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高中数学中点弦问题的解题方法


高中数学中点弦问题的解题方法
会泽县茚旺高级中学 杨顺武

解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题, 我们称之为圆锥 曲线的中点弦问题。 “中点弦”问题是一类很典型、很重要的问题. 一、方法介绍(解圆锥曲线的中点弦问题的方法有) : 第一种方法:联立消元法即联立直线和圆锥曲线的方程,借助于 一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参

数 法求解。 第二种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐 标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式 作差,得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方 法为“点差法” 。 第三种方法:导数法即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心,按 比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、 椭圆等与弦 AB 中点 M 相切 (如 下图) 。此时缩小的曲线方程如 ?x ? a?2 ? ?x ? b?2 ? ?tR?2 ,

?ta ?2 ?tb?2

x2

?

y2

? 1,

两边对 x 求导,可发现并不改变原方程求导的结果。因此,利用导数 法求中点弦的斜率,就是 y ?x 在中点处的值。
二、题型示例 题型一 以定点为中点的弦所在直线的方程
x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所在直线 例 1、过椭圆 16 4
的方程。

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解法一:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

? M (2,1) 为 AB 的中点

? x1 ? x2 ? 4
2 2

y1 ? y2 ? 2
2 2

? 又 A 、 B 两点在椭圆上,则 x1 ? 4 y1 ? 16, x2 ? 4 y2 ? 16
两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 于是 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
2 2 2 2

?

y1 ? y2 x ?x 4 1 ?? 1 2 ?? ?? x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4? 2 2

1 1 ,故所求直线的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2 2 法二:由题意知所求中点弦斜率一定存在,设为 k ,则该弦方程为 y ? 1 ? k ?x ? 2?
即 k AB ? ?

? y ? 1 ? k ?x ? 2? ? 2 消去 y 得 ?x y2 ? ?1 ? ? 16 4

例 2.已知双曲线方程

,求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在 的直线方程;(2)过点 B(1,1),能否作直线 ,使 与所给双曲线交于 P、Q 两点,且点 B 是弦 PQ 的中点?这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存 在,说明理由。 解:对 两边求导,得

(1)以 A(2,1)为中点的弦的斜率 线方程为

,所以所求中点弦所在直

(2)以 B(1,1)为中点的弦的斜率 线方程为

,所以所求中点弦所在直





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但与双曲线方程 联立消去 y 得 因此直线 与双曲线无交点,所以满足条件的直线 不存在。

, 无实根。

注意:(1)求出的方程只是满足了必要性,还必须验证其充分性,即所求直线 与双曲线确实有两个交点。
例 3.已知直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A,B 两点,那么线段 AB 的中点的坐标 为 .

解析:设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由 ?

?x ? y ? 2
2 ? y ? 4x

得 y 2 ? 4 y ? 8 ? 0 ,从而

y1 ? y2 ? 4, x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 4 ? 8 ,因此,线段 AB 的中点的坐标为 ? 4, 2 ? .
例 4.过圆 O : x ? y ? 4 内一点 M ?1,1? 引一条弦,使弦被 M 平分,求这条弦所在的直线
2 2

方程。 题型二 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例 5.已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 过点 P(1,1)交椭圆 C 于 A、B 两点,求 AB 中点 M 4 3

的轨迹方程。 分析:此题涉及到弦 AB 的中点坐标,且弦的斜率等于 MP 的斜率。故采用“点差法” 。 解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x, y ) ,则
2 2 ? ?3x1 ? 4 y1 ? 12 ? 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ? 2 2 ? 3 x ? 4 y ? 12 2 ?

? 3x ? 4 y ?

y1 ? y 2 y ?1 ? 0 ? 3x ? 4 y ? ? 0 ? 3x( x ? 1) ? 4 y( y ? 1) ? 0 x1 ? x2 x ?1

∵点 P 在椭圆内部,直线 l 与椭圆恒有两个交点,∴点 M 的轨迹方程为:

3x( x ? 1) ? 4 y( y ? 1) ? 0
题型三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例 6.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,试确定的 m 取值范围,使得对于直线 y ? 4 x ? m ,椭圆上总 4 3

有不同的两点关于该直线对称。 解:设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 为椭圆上关于直线 y ? 4 x ? m 的对称两点, P( x, y ) 为弦 P 1P 2 的 中 点 , 则 3x1 ? 4 y1 ? 12 , 3x2 ? 4 y2 ? 12 两 式 相 减 得 ,
2 2 2 2

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3( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0
即 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

2

2

2

2

? x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y , ? y ? 3x

y1 ? y 2 1 ?? x1 ? x2 4

这就是弦 P 1P 2 中点 P 轨迹方程。

它与直线 y ? 4 x ? m 的交点必须在椭圆内

联立 ?

? y ? 3x ? x ? ?m ,得 ? ? y ? 4x ? m ? y ? ?3m

2 则必须满足 y ? 3 ?

3 2 x , 4

2 即 (3m) ? 3 ?

3 2 2 13 2 13 m ,解得 ? ?m? 4 13 13

题型四、证明定值问题

x2 y 2 P是 例 7.已知 AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 不垂直于 x 轴的任意一条弦, a b
AB 的中点, O 为椭圆的中心.求证:直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值.

证明 则

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 且 x1 ? x2 ,

x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1 ? 2 ? 1, , ( 1 ) (2) a 2 b2 a2 b

x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ?1? ? ? 2? 得: 2 ? ? 2 , a b

b2 ? x1 ? x2 ? b2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 y1 ? y2 ,? k AB ? . ? ?? 2 ?? 2 x1 ? x2 x1 ? x2 a ? y1 ? y2 ? a ? y1 ? y2 ?
又 kOP

y1 ? y2 b2 b2 1 ,? k AB ? ? 2 ? ,? k AB ? kOP ? ? 2 (定值). ? a x1 ? x2 a kOP

题型五、求参数的取值范围 例 8. 如 图 , 在 Rt ?D E F 中 , ?DEF ? 90?, | EF |? 2, | EF ? ED |?

5 ,椭圆 C: 2

x2 y2 ? ? 1 ,以 E、F 为焦点且过点 D,点 O 为坐标原点。 a2 b2
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
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(Ⅱ) 若点 K 满足 OK ?

1 ED . ,问是否存在不平行于 EF 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的 3

两点 M、N 且 | MK |?| NK | ,若存在,求出直线 l 的斜率的取值范围,若不存在,说明理由。

解: (Ⅰ)略;

1 x2 y2 ? ? 1 , K (0, ) 2 4 3

y D

(Ⅱ)分析:∵ | MK |?| NK | , 设 MN 的中点为 H,则 KH ? MN ,此条件 涉及到弦 MN 的中点及弦 MN 的斜率,故用“点差法” 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), H ( x0 , y0 ) ,直线 l 的斜率为 k ( k ? 0) , 则 3x1 ? 4 y1 ? 12?①
2 2 2 2 3x2 ? 4 y2 ? 12?② 由①-②得:

E

O

F

x

则 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ? 3x0 ? 4 y0 k ? 0 又∵ | MK |?| NK | ,

KH ? MN ,∴
2 2

y0 ?

1 2 ? k ? ?1 ,从而解得 x ? 2k , y ? ? 3 ,点 H ( x , y ) 在椭圆内, 0 0 0 0 2 x0



x0 y 1 1 1 ? 0 ?1? k2 ? ? ? ? k ? 且k ? 0 4 3 4 2 2
作者简介:杨顺武,男,1969 年 2 月出生,会泽待补人,中学高级教师,国家数学奥林匹克二级教练

员。 92 年 7 月毕业于曲靖师范专科学校数学系数学专业,本科学历,中共党员。论文《数学复习中的纠 错策略》荣获省级一等奖。 《数学解题中的几种常见错误》荣获省级一等奖。 《圆锥曲线中的四心》荣获省 级二等奖。以上三篇论文的授奖单位均为云南省教育科学院; 《培养学生直觉思维能力的策略》荣获《云南 和谐教育论文》评优竞赛二等奖。 《谈高考数学规范化解题》荣获《云南和谐教育论文》评优竞赛一等奖。 论文《谈高考数学规范化解题》发表在《云南省教育教学论文精选》一书中。论文《球的切接问题的解题 方法》发表在考试指南报 2013 年第 332 期第 6 版上。教育教学中努力做到了自我教育,自我约束,主动研 究,自我提高,完善自我。做到处处关心爱护学生,和学生建立“忘年交” ,与他们做心心相印的朋友,建 立了美好和谐的师生感情。

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