 为l, y =4 作P 由P Q⊥ l 于 Q, F ′⊥P F, / 并 且 t a n ∠P F F ′ = b a,

2 2 y x 已 知 双 曲 线 C: 的交点为 2 - 2 =1 a b ) 、 ) , 过点 F 且平行于双曲线渐 F( c, 0 F ′( c, 0 c>0, 2 近线的直线与抛物线y =4 若点 P 在以 c x 交于点 P ,

.

) 点( 到双曲线的一条渐近线的距离分别为 d c, 0 d 1、 2、

所 以| | F F ′ |=2 c, P F ′ |=2 a, 由抛物线定义可知 | P F |=2 b,

图1

( , ) , 双曲线方程为x2 -y 取渐近线方 2 =1 m >0 n>0 m n

且 △P 所以 | P Q |=| P F ′ |=2 a, F Q 与 △P F F ′相 似 , | P Q | | P F |, 2 即b 解得e= 5+1. = = a c, | P F | | F F ′ | 2 本题考查了双 曲 线 定 义 、 抛物线定义以及圆

n a , m b , 程为 y= nx, 则d d d 1= 2= 3= 2 2 m m2 + n m2 + n d d n c , 1+ 3 又由 d 可得2 所以 m b=n a+n c, 2= 2 2 2 m + n
1 2

的几何 性 质 等 问 题 , 解 题 时, 根据条件建立 求出离心率的值 . a、 b、 c 的等量关系 , ( 作者单位 : 山东省寿光市现代中学 )


相关文章:
探究圆锥曲线中离心率的问题
戴氏教育集团蜀西路总校 http://www.daishi-sxl.com/ 探究圆锥曲线中离心率问题离心率圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现,下面给同学们介绍常...
探究圆锥曲线中离心率的问题
探究圆锥曲线中离心率问题离心率圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现,下面给同学们介绍常 用的四种解法。 一、直接求出 a、c,求解 e 已知...
(新人教A版)探究圆锥曲线中离心率的问题
(新人教A版)探究圆锥曲线中离心率问题_数学_高中教育_教育专区。探究圆锥曲线中离心率问题 离心率圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现,下面给...
圆锥曲线离心率问题汇总
圆锥曲线离心率问题汇总_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考圆锥曲线离心率题型...如何研究圆锥曲线离心率... 14页 免费 圆锥曲线中的离心率问题 1页 1下载券...
从离心率看圆锥曲线间的关系
圆锥曲线间的关系. 下面我们从离心率对圆锥曲线形状的影响入手,来研究圆锥曲线间的关系,为了讨论这个问题,我们首 先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这...
例谈圆锥曲线中求离心率的常见问题
圆锥曲线中离心率的常见问题整理者:童继稀 离心率是圆锥曲线一个重要几何...9; 蔡勇全,确定圆锥曲线离心率取值范围的九种策略,中学数学研究 2013年第2期;...
圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率问题的探... 4页 免费 圆锥曲线中有关离心率的... 4页 免费...2页 免费 如何研究圆锥曲线离心率... 14页 7下载券喜欢此文档的还喜欢 ...
圆锥曲线的离心率问题探讨1
圆锥曲线的离心率问题探讨1_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线的离心率问题探讨(...三、课堂探究类型一:利用圆锥曲线定义 x2 y2 ? ? 1(k ? ?1) 的左、右...
怎么求解圆锥曲线离心率问题专题
圆锥曲线的统一定义是按离心率的范围不同,确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物 ...9.数形结合法:解析几何和平面几何都是研究图形性质的,只不过平面几何只限于研究...
圆锥曲线中离心率取值范围的初探
圆锥曲线中离心率取值范围的初探_教学研究_教育专区。圆锥曲线中离心率取值范围的初探 【摘要】范围问题是数学中的一大类问题,在高考试题中占有很大的比重, 圆锥...
更多相关标签:
圆锥曲线的离心率问题 | 圆锥曲线离心率专题 | 圆锥曲线离心率 | 圆锥曲线的离心率 | 圆锥曲线离心率秒杀 | 圆锥曲线离心率的求法 | 圆锥曲线求离心率 | 圆锥曲线离心率范围 |