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2005中国数学奥林匹克第二十届全国中学生数学冬令营


2005 中国数学奥林匹克第二十届全国中学生数学冬令营

1、 给定 θ i∈(-π /2,π /2),i=1,2,3,4。 证明当且仅当 时,存在实数 x 同时满足两个不等式 。 ,

2、 一个圆和△ABC 的三条边分别相交于 D1,D2;E1,E2;F1,F2。另外, 线段 D1E1 和线段 D2F2 相交 于点 L,线段 E1F1

和 E2F2 相交于点 M, 线段 F1D1 和 F2E2 相交于 N。证明三直线 AL,BM,CN 共 点。 3、如图所示(图是由两个同心圆,n 条一端点在圆心,一端点在大圆上的线段组成。注:看不 懂就可通过下文来推敲)圆形的水池被分割为 2n(n≥5)个"格子"。我们把有公共隔墙(公共 边或公共弧)的"格子"称为相邻的, 从而每个格子有三个邻格。 水池中一共跳入 4n+1 只青蛙, 青蛙难于安静共处,只要某个"格子"中有不少于 3 只青蛙,那么迟早一定会有 3 只分别跳往 三个不同邻格。证明:只要经过一段时间之后,青蛙便会在水池中大致分布均匀。 所谓大致分布均匀,就是任取其中一个"格子",或者它里面有青蛙,或者它的 3 个邻格均有 青蛙。

4、已知数列 {an} 满足条件 a1=21/16,及 2an-3an-1=3/2 (其中 n>1)。 设 m 为正整数,m>1,m≥n,证明:[an+3/2 ] *[m-(2/3)
n+3 1/m n(m-1)/m

n+1

]<(m -1)/(m-n+1)。

2

5、在面积为 1 的矩形 ABCD 中(包括边界)有 5 个点,其中任意三点不共线。求以这 5 个点为 顶点的所有三角形中,面积不大于 1/4 的三角形的个数的最小值。 6、求方程 2^x*3^y-5^z*7^w=1 的所有非负整数解。


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