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三角形中位线--湘教版


三角形的中位线

问题导入
?

仅给一把有刻度的卷尺,能否测出一沙堆底部两端A、 B间的距离?(注意﹕不能直接测量)

·

情景创设
? 怎样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的

两部分能拼成一个平行四边形?

做一做:
?

1。剪一个三角形,记为Δ ABC 2.分别取AB、AC的中点D、E,并连接DE 3.沿DE将Δ ABC剪成两部分,并将Δ ADE绕点E旋转180°得四边形DBCF

想一想:
?

A

四边形DBCF是什么特殊的四边形?为什么? 答:四边形DBCF是平行四边形。 D 由操作可知:Δ ADE与Δ CFE关于点E成中心对称 则CF=AD,∠F=∠ADE 由∠F=∠ADE可得:AB∥CF 又由CF=AD,AD=DB可得:DB=CF B 所以四边形BCFD是平行四边形 理由:一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形

E

F

C

A

读一读:
图中线段DE 是连接Δ ABC两边的 中点D、E所得的线段,称此线段 DE为Δ ABC的中位线
E

三角形中位线的概念

B

C

连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线 想一想:
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么? 答:三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点,另一端是顶点

议一议:
Δ ABC的中位线DE与BC有怎样的位置和数量关系? 为什么? 答:DE∥BC,DE=? BC 通过探索得知:四边形BCFD是平行四边形 则DF∥BC DF=BC 即DE∥BC DE=? DF=? BC
B

A

E

F

三角形中位线的性质: 三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半。
说明 此性质的特点:同一条件下有2个结论
因为DE为Δ ABC的中位线 所以①DE∥BC,②DE=? BC ↓ ↓ 位置关系 数量关系

C

试一试:
你能解决本节课开始提出的问题了吗?
解答:先在沙堆外取一点C, 连接 CA、CB 再取 CA、CB 的中点D、E,并量得D、E间的距 离,假设其大小为 m 则A、B 间的距离为 2m 。 根据是: 三角形 的中位线等于第三边的一半

A

2m m C
E

B

D

例题解析
?

猜一猜:画一个任意四边形,并画出四边的中点,再顺次连
接四边形的中点,得到的四边形的形状是什么?

F G H分别是 A AB CD AD BC的中点,四边形EFGH是 H 平行四边形吗?为什么? E ?解:四边形EFGH是平行四边形 D 连接DB G 因为E、H分别是AB、AD的中点 , B C F 即EH是Δ ABD的中位线 所以EH∥BD,EH=? BD,理由是:三角形的中位线平行于第三 边,并且等于它的一半。
同理可得,FG∥BD FG=? BD 所以EH∥FG,EH=FG 故四边形EFGH是平行四边形,理由是;一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形

?如图,四边形ABCD中,E

议一议:
?顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状?为

什么? 如果将“矩形”改成“菱形”呢?

结论:
⑴顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 ⑵顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形 ⑶顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形

(1)

(2)

(3)

课堂训练
?

A

练一练:1。如图(1)Δ ABC中,
D E

AB=6㎝, AC=8㎝,BC=10㎝, D﹑E﹑F分别是ABACBC的中点 12cm 则Δ DEF的周长是____ , 6cm2 面积是____。 ?2.如图(2)Δ ABC中,DE是 中位线,AF是中线,则DE与 互相平分 AF的关系是____
?3.若顺次连接四边形四边中

B
(1)

c F

C E F B D
(2)

A

点所得的四边形是菱形,则 原四边形( D ) (A)一定是矩形 (C)对角线一定互相垂直

(B)一定是菱形 (D)对角线一定相等

议一议:
?

1.如果顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形,那么 原四边形的两条对角线存在什么关系 ? (两条对角线相等) (两条对角线互相垂直)

?2.上问中的菱形改为矩形呢?

?3.当四边形满足什么条件时,顺次连接它的四边中点

所得的四边形是正方形?

(两条对角线互相垂直且相等)

?

4.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E﹑F分别是AC﹑BD的中点 (1)EF与AD﹑BC的关系如何?为什么? (2)若AD=a,BC=b,求EF的长。

解:(1)AD∥EF∥BC 连接DF并延长DF交BC于G 因为AD∥BC 又AF=FC 所以△ADF≌△CFG(AAS) 所以DF=FG 而DE=EB 所以EF∥ BC
A

,则∠DAF=∠GCF,∠ADF=∠CGF
D

E F

B G C

理由是:三角形的中位线平行于第三边 又AD∥BC 所以AD∥EF∥BC

?

4.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E﹑F分别是AC﹑BD的中点 (1)EF与AD﹑BC的关系如何?为什么? (2)若AD=a,BC=b,求EF的长。
解:(2) 由(1)可知:EF是△DBG的中位线

所以EF=BG=? (BC-GC) 理由是:三角形的中位线 等于第三边的一半。 而GC=AD A 所以EF=? (BC-AD)=? (b-a)
E F

D

B G C

探索研究:
已知:△ABC的周长为a,面积为s,连接各边中点得 △A1B1C1,再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2 ……, 则(1) 第3次连接所得 1 1 s a ,面积=____ 8 64 △A3B3C3的周长=____ (2)第n次连接所得 1 1 △AnBnCn的周长=____,面积=____ s n a
2 4
n

A

?分析:填表
次序
所得三角形 周长 得三角形面 积所

1

2

3

……

n

A1

C


C1 B2

1 2 1 4

a s

1 4 1 16

a s

1 8 1 64

a s

…… ……

1 n 2 1 n 4

a
s
B

A2 B1

C

本课小结
? 1.理解三角形中位线的概念:连接三角形

两边的中点的线段叫做三角形的中位线。 ? 2.掌握三角形中位线的性质:三角形的中 位线平行与第三边,并且等于它的一半。 ? 3.能应用三角形中位线的性质解决有关计算 或说理等问题。

厨艺秀 www.chuyixiu.com 厨艺秀 yrk207utb 厨艺即厨房的艺术,厨师的艺术,做饭的艺术,享受生活的艺术。 其实是一场,建议我使用保守法,但是我拒绝了。我不能接受长期被疾病的阴影所笼罩,依靠物抑制疼痛,不能眼见肉体被缓慢地 推向黑暗之中而无动于衷。如果必须要面对死亡,我情愿有尊严的死去,而不是苟延残喘地将最后一丝希望消磨殆尽。 幸运的是,很成功。死亡的阴影从我的头顶暂时移开。但是并没有完全离我而去,我清楚这种感觉。 肉体其实非常脆弱又记忆深刻,一旦留下创口便难以完全愈合,即使愈合依旧会记住曾经的疼痛。留下的创口,在下雨之前会隐痛, 几年之后依旧如此。 那时我发现,正如你所说的,生活就像泥沙堆积的城堡,随时可能分崩离析,随时可能失去一切。生命并不会对谁格外宽和、仁慈、 怜惜。只是大部分人并不知道,以为这人世美好,时间长久足够挥霍。 只是被蒙蔽了双眼,如果不能看清自己的局限,当然无法看出这时间的骗局。


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