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探究圆锥曲线中的离心率问题


?技巧聚焦?
2 n 2 3, 1 则双曲线离心率e=c = 1+n2 = 2 = . m 3 m 3 m 对于有相同焦 点 的 椭 圆 与 双 曲 线 问 题 , 考虑

?

山东

黄凤云

2 2 y 其焦距相同 , 将 椭 圆x 的 参 数 a? b 2 + 2 =1 a b 2

2 以及双曲线x2 -y 的 参 数 m? n 通过已知条件都 2 =1 m n 用c 表示 , 离心率可得解 .

问题 , 涉及的知识背景多 ? 方 法 灵 活, 能够更好地考查 学生的分析能力 ? 理解能 力 ? 知 识 迁 移 能 力? 解决问题 的能力等 , 越 来 越 多 地 出 现 在 各 类 试 题 中. 以下笔者 1 双曲线与圆相交的离心率问题 总结归纳圆锥曲线离心率的几类求法 .

利用不同的圆锥曲线相交条件下的离心率计算

3 椭圆与抛物线相交的离心率问题
2 设椭 圆 C 与 该 抛 物 线 F2 恰为抛物线 y =4 x 的焦点 , 的一个 交 点 为 A , 若 ?A F2F1 是 以 A F1 为 底 边 的 等

例 3 已知椭圆 C 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 ? 且 F2 ,

2 2 y x ( >0, 例 1 已知双曲线 C: 的 b>0) 2 - 2 =1 a a b , 右焦点为 F( 以 原 点 为 圆 心, c, 0) c为半径的圆与双

腰三角形 , 则椭圆 C 的离心率为

曲线在第二象限的交点为 A , 若此圆在点 A 处的切线 / 的斜率为 3 则双曲线 C 的离心率为 ( 3, A 3+1; B 6; C 2 3; D ) . 2

设左 焦 点 为 F1 , 由题意k 所以 O A = - 3, 2 π又 所以由余 ?A O F= , | A O |=| O F |= c, 3

中的c=1, 设椭圆 C 与该抛物线的一个焦点 ( , 为A( 不妨设 在 第 一 象 限) 因 为 ?A xA , F2F1 是 yA ) 以A 故| F1 为底边的等腰三角形 , A F2 |=| F1F2 |=2, ) 解 得 xA =1, 又 A( 在 | A F2 |=xA - ( -1 =2, xA , yA ) , , 抛物线 上 , 解得y 即 A( 根据椭圆定义 1, 2) A =2 所 以 a= 2+1, 所以 | A F1 |+| A F2 |=2 2+2=2 a, 椭圆离心率为 2-1. 涉及椭圆与抛 物 线 的 交 点 问 题 , 一般先考虑 标, 通过坐标结合椭圆定义求得 2 离心率可得解 . a, 例4 抛物 线 的 定 义 , 通过定义确定交点 A 的坐 又抛物线 的 准 线 方 程 为 x = -1,根 据 抛 物 线 定 义

. , ) 由题意知抛物 线 焦 点 即 F2 ( 所以椭圆 10 ,

由双曲线定义知| | A F1 |=| O F1 |= c, A F |-| A F1 |= (3-1 ) 所以e=c = 2 = 3+1. c=2 a, a 3-1 本题利 用 圆 在 点 A 处 的 切 线 的 斜 率 确 定 / / 进 而 确 定 ?A 判 ?A O F=2 π 3, O F1 =π 3,

2 π 2 2 2 弦定 理 可 得| 又 A F|= c + c -2 c c o s = 3 c. 3 / 所 以 ?A 所以 ?A O F1 =π 3, O F1 为 等 边 三 角 形 ,

4 双曲线与抛物线相交的离心率

断 ?A 利用等边三角形的边角关 O F1 为等边三 角 形 , 系以及双曲线定义从而确定离心率 . 2 椭圆与双曲线相交的离心率问题 ? ? 焦点相同 , 已知椭圆长轴点 ( 短轴端点( 焦 a, 0) 0, b) 若d 则双曲线的离心率 d d d 3, 1? 2? 3 依次成等 差 数 列 , 为 .
2 2 由c = 1 可 得 a=2 设 c, b= a c = 3 c, a 2 2 2

/ 例2 离 心 率 为 1 2的椭圆 C 1 和双曲线C 2 的

则该双曲线的离心率为 F F ?为直径的圆上 , 如图 1 所示 , 设抛物线
2 c x 的 准 线 为l, y =4 作P 由P Q? l 于 Q, F ??P F, / 并 且 t a n ?P F F ? = b a,

2 2 y x 已 知 双 曲 线 C: 的交点为 2 - 2 =1 a b ) ? ) , 过点 F 且平行于双曲线渐 F( c, 0 F ?( c, 0 c>0, 2 近线的直线与抛物线y =4 若点 P 在以 c x 交于点 P ,

.

) 点( 到双曲线的一条渐近线的距离分别为 d c, 0 d 1? 2?

所 以| | F F ? |=2 c, P F ? |=2 a, 由抛物线定义可知 | P F |=2 b,

图1

( , ) , 双曲线方程为x2 -y 取渐近线方 2 =1 m >0 n>0 m n

且 ?P 所以 | P Q |=| P F ? |=2 a, F Q 与 ?P F F ?相 似 , | P Q | | P F |, 2 即b 解得e= 5+1. = = a c, | P F | | F F ? | 2 本题考查了双 曲 线 定 义 ? 抛物线定义以及圆

n a , m b , 程为 y= nx, 则d d d 1= 2= 3= 2 2 m m2 + n m2 + n d d n c , 1+ 3 又由 d 可得2 所以 m b=n a+n c, 2= 2 2 2 m + n
1 2

的几何 性 质 等 问 题 , 解 题 时, 根据条件建立 求出离心率的值 . a? b? c 的等量关系 , ( 作者单位 : 山东省寿光市现代中学 )


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