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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(76)


加试模拟训练题(76) (附详细答案) 1 以△ABC 的两边 AB,AC 向外作正方形 ABDE,ACFG。△ABC 的高为 AH。 2 求证:AH,BF,CD 交于一点。 M E G D B A K H C F 3.一次竞赛在 n(>1)轮中共发了 m 枚奖章.第一轮发了 轮正好发了 n 枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮?一共发了 多少奖章? 3.证明:恰好存在一个三角形,其三条边长为连续自然数,而且一个角的大小是另一个角的 两倍. 4.设 ax0 ? by0 为形如 ax ? by ( a, b 不全为零)的整数中最小的正数,证明: ?x, y ? Z , 恒有 ? ax0 ? by0 ? ? ax ? by ? 。 加试模拟训练题(76) 1 以△ABC 的两边 AB, AC 向外作正方形 ABDE, ACFG。 M △ABC 的高为 AH。 求证:AH,BF, CD 交于一点。 证 如图。延长 HA 到 M, 使 AM=BC。连 CM,BM。 E 设 CM 与 BF 交于点 K。 在△ACM 和△BCF 中, AC=CF , AM=BC ,∠ MAC+ ∠ HAC=180 °,∠ HAC+ ∠ D A HCA=90°, 并且∠BCF=90°+∠HCA, 因此∠BCF+∠HAC=180°,∠MAC=∠BCF。 B H 从而△MAC≌△BCF,∠ACM=∠CFB。 所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°, 即 BF 丄 MC。 同理 CD 丄 MB。AH,BF,CD 为△MBC 的 3 条高线,故 AH,BF,CD 三线交于一点。 3.一次竞赛在 n(>1)轮中共发了 m 枚奖章.第一轮发了 G K C F 轮正好发了 n 枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮?一共发了 多少奖章? 【题说】第九届(1967 年)国际数学奥林匹克题 6.本题由匈牙利提供. 即 (m-36) ·6n-1=7n· (n-6) n-1 所以 6 |(n-6) 但 6n-1>n-6 所以 n=6,m=36 3.证明:恰好存在一个三角形,其三条边长为连续自然数,而且一个角的大小是另一个角的 两倍. 【题说】 第十届(1968 年)国际数学奥林匹克题 1.本题由罗马尼亚提供. 【证】 设△ABC 的三边为 n+1,n,n-l(n 为自然数),∠C=2 AD=AB,于是 2AB=AB+AD>BC+CD=BC+AC,所以 AB=n+1. 由△DCA∽△DAB,得 DB·DC=AD2 因 DB=DC+BC=AC+BC=2n-1 所以 AC×(2n-1)=(n+1)2 2 由于 n 不能整除(n+1) .所以 AC=n-1. 由(n-1)(2n-1)=(n+1)2,解得 n=5 4.设 ax0 ? by0 为形如 ax ? by ( a, b 不全为零)的整数中最小的正数,证明: ?x, y ? Z , 恒有 ? ax0 ? by0 ? ? ax ? by ? 。 解析: ?x, y ? Z , ?!q, r ? Z ,使 ax ? by ? ? ax0 ? by0 ? q ? r , 0 ? r ? ? ax0 ? by0 ? 。 若 r ? 0 ,则 0 ? r ? ? ax0 ? by0 ? ,且 r ? a ? x ? x0 q ? ? b ? y ? y0 q ? , 而 x ? x0 q 与 y ? y0 q 均为整数, 故 r 是比 ax0 ? by0 还要小的形如 ax ? by 的正整数。 这与 ax0

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