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第17章反比例函数—反比例函数 专题复习 01


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第17章反比例函数—反比例函数 专题复习 01
Lex Li

知识点回顾及考点透视

一、知识点剖析
k 反比例函数 y= (k ? 0且k是常数 ) 是初中阶段的基本函数,主要学习它的概念、图象、性 x

质、反比函数函数的解析式求法以

及简单的应用: (一)反比例函数概念的理解
k 反比例函数式形式是 y= (k ? 0且k是常数 ) ,理解概念,判别函数是否是反比例函数,可 x

从以下两个方面判断: 其一,如果两个变量 x、y 的积是一个常数,它是反比例函数, 其二,形如 y ?
k (k ? 0, k为常数 ) 式子,叫做反比例函数。或 y=kx ? 1 注意: (1)自变量 x x

的次数是-1, (2)比例系数 k≠0. 例 1 若函数 y=(m-1) x m
2

?2

是反比例函数,则 m 的值等于.

?m 2 ? 2 ? ?1, 解析:由定义知, ? 解得 m=-1. m ? 1 ? 0 , ?
例 2(2004 年北京市)我们学习过反比例函数. 例如,当矩形面积 S 一定时,长 a 是宽 b 的反比例函数,其函数关系式可以写为 a = (二)正确把握反比例函数性质 反比例函数与正比例函数图象性质比较分析
S (S 为常数,S≠0). b

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关 系 式 正比例函数 y=kx(k≠0) K>0
y

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y?
K>0

k x

(k 为常数,且 k≠0) K<0

K<0
y

图 象

0

x

0

x

性 质

图象经过点 , 图象经过点 , 双曲线的两个分支分别 与第 象限。y 与第 象限。y 位于第 象限; 随 着 x 的 增 大 随着 x 的增大而 。 在 ,y 随着 x 的增 而 。 大而 。

双曲线的两个分支分别 位于第 象限; 在 ,y 随着 x 的增大而 。

例 1(2005 年天水、陇南市)若函数 y = 则 k 的取值范围是.

k 与函数 y =kx-k 的图象均不经过第二象限, x k 的图象不经过第二象限,∴k > 0. x

解析:根据函数的性质,由反比例函数 y =

当 k > 0 时,一次函数 y =kx-k 的图象经过第一、三、四象限,即其图象不经过第二象 限. ∴k > 0. 例 2(2005 年南京市实验区)反比例函数 y=- A、第一、二象限 C、第二、三象限
2 的图象位于() x

B、第一、三象限; D、第二、四象限

解析:根据反比例函数的图象的性质:当 k > 0 时,两支曲线分别在第一、三象限内,当 k < 0 时,两支曲线分别在第二、四象限内. 由 k =-2 < 0, 所以这个反比例函数的图象在第二、四象限. 故应选 D. 例 3(2005 年深圳市实验区)函数 y= 在平面直角坐标系中的() A、第一、三象限 C、第一、二象限 解析:函数 y= B、第三、四象限; D、第二、四象限.
k (k≠0)的图象过点(2,-2) ,则此函数的图象 x

k (k≠0)的图象过点(2,-2) , x

k 所以,-2 = ,则 k =-4 < 0. 2

根据反比例函数的图象的性质知,其图象在第二、四

y

象限.

O

x

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(图 1)

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故应选 D. 例 4(2005 年湖北省宜昌市实验区)如图 1 所示的函数图象的关系式可能是(). A.y = x B.y =
1 x

C.y = x2

D. y =

1 x

解析:由图 1 所示的函数图象知,它所表示的是反比例函数,并且无论 x 取正数还是 负数,y 的值总为正数. 所以,答案 D 正确. 例 5(2005 年江西省)收音机刻度盘的波长 l 和频率 f 分别是用米(m)和千赫兹(kHz) 为单位标刻的。波长 l 和频率 f 满足关系式 f ? _________; 解析:由波长 l 和频率 f 满足关系式 f ?
300000 知,波长 l 和频率 f 是反比例函数. l 300000 ,这说明波长 l 越大,频率 f 就越 l

由 k=300000 > 0,根据反比例函数的图象的性质,得 波长 l 越大,频率 f 就越小. 例 6 已知点 A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 y= 4 的图像上,则()
x

(A) y1<y2<y3(B) y3<y2<y1(C)

y3<y1<y2(D) y2<y1<y3

分析:比较大小的方法有两种,一是直接将点的横坐标代入关系式,计算出 y1、y2、y3 的值,然后比较大小;二是根据反比例函数的性质比较.注意利用性质比较简单. 解:因为函数 y= 4 的图象在一、三象限,点 C(3,y3)在第一象限,所以 y3>0,而点 A(-
x

2,y1),B(-1,y2)在第三象限,所以 y1<0,y2<0,根据反比函数的性质可知,在每个象限内 y 随 x 的增大而减小,所以 y2<y1<0, 故 y2<y1<y3,选(D). 评注:借助性质比较大小,一定要注意点所在象限,否则易出现错误. (三)根据实际问题选择图象 例 1、已知一个矩形的面积为 24cm2,其长为 ycm,宽为 xcm,则 y 与 x 之间的函数关系 的图象大致是()

(A) (B) (C) (D) 分析:根据实际问题选择图象,首先要写出函数的关系式,判断出函数是什么函数,然 后再根据实际问题确定函数自变量的取值范围,根据范围确定函数图象所在的象限.

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解:函数的关系式为 y=

24 (x>0),因为函数是反比例函数,所以它的图象是双曲线,又因 x

为 x>0,所以此函数的图象是双曲线的在第一象限的一个分支.故选(D). 评注:本题易出现漏掉自变量范围的确定,而错误地选择(A). 例 2(潍坊市)已知 a>b,且 a≠0,b≠0,a+b≠0,则函数 y=ax+b 与 y= 标系中的图象不可能是如图 1 所示中的()
y y y y

a?b 在同一坐 x

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

图1

C.

D.

分析 若能先确定了 a、b 的符号,即可先判断函数 y=ax+b 的位置,进而可以进一步判 断 y=
a?b 的位置了. x

解 由于 a>b, 若设 a>0, b<0, 则 a+b>0 或 a+b<0, 即 A 和 C 都有可能, 若设 a<0, b<0,则 a+b<0,则只有 D 可能,即 B 永远是不可能的.故应选 B. (四)求反比例函数解析式 A、借助所给的点的坐标求 由于反比例函数的解析式为 y ?
k (k ? 0) ,只有一个待定字母 k ,所以求反比例函数的 x

解析式,只要给出一个点的坐标就可以了. 例 1.图象过点(-1,2)的反比例函数的表达式是_______________. 解:设该反比例函数的表达式为 y ? 入y?
k ,得 k ? -1× 2=-2. x k ,由于该函数的图象过点(-1,2) ,所以把它代 x

2 所以该反比例函数的表达式为 y ? ? . x

【同类题拷贝】
k 的图象经过点(1,-3) ,则它的解析式为(). x 3 3 1 1 (A) y ? ? (B) y ? (C) y ? (D) y ? ? x x 3x 3x

1.已知反比例函数 y ?

2.如果反比例函数的图象经过点(1,-2) ,那么这个反比例函数的解析式为_________.
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2 答案:1.(A) ;2. y ? ? . x

B、借助所给的图象确定 例 2.如图所示的函数图象的关系式可能是(). (A)y = x (C)y = x2 (B)y =
1 x
O

y

x

(例 2 题图)

1 (D) y = x

解析:由所给的图象可知该函数为反比例函数,故可排除( A) 、 ( C) ,又由于该反比例 函数的图象在第一、二象限,故 y ? 0 ,故应选(D). 【同类题拷贝】 1.某闭合电路中,电源电压为定值,电流 I(A)与电阻 R(Ω)成反比例,图表示的是该电路 中电流 I 与电阻 R 之间函数关系的图象,则用电阻 R 函数解析式为(
6 R 3 (C) I ? R
I(A) B(3,2) 3 图4 R( Ω )

表示电流 I 的

) (B) I ? ? (D) I ?
2 R 6 R
2 O

(A) I ?

2.如图, 反比例函数 y ?

k 与直线 y ? ?2 x 相交于 x 1 2x 1 2x

点 A,A 点的 ( )

横坐标为-1,则此反比例函数的解析式为 (A) y ?
2 x 2 x

(B) y ? (D)

(C) y ? ?

y??

答案:1.(A) ;2.(C) ; C、借助物理、化学、数学等的相关公式确定 例 3.一定质量的干松木,当它的体积 V=2m3 时,它的密度 ρ=0.5× 103kg/m3,则 ρ 与 V 的函数关系式是() (A)ρ=1000V 500 (B)ρ=V+1000 (C)ρ= V
体积

1000 (D) ρ= V

解析:由物理学上的公式:物体的密度= 质量 ,所以一定质量的干松木,当它的体积 V =2m3,它的密度 ρ=0.5× 103kg/m3,其质量为 2× 0.5× 103=1000.故 ρ 与 V 的函数关系式是:ρ 1000 = V .故应选(D). 【同类题拷贝】

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1.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 p(千帕)是气球体积 V(米 3)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位).写出这个函数解析式; 答案:解:根据题意,设所求面积解析式
k 为p? , v
P(千帕) 200 150 100 50 O

把 A(1.5,64)代入,得 k=96, ∴所求函数解析式为 p ?
96 . v

A(1.5,64)

(五)用反比例函数知识解决实际问题

0.5 1 1.5 2 V(米 3)

实际问题与反比例函数相结合的问题仍是今后中考命题的热点,多以填空题、选择题及 少量综合题的形式出现,主要考查反比例函数的性质,数形结合思想、综合运用函数思想等. 例 1(2006 年南昌) .近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)成反比例,已知 400 度近视 眼镜镜片的焦距为 0. 25m,则 y 与 x 的函数是关系式为 【解析】依题意,设 y ?
y? 100 x k ( x ? 0). ,则 k=xy=0.25× 400=100,故 y 与 x 的函数是关系式为 x

【评注】确定一个反比例函数关系式的关键是求得非零常数 k 的值. 例2 (2006 年河北) . 在一个可以改变容积的密闭容器内, 装有一定质量 m 的某种气体. 当
?? V ,它的图象如图 3 改变容积 V 时,气体的密度 ? 也随之改变. ? 与 V 在一定范围内满足
m

所示,则该气体的质量 m 为() A.1.4kg C.6.4kg B.5kg D.7kg
1.4 (5, 1.4) 5 图3 V(m3)

? (kg/ m3)

? =1.4, 【解析】 从已知图像信息知, V=5,

O

则 m= ? V=1.4× 5=7.故

选D 【评注】应用反比例函数解实际问题,尤其是跨学科应用反比例的图像和性质的实际问 题, 这类题目日益成为中考的热点之一. 这需要明确题目所给的信息, 建立反比例函数模型, 进而解之. 例 3. (2006 年新疆)请你举出一个生活中 能用反比例函数关系描述的实例,写出其函数 ... 表达式,并画出函数图象. 举例:
O
y

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x

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函数表达式: 【解析】举例:要编织一块面积为 2 米 2 的矩形地毯,地毯的长 x (米)与宽 y (米)之 间的函数关系式为 y ?
2 ( x ? 0). x

【评注】本题答案不惟一.只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可 例 4(2006 十堰) .某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为 了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺了若干块木块,构筑成一条临时近道.木 板对地面的压强 p ? Pa ? 是木板面积 S ? m 2 ? 的反比例函数,其图象如下图所示. (1)请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围; (2)当木板面积为 0.2m2 时,压强是多少? (3)如果要求压强不超过 6000Pa ,木板的面积至少要多大?
p / Pa
600 400 200 1 1.5 2 2.5 3 4 S / m2 600 【解析】 : (1) p ? . ? S ? 0 ? (解析式与自变量取值范围各 1 分) S 600 ? 3000 .即压强是 3000Pa . (2)当 S ? 0.2 时, p ? 0.2 0

A?1.5, 400?

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(3)由题意知,

600 ≤ 6000 ,? S ≥ 0.1 .即木板面积至少要有 0.1m2 . S

【评注】本题利用物理知识.反比例函数与其他学科知识的应用,已成为近几年中考热点 之一.解题的关键是要把实际问题抽象成反比例函数模型. 例 5、 某汽车的功率 P 为一定值, 汽车行驶时的速度 v (米/秒) 与它所受的牵引力 F (牛) 之间的函数关系如图所示: (1)这辆汽车的功率是多少?请写出这一函数的表达式;

(2)当它所受牵引力为 1200 牛时,汽车的速度为多少千米/时? (3)果限定汽车的速度不超过 30 米/秒,则 F 在什么范围内? 60000 【解析】 : (1)由 P= Fv= 20 × 3000=60000=6 × 104,v= F ; 60000 (2)当 F=1200 时,v= 1200 =50(米/秒)=180(千米/时) , 所以,当它所受牵引力为 1200 牛时,汽车的速度为 180 千米/时; 60000 (3)当 v=30 米/秒时,代入 v= F 则 F=2000(牛) , 60000 所以,当≤30 米/秒时,即 F ≤30.则 F≥2000(牛) . 所以如果限定汽车的速度不超过 30 米/秒.则 F 应大于等于 2000 牛. 【评注】从图上获取有用信息是解题的关键. 例 6. 如图所示是某个函数图象的一部分,根据图象回答下列问题: 这个图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系? 请你根据所给出的图象,举出一个合乎情理,且符合图象所示的情形的实际例子; 写出你所举例子中两个变量之间的关系式,并指出自变量的取值范围; 说出图象中 A 点在你所举例子中的实际意义.

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【解析】: 本题的答案是开放的,只要合情合理即可. 图象是反比例函数图象的一支,故可以判断这两个变量的关系是反比例函数的关系; 如蓄电池的电压为定值, 使用此电池时, 电流强度 y(A)与电阻 x( ? )之间的函数关系如上图所 示,则蓄电池的电压是多少?写出此函数的表达式.
y? k k 3? x ,因为 A(2,3)在函数图象上,所以 2 ,所以 k=6,即蓄电池的电压是 y? 6 x ,自变量 x 的取值范围是 x>0.

根据图象可设

6V.电流 y 与电阻 x 的函数关系是

当 x=2 时,y=3,即当电阻为 2 ? 时,电流强度为 3A. 【评注】利用函数图象解决实践问题时,首先明确图象的性质,然后根据性质进行解答. 例 6(2005 年临沂略改动) 、某厂从 2001 年起开始投入技术改进资金,经技术改进后, 其产品的生产成本不断降低,具休数据如下表: 年度 2001 2002 3 6 2003 4 4.5 2004 4.5 4

投入技改资金 x(万元) 2.5 产品成本 y(万元/件) 7.2

⑴请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其 变化规律,说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式; ⑵按照这种变化规律,若 2005 年已投入技改资金 5 万元. ①预计生产成本每件比 2004 年降低多少万元? ②如果打算在 2005 年把每件产品成本降低到 3.2 万元,则还需投入技改资金多少万元?(结 果精确到 0.01 万元)? 【分析】 (1)任选一组或两组数据,列出相应的反比例函数、一次函数解析式,再把其 他组数据代入解析式中,即可确定函数解析式;(2)把所给数据代入到函数解析式中直接求 解. 解:⑴设其为一次函数,解析式为 y ? kx ? b 当 x ? 2.5 时, y ? 7.2 ;当 x ? 3 时, y ? 6

?7.2 ? 2.5k ? b ?k ? ?2.4 ? ? ?6 ? 3k ? b 解得 ?b ? 13.2
所以一次函数解析式为 y ? ?2.4 x ? 13.2 ,把 x ? 4 时, y ? 4.5 代入此函数解析式

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左边≠右边.故其不是一次函数.
y? k x ,当 x ? 2.5 时, y ? 7.2

设其为反比例函数,解析式为
7.2 ?

可得

k 18 18 y? y? ?6 2.5 ,得 k ? 18 ,所以反比例函数为 x 验证:当 x ? 3 时, 3 ,符合反比

例函数. 同理可验证: x ? 4 时, y ? 4.5 ; x ? 4.5 时, y ? 4 成立.
y? 18 x 表示其变化规律. y? 18 ? 3 .6 5

故可用反比例函数

⑵:①当 x ? 5 万元时,

因为 4 ? 3.6 ? 0.4 (万元) 所以生产成本每件比 2004 年降低 0.4 万元. ②当 y ? 3.2 时,
3 .2 ? 18 x ,得 x ? 5.625

因为 5.625 ? 5 ? 0.625 ? 0.63 (万元) 则还需投入 0.63 万元. 【评注】已知多数据确定函数解析式在历年中考试题均有所涉及,解题的关键是灵活掌 握各类函数的特点及性质,一般情况下要采取各个验证的方法. 例 7 某市上年度电价为每度 0.8 元,年用电量为 1 亿度,本年度计划将电价调整,经测 算若电价调到 x 元,则本年度新增用电量 y(亿度)与(x-0.4)元成反比例,当 x=0.65y=0.8 如果 新增用电量 1 亿度,电价是多少? 析解:先求出函数的解析式,再求出电价,因为本年度新增用电凉 y 亿度与(x-0.4)元成 反比例,所以
y? k 0.2 ,x=0.65 时 y=0.8 代入解得 k=0.2 所以 y ? 当 y=1 时代入求 x ? 0. 4 x ? 0. 4

得 x=0.6,所以电价应调到 0.6 元. 点评: 解决实际问题时, 关键是对问题的审读与理解, 通过读题找出题目中的条件信息, 把握其中的方程、函数思想,能用一个变量表示另一个变量,建立等量关系,从而把实际问 题转化为数学问题,利用相关数学知识解决问题. (六)反比例函数错例剖析

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反比例函数是继一次函数之后同学们学习的又一新型函数,由于有些同学由于对反比例 函数概念理解不到位,性质把握的不准确等等原因,而在解题过程中出现了一些错误.大致有以 下三种常见情况. A、忽视比例系数不为零导致失误 例 1.(山西省中考题)若函数 (A)m=-2 (C)m=2 或 m=1
2

y ? (m ?1) xm ?3m?1 是反比例函数,则 m 的值为()
(B)m=1 (D)m=-2 或 m=-1

2

错解:∵函数

y ? (m ?1) xm ?3m?1 是反比例函数,

∴ m2 ? 3m ? 1 ? ?1 ,解得 m=-2 或 m=-1. 故选(D). 剖析:本题难度不大,属基本题.主要考察同学们对反比例函数意义的理解,要特别注意 把反比例函数 y ?
k (k ? 0) 的形式写成类似整式的形式: y ? kx?1 ,这是用负整数指数形式来 x

表示的, 这时自变量的指数为负 1, 仍然有 k ? 0 这个必备条件.错解就错在这一点上.正确解法

?m2 ? 3m ? 1 ? ?1, ?m ? ?1或m ? ?2, 应为:由题意,得 ? 得? 因此,m=-2,应选(A). m ? ?1. m ? 1 ? 0. ? ?
说明: k ? 0 是反比例函数定义的重要组成部分,一定不能忽略. B、忽视实际问题中自变量的取值范围导致失误 例 2.甲、乙两地相距 100 千米,一辆汽车从甲地开往乙地,把汽车到达乙地的时间 y (小 时)表示成汽车平均速度 x (千米/小时)的函数并画出函数的图象. 错解: y ?
100 ,图象如图 1 所示. x

图1

图2

剖析:在利用描点法画反比例函数的图象时,一定要注意自变量的取值范围,本题中自 变量不能取负数,所画图象只是双曲线在第一象限的一部分,正确图象如图 2 所示. C、忽视反比例函数的性质成立的条件导致失误

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?a 2 ? 1 例 3.(盐城市中考题)在函数 y ? ( a 为常数)的图象上有三点: (- 1 , y1 ) 、 x
1 1 (? , y2 )、( ,y3) ,则函数值 y1、y2、y3 的大小关系是() 4 2

(A)y2<y3<y1(B)y3<y2<y1 (C)y1<y2<y3(D)y3<y1<y2 错解;∵ y ? 又∵ ?1 ? ?
?a 2 ? 1 a2 ? 1 是反比例函数,且 k=-a2-1<0,∴y 随 x 的增大而增大. ?? x x

1 1 ? , 4 2

∴ y1 ? y2 ? y3 ,故选(C). 剖析:当 k ? 0 时,反比例函数的图象在二、四象限内,且在每一象限内,y 随 x 的增大
1 1 1 1 而增大,但点(-1,y1)与 (? , y2 )、( ,y3) 不在同一象限内,因而不能由 ?1 ? ? ? , 4 2 4 2

就断定 y1 ? y2 ? y3 .正解如下: ∵ k ? ?a2 ?1 ? ?(a2 ? 1) ? 0 , ∴y 随 x 的增大而增大,且函数图象分布在第二、四象限内.
1 ∵ ?1 ? ? ,∴ y1 ? y2 . 4 1 1 ∵ (?1,y1 )、( ? ,y2) 在第二象限,而( , y3 )在第四象限, 4 2

∴ y3 ? y1,y3 ? y2 .

∴ y3 ? y1 ? y2 .故选(D).

说明:本题有一定难度,它考察同学们对反比例函数图象的性质及其增减性的理解,对 同学们的分析、综合、应用有较高的要求.在应用反比例函数图象性质的基础上,同学们应会 正确地比较在不同象限分支上点的纵坐标值的大小关系,即函数值的大小关系.

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