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山东省潍坊市2013-2014学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科)


山东省潍坊市 2013-2014 学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 命题“ ?x ? R

, e ? x ”的否定是
x 2

A. ?x ? R ,使得 e ? x
x

2

B. ?x ? R ,使得 e ? x
x

2

C. ?x ? R ,使得 e ? x
x

2

D. 不存在 x ? R ,使得 e ? x
x

2

2. 命题“若 x=3,则 x2-2x-3=0”的逆否命题是 A. 若 x≠3,则 x2-2x-3≠0 C. 若 x2-2x-3≠0,则 x≠3 3. 抛物线 y ? A. ( B. 若 x=3,则 x2-2x-3≠0 D. 若 x2-2x-3≠0,则 x=3

1 2 x 的焦点坐标是 4
B. (1,0) C. ( ?

1 , 0) 16

1 , 0) 16

D. (0,1)

4. 公比为

1 的等比数列 ? an ? 的各项都是正数,且 a4 a6 ? 16 ,则 a7 ? 2
B. 1 C. 2 D. 4

A.

1 2

5. 已知

1 1 的是 ? ? 0 ,则下列结论错误 .. a b
2 2

A. a ? b 6. “

B. ab ? b

2

C.

b a ? ?2 a b

D. lg a ? lg ab
2

1 1 ? 2 ”是“ x ? ”的 x 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

7. 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 2a cos 形状为 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形
1

B ? a ? c ,则△ABC 的 2

D. 等腰直角三角形

8. 已知数列 an ? A.

1 4n 2 ? 1 18 19

(n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的前 10 项和为
C.

20 21

B.

10 21

D.

9 19

?x ? y ? 0 ? 9. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 0 ( a为常数) 表示平面区域的面积为 9,则 ?x ? a ?

y?2 的最小值为 x?4
A. -1 B.

2 7

C.

1 7

D. -

5 7

10. 已知 x>0,y>0,且 x ? y ? xy ? 2 ,则 x y 的最大值为 A. 1 ? 3 B.

3 ?1

C. 4 ? 2 3

D. 4 ? 2 3

11. 设数列 ? an ? 满足 a1 ? A. 1 ?

a a2 a3 1 ? ? ? n ? 1 ? n ,则 an ? 2 3 n 2
C.

1 2n

B.

1 2
n ?3

1 2n

D.

n 2n

x2 y2 12. 已知 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)右支上一点,F1 、F2 分别是双曲线的左、 a b
右焦点,I 为△P F1 F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? A. 4 B.

2 S?IF1F2 成立,则该双曲线的离心率为 2

2

C. 2

D. 2 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 等差数列 ? an ? 的前 n 项和是 Sn,若 S14>0,S15<0,则当 n 为 取最大值。 14. 已知双曲线 时,Sn

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴 a 2 b2


长,则该双曲线的渐近线方程为

15. 小明以每分钟 20 6 米的速度向东行走,他在 A 处看到一电视塔 B 在北偏东 30°, 行走 1 小时后,到达 C 处,看到这个电视塔在北偏西 15°,则此时小明与电视塔的距离为 米。

2

16. 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b 的最小值为 0,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为
2 2

(t,t+4),则实数 c 的值为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知 A(1,2,0),B(0,4,0),C(2,3,3)。 (Ⅰ)求 cos AB, AC 。 (Ⅱ)当 ? 为何值时, AB 与 AB ? ? AC 垂直?

18. (本小题满分 12 分) 已知 m ? R ,设命题 p:关于 x 的不等式 m x ? (1 ? m) x ? (m ? 1) ? 0 ,对任意实数 x
2

都成立;命题 q:直线 y ? 2 x ? m 与抛物线 y ? 4 x 有两个不同的交点。若命题“ ?p ? q ”
2

为真命题,求 m 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (2a ? b) cos C ? c cos B ? 0 , (Ⅰ)求 ?C ; (Ⅱ)若 a、b、c 成等差数列,b=5,求△ABC 的面积。

20. (本小题满分 12 分)

1 , S4 成等比数列, 设 ? an ? 是递增等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1 ? 1 ,且 S2 , a4 +
数列 ?bn ? 满足 an ? 2log3 bn ? 1(n ? N ? ) 。 (Ⅰ)求数列 ? an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

an (n ? N ? ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn bn
3

21. (本小题满分 12 分) 为保护环境,绿色出行,某市今年年初成立自行车租赁公司,初期投入为 72 万元,建 成后每年的总收入为 50 万元,该公司第 n 年需要付出的维护和工人工资等费用为 an 万元, 已知 ? an ? 为等差数列,相关信息如图所示。

(Ⅰ)该公司第几年开始盈利?(即总收入减去成本及所有费用之差为正值) 求 an; (Ⅱ)该公司经营若干年后,处理方案有两种: ①当年平均盈利达到最大值时,以 40 万元的价格出让; ②当盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格出让,问哪一种方案较为合算?请说明 理由。

22. (本小题满分 14 分) 如图,已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 (2,0) a 2 b2

与 x 轴垂直的直线交椭圆于点 M,且 MF2 ? 3 。 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)已知点 P(0,1),问是否存在直线 l 与椭圆交于不同两点 A、B,且 AB 的垂 直平分线恰好经过 P 点?若存在,求出直线 l 斜率的取值范围;若不存在,请说明理由。

4

5

【试题答案】
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) ACDBB BACDC DB

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 7 14. 2 x ? y ? 0 15. 3600 16. 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) AB ? (?1, 2, 0), AC ? (1,1,3)

??? ?

????

2分 5分

??? ? ???? ??? ? ???? ? AB ? 5 , AC ? 11 , AB ? AC ? ?1 ? 2 ? 1 ,

??? ? ???? ? cos AB ? AC ?
??? ? ????

1 55 ? 。 55 5 ? 11

(Ⅱ) AB ? ? AC ? (?1, 2, 0) ? ? (1,1,3)

? (? ? 1, ? ? 2, 3? ) , ? ???? ??? ? ??? ? AB 与 AB ? ? AC 垂直。 ??1? (? ? 1) ? 2 ? (? ? 2) ? 0 ? 3? ? 0 ,

8分

10 分

?? ? ?5 ,
? ???? ??? ? ??? ?? ? ?5 时, AB 与 AB ? ? AC 垂直。
18. (本小题满分 12 分) 解:由命题 p 知,关于 x 的不等式 m x ? (1 ? m) x ? (m ? 1) ? 0 对任意实数 x 都成立,
2

12 分

则当 m=0 时,不等式变为 x ? 1 ? 0 ,不合题意。 当 m≠0 时,必须满足 ? 解得: m ? ?

1分 , 3分

?m ? 0
2 ?? ? (1 ? m) ? 4m(m ? 1) ? 0

1 , 3

5分

因此,当 m ? ?

1 1 时,命题“p”是真命题,当 m ? ? 时,“ ?p ”是真命题。 6 分 3 3
2

∵直线 y ? 2 x ? m ①与抛物线 y ? 4 x ②有两个不同的交点, 联立①②,消去 x 得 y ? 2 y ? 2m ? 0 。
2

8分

令 ? ? 4 ? 8m ? 0 ,解得 m ?

1 。 2

6

因此,当 m ?

1 时,q 是真命题。 2

10 分 11 分

∵“ ?p ? q ”为真命题,∴“ ?p ”和“q”都为真命题, 可得 ?

1 1 ?m? , 3 2 1 1 )。 3 2
12 分

∴实数 m 的取值范围是 (? ,

19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由正弦定理

a b c ? ? ? 2R 得 sin A sin B sin C

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
∴ (2a ? b) cos C ? c ? cos B ? 0 可化为 (2sin A ? sin B) ? cos C ? sin C cos B ? 0 即 2sin A cos C ? sin B cos C ? sin C cos B ? 0 , ∴ 2sin A ? cos C ? sin( B ? C ) ? 0 。 即 2sin A cos C ? ? sin( B ? C ) ? ? sin(? ? A) ? ? sin A , ∵ sin A ? 0 ∴ cos C ? ? 4分 2分

1 2

5分

∵0?C ?? , ∴C ?

2 ?。 3

6分 2分

法二:∵在△ABC 中, c cos B ? b cos C ? a , ∴由已知 (2a ? b) cos C ? c cos B ? 0 得,

2a cos C ? b cos C ? c cos B ? 0 ,
即 2a cos C ? a ? 0 , ∴ cos C ? ? 4分 5分

1 。, 2

又∵C 为△ABC 的内角, ∴C ?

2 ?。 3

6分

(Ⅱ)由余弦定理得

2 a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? c 2 ,即 a2 ? b2 ? ab ? c2 , 3
7

7分

又 a ? c ? 2b , b ? 5 , ∴?

? a 2 ? 25 ? 5a ? c 2 ? a ? c ? 10



9分 10 分 12 分

解得 a ? 3 。

S?ABC ?

1 1 2 15 3 。 ab sin C ? ? 3 ? 5sin ? ? 2 2 3 4

20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设 ? an ? 的公差为 d (d ? 0) ,由 S2 , a4 ? 1, a3 成等比数列,得

(a4 ? 1) 2 ? S ? a3 ,即 9d 2 ? (2 ? d )(1 ? 2d ) ,
整理,得 7d ? 5d ? 2 ? 0 ,
2

2分 3分 4分 5分

解得 d ? 1 或 d ? ?

2 (舍去) 7

∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? n ∵ an ? log 3 bn ,∴ bn ? 3
n

6分 7分
n ?1

(Ⅱ)∵ cn ? anbn ? n ? 3 ,
n

∴ Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 3
2 3

? n ? 3n ,①

8分 9分

3Tn ? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n ?1 , ②
①-②得

?2Tn ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? n ? 3n?1

10 分

3(1 ? 3n ) ? ? n ? 3n ?1 1? 3 ? 3n ?1 ? 3 ? n ? 3n ?1 2 (2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 4

∴ Tn ?

21. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)由题意知,每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列,

an ? 12 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 8 ,
设公司第 n 年后开始盈利,盈利为 y 万元,则

2分

y ? 50n ? [12n ?

n(n ? 1) ? 4] ? 72 ? ?2n2 ? 40n ? 72 。 2
8

4分

由 y ? 0 ,得 n2 ? 20n ? 36 ? 0 , 解得 2 ? n ? 18(n ? N ) 。 故 n ? 3 ,即第 3 年开始盈利。 (Ⅱ)①年平均盈利为 6分

y 72 36 36 ? ?2n ? ? 40 ? ?2(n ? ) ? 40 ? ?2 ? 2 n ? ? 40 ? 16 , n n n n
当且仅当 n ?

36 ,即 n ? 6 时,年平均盈利最大。 n
9分

故经过 6 年经营后年平均盈利最大,此时出让,共盈利 16 ? 6 ? 40 ? 136 万元

②? y ? ?2n ? 40n ? 72 ? ?2(n ? 10) ? 128 ,
2 2

?当 n ? 10 时,y 的最大值为 128。
即经过 10 年经营盈利总额最大,此时出让,共盈利 128+8=136 万元。 综上知两种方案获利相等,但方案②时间长,所以方案①合算。 22. (本小题满分 14 分) 11 分 12 分

解:(Ⅰ)连接 MF1 ,在 Rt ?MF1F2 中, F1 F2 ? 4 , MF2 ? 3 , ∴ MF1 ? 5 ∴由椭圆的定义可知 2a ? MF1 ? MF2 ? 8 ,∴ a ? 4 。
2 2 2 又 2c ? F1 F2 ? 4 ,∴ c ? 2 ,从而 b ? a ? c ? 12 ,

1分 2分 3分 4分

∴椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1。 16 12

(Ⅱ)由题意知,若 AB 的垂直平分线恰好经过 P 点,则应有 PA ? PB 。 当 l 与 x 轴垂直时,不满足 PA ? PB , 当 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m 5分

9

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得 ?1 ? ? ?16 12
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 48 ? 0
∵ ? ? 64k m ? 4(3 ? 4k )(4m ? 48) ? 0 ,
2 2 2 2

7分

∴ 16k 2 ? 12 ? m2 ,① 令 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,AB 的中点为 C ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ? ∴ x0 ? ∴C(

8分

?8km 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ?4km 3m , y0 ? kx0 ? m ? , ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
10 分 11 分

?4km 3m , ), 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

∵ PC ? AB ,∴ k PC ? k ? ?1 ,

3m ?1 2 即 3 ? 4k ? k ? ?1 , ?4km 3 ? 4k 2
化简得 m ? ?(4k ? 3) ,
2

12 分
2 2

结合①得 16k ? 12 ? (4k ? 3) ,即 16k ? 8k ? 3 ? 0 ,
2

4

2

解之得 ?

1 1 ?k? 。 2 2 1 1 , ) 2 2
14 分

综上所述,存在满足条件的直线 l,且其斜率 k 的取值范围为 (?

10


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