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1.5.1 定积分的概念(一)


新授课 §1.5.1 曲边梯形的面积
知识与技能:通过问题情景,经历求曲边梯形的面积的过程,了 解定积分概念的实际背景。理解求曲面梯形的面积一般步骤。 过程与方法:通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限 逼近的思想。通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想 方法。 情感、态度与价值观:体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证 观点,接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态 度。 重点与难点 重点: “以直代曲” “以不变代变”的思想方法。 难点:对以直代曲、无限逼近思想的理解 提出求曲边梯形面积的问题 回忆求圆的面积的思想方法 得出求曲边梯形面积问题的思想方法 给出解决问题的“四步曲” ,并得到结果 一般曲边梯形(在 x 轴的上方)面积的求法 小结 教学过程: 一、引入 如图, 由直线 x=a, x=b, x 轴, 曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。 y y=f(x)

一体化设计:

O

a

b

x

问题:如何求一个象曲边梯形这样的不规则图形的面积? 准备工作:求和符号、自然数的平方和公式 二、求找解决问题的路径
1

例题:对于由 y=x2 与 x 轴及 x=1 所围成 的面积该怎样求?(该图形为 曲边三角形,是曲边梯形的特殊情况) 1、学生思考 教师 进一步启发 :圆的面积 是如何 计 的? 总结出“以直代曲” “无限逼近”的思想 方法。 2、类比计算圆的面积的方法,能否将求 曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题。 通过类比启发学生思维探求解决问题的路径 三、具体实施方法 (1)分割 在区间[0,1]上等间距地插入 n-1 个分点,将它等分成 n 个小区间, 记第 i 个小区间为 ?

? i ?1 i ? , (i=1,2,3, ? n n? ?

,n) ,其长度为

1 n

分别过上述 n-1 个分点作 x 轴的垂线,把曲这梯形分成 n 个小曲边梯 形,它们的面积记作:

?s1 , ?s2 , ?s3 ,
设: S ?

, ?sn

? ?S
i ?1

n

i

(2)近似代替 当 n 很大时, ?Si ? ?Si ? f (
'

i ?1 i ?1 2 1 )?x ? ( ) n n n

(3)求和

1 2 [1 ? 22 ? 3 n i ?1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? ) 3 n 2n S n ? ? ?Si' ?
从而 S ?

n

? (n ? 1) 2 ]

1 1 1 (1 ? )(1 ? ) 3 n 2n

(4)取极限

1 1 1 1 S ? lim[ (1 ? )(1 ? )] ? n ?? 3 n 2n 3
可利用几何画板演示变化趋势。 四、总结具体的步骤与方法 分割-----近似代替-----求和----- 取极限

2

五、学生练习

对于由 y=x2 与 x 轴、x=1 及 x=2 所围成的面积该怎样求? 六、思考 我们取每个小区间左端点的函数值作为每个小矩形的长,是否还可以 取其它的值作为小矩形的长。 作业 教材第 42 页练习题 阅读教材:第 1.5.2 汽车行驶的路程

板书设计 课题 例题 分析例 例题求解 学生练习

教学反思:

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