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高考数学第一轮复习单元试卷18极限


第十八单元 第十八单元
一.选择题: 选择题: 1. lim
x → 3

极限
( )

x+3 = x2 9 1 A. 6

B.0

C.

1 6

D.

1 3

2.用数学归

纳法证 "1

1 1 1 1 1 1 1 1 + ++ = + ++ (n ∈ N * )" 的 2 3 4 2n 1 2 n n + 1 n + 2 2n
( C. )

过程中,当 n=k 到 n=k+1 时,左边所增加的项为

1 2k + 2 1 1 D. 或 k +1 k +1
A.

B.

1 2k + 1

1 1 2 k + 1 2k + 2

3.已知两点 O(0,0) ,Q( a ,b),点 P1 是线段 OQ 的中点,点 P2 是线段 QP1 的中点,P3 是 线段 P1P2 的中点,┅, Pn + 2 是线段 Pn Pn +1 的中点,则点 Pn 的极限位置应是 A. ( 4. 若 f(x)= ( )

a b , ) 2 2
10x 5 7-x

B.(

a b , ) 3 3

C.(

2a 2b , ) 3 3

D. (

3a 3b , ) 4 4
( )

x>1 x=1 x<1 B. 6 则 lim f (x ) 的值为
x →1

A. 5

C. 10

D. 不存在 ( )

x3 + 3 5. lim 的值为 x →∞ 2 x 3 + x 2 + 1
A.

1 2

B. 不存在

C. 3

D. 0 ( )

6. lim

x → +∞

x ( x + 1 x 1) 的值为
B. 不存在 C.

A. 0 7. lim

n→∞

1+ 2 + 3 ++ n = n2
B.4 C.

1 2

D. 1 ( )

A.2

1 2

D.0

8.若 f(x)在[a,b]上连续且单调递减,又 f(x)在[a,b]上的值域为[m,n],则下列正确的
1

是 A. lim f ( x ) = n +
x →a

( B. lim f ( x ) = m
x →a

)

C. lim f ( x ) = m +
x →b

D. lim f ( x ) = n
x →b

9. f(x)在 x0 处连续,是 f(x0)有定义的__________条件 A.充分不必要 B. 充要 C. 必要不充分 10. 若 lim
x →1

( ) D. 既不充分也不必要 ( )

f ( x 1) x 1 = 1, 则 lim = x →1 f ( 2 2 x ) x 1
B.1 C.-

A.-1 二.填空题: 填空题:

1 2

D.

1 2

1 1 1 , , ,……所有项和为___________. 2 4 8 1 1 1 1 12. lim (1 2 )(1 2 )(1 2 ) … (1 2 ) =_______________. n →∞ 2 3 4 n
11.等比数列 1, 13.若 lim
x → 1

x 2 + 3x + m = n ,则 m=__________,n=__________. x +1 x 2 + 3x + 4 ax + b) = 2 , 则 a=_________,b=_________. x +1

14.若 lim (
x →∞

三.解答题: 解答题: 15.用数学归纳法证明: x 2 n 1 y 2 n 1 能被 x -y 整除. (n ∈ N * )

2

16.已知 a1 =

1 2 ,且 S n = n an 2

(n ∈ N * )

(1) 求 a 2 , a3 , a 4 (2) 猜测{ a n }的通项公式,并用数学归纳法证明之.

17.讨论 lim
n →∞

1 2a n 的值. 2 + an

(a ≠ 1, n ∈ N * )

3

18.自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生 * 能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N ,且 x1 2 >0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c. (Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变? (不要求证明) * (Ⅲ)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N ,则捕捞强度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论.

4

参考答案 一、选择题: 1、A [解析]: lim 2、C [解析]: 当 n=k 到 n=k+1 时,左边增加了两项

x+3 1 1 = lim = 2 x → 3 x 9 x → 3 x 3 6

1 1 1 , ,减少了一项 , 2k + 1 2k + 2 k +1 1 1 1 1 1 左边所增加的项为 + - = 2k + 1 2k + 2 k + 1 2 k + 1 2k + 2

3、C [解析]: ∵点 Pn 的位置应是(

a a a a b b b b + + , + + ) 2 4 8 16 2 4 8 16 2a 2b ∴点 Pn 的极限位置应是( , ) 3 3

4、B [解析]: lim f (x ) = lim (7 x ) = 6
x →1 x →1

5、A

x3 + 3 [解析]: lim = lim x →∞ 2 x 3 + x 2 + 1 x →∞
6、D [解析]: lim

1+ 2+

3 x3

1 1 + x x3

=

1 2

x → +∞

x ( x + 1 x 1) = lim

x [( x + 1) ( x 1)] x +1 + x 1

x → +∞

= lim

2 1 1 1+ 1 x x

x → +∞

=1

7、C

n(n + 1) 1+ 2 + 3 ++ n 1 2 [解析]: lim = lim = 2 2 n→∞ n→∞ 2 n n
8、A [解析]: 若 f(x)在[a,b]上连续且单调递减,又 f(x)在[a,b]上的值域为[m,n], 则 f(a)=n,f(b)=m,而 lim f (x ) = f(a) +
x →a

5

故 lim f ( x ) = n +
x →a

9、A [解析]: f(x)在 x0 处连续,是 f(x0)有定义充分不必要的条件 10、C [解析]: 若 lim
x →1

f ( x 1) x 1 1 2 2x 1 1 = 1, 则 lim = lim = ×1 = x →1 f ( 2 2 x ) x →1 f ( 2 2 x ) x 1 2 2 2

二、填空题: 11、2 [解析]: 等比数列 1,

1 1 1 1 , , ,……所有项和为 =2 1 2 4 8 1 2

12、

1 2 1 1 1 1 )(1 2 )(1 2 ) … (1 2 ) 2 n →∞ 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 = lim (1 )(1 + )(1 )(1 + )(1 )(1 + ) (1 )(1 + ) n→∞ 2 2 3 3 4 4 n n 1 1 = lim (1 + ) n→∞ 2 n 1 = 2
x 2 + 3x + m = n , 则 x 2 + 3 x + m = ( x + 1)( x + m) x +1
∴m = 2 ∴ lim

[解析]: lim (1

13、2;1 [解析]: 若 lim

x → 1

x → 1

x 2 + 3x + m = lim ( x + 2) = 1 ∴ n = 1 x → 1 x +1

14、1;0 [解析]: ∵ lim (
x →∞

x 2 + 3x + 4 (a 1) x 2 + (3 a b) x + (4 b) ax + b) = lim x →∞ x +1 x +1 x 2 + 3x + 4 ax + b) = 2 x +1

又 lim (
x →∞

∴ a = 1, b = 0
6

三、解答题: 15、证①当 n=1 时,结论显然成立. 2k-1 2k-1 ②假设当 n=k 时结论成立,即 x -y 能被 x-y 整除 则当 n=k+1 时, 2k+1 2k+1 2 2k-1 2 2k-1 2 2k-1 2 2k-1 2 2k-1 2 2k-1 2 2k-1 2k-1 2 2 2k-1 x -y = x x -y y = x x -x y +x y -y y = x (x -y )+ (x -y )y 2k+1 2k+1 ∴x -y 也能被 x-y 整除 故当 n=k+1 时结论也成立. 2n-1 2n-1 由①、②可知,对于任意的 n∈N*, x -y 能被 x-y 整除 16、解: ∵ S n = n a n , ∴ a n +1 = S n +1 S n = ( n + 1) a n +1 n a n
2 2 2

n an n+2 1 1 1 ∴(1) a 2 = , a3 = , a4 = 6 12 20
∴ a n +1 = (2) 猜测 a n =

1 ;下面用数学归纳法证 n(n + 1)

①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 a k =

1 k (k + 1)

则当 n=k+1 时, a k +1 =

k k 1 1 ak = × = k +2 k + 2 k (k + 1) (k + 1)(k + 2)

故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 a n = 1 (|a|<1) (a=1)

1 n(n + 1)

1 2a n 17、解: lim = n →∞ 2 + a n

-

1 3

-2 (|a|>1) 18、解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此x n +1 x n = ax n bx n cx n , n ∈ N * .(*)

即x n +1 = x n (a b + 1 cx n ), n ∈ N * .(**)
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

7

x n (a b cx n )恒等于0, n ∈ N *, 所以a b cx1 = 0.即x1 =
因为 x1>0,所以 a>b. 猜测:当且仅当 a>b,且 x1 =

a b . c

ab 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ∈ (0,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 2 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1) +1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允许 值是 1.

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