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2012——2015上海高考数学立体几何试题分析


2012——2015 上海高考数学立体几何试题分析
1.【2012. 上海。6. 】 。有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 分别记为 V1,V2, ?,Vn, ? ,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ?
n ??

1 为公比的等比数列,体积 2


2.【2012. 上海。8. 】 .若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积 为 。 2012. 上海。 14 . 】 .如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC ? 2 ,若 AD ? 2c , 且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a , 其中 a 、 c 为常数, 则四面体 ABCD 的体积的最大值是 。

3.【2012. 上海。19. 】 . (6+6=12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,

PA ?

底面 ABCD , E 是 PC 的中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 2 ,求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小。

4. 【 2012. 上海。 9 】 .设直线 m 与平面 ? 相交但不 垂直,则下列所有正确的命题序号 . 是 . ①在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直;

②过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂直; ③与直线 m 平行的直线不 可能与平面 ? 垂直; . ④与直线 m 垂直的直线不 可能与平面 ? 平行; . ⑤与直线 m 平行的平面不 可能与平面 ? 垂直. .

5.【2012. 上海。17】 .将若干水倒入底面半径为 2cm 的圆柱器皿中(底面水平放置) ,量得水面的 高度为 6cm .若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中,则水面的高度是 ( A. 6 3cm B. 6cm C. 23 18cm D. 33 12cm )

6.【2012. 上海。19】19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,菱形 ABCD 中, AB ? AC ? 1 , 其对角线的交点为 O ,现将 ?ADC 沿对角线

AC 向上翻折,使得 OD ? OB .在四面体 ABCD 中, E 在 AB 上移动,点 F 在 DC
上移动,且 AE ? CF ? a(0 ? a ? 1) . (1)求线段 EF 的最大值与最小值; (2)当线段 EF 的长最小时,求异面 直线 AC 与 EF 所成角 ? 的大小.

7. 【 2013. 上海 。 13 . 】 .在 xOy 平面 上,将两个半 圆弧

( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? 1) 和 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、两条直
线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D ,如图中阴影部 分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ? ,过 作 ? 的水平截面,所得截面面积为 ( 0 ,y ) (y| ? | 1)

4? 1 ? y 2 ? 8? ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为
__________

【解答】根据提示,一个半径为 1,高为 2? 的圆柱平放,一个高为 2,底面面积 8? 的长方 体,这两个几何体与 ? 放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等,故 它们的体积相等,即 ? 的体积值为 ? ?12 ? 2? ? 2 ? 8? ? 2? 2 ? 16? . 8. 【2013. 上海。 19. 】 (本题满分 . 12 分) 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2,AD=1,A1A=1, 证明直线 BC1 平行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离. 【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,故 AB // C1D1 , AB ? C1D1 , 故 ABC1D1 为平行四边形,故 BC1 // AD1 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于 是直线 BC1 平行于平面 DA1C; 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h

D A D1 B

C C1 B1

A1

1 1 1 ? ( ?1? 2) ?1 ? 3 2 3 3 而 ?AD1C 中, AC ? D1C ? 5, AD1 ? 2 ,故 S ?AD1C ? 2 1 3 1 2 2 所以, V ? ? ? h ? ? h ? ,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 3 2 3 3 3
考虑三棱锥 ABCD1 的体积,以 ABC 为底面,可得 V ? 9【2014. 上海。6. 】 . (4 分) (2014?上海)若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底 面角的大小为 _________ (结果用反三角函数值表示) .

D A D1 B

C C1 B1

A1
10【2014. 上海。16. 】 . (5 分) (2014?上海)如图,四个棱长为 1 的正 方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,Pi(i=1,2,…8)是上底面 上其余的八个点, 则 ? (i=1, 2, …, 8) 的不同值的个数为 ( )

D A D1 B

C C1 B1

A1

A.1 B.2 C.3 D.4 11【2014. 上海。19. 】 . (12 分) (2014?上海)底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC,其表面 展开图是三角形 P1P2P3,如图,求△P1P2P3 的各边长及此三棱锥的体积 V.

12.. (4 分) (2015?上海.4)若正三棱柱的所有棱长均为 a,且其体积为 16 ,则 a= . 13. (4 分) (2015?上海)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π,则其母线与轴的夹 角的大小为 . 14. (12 分) (2015?上海 19)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=1,AB=AD=2, E、F 分别是 AB、BC 的中点,证明 A1、C1、F、E 四点共面,并求直线 CD1 与平面 A1C1FE 所成的角的大小.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 利用长方体的集合关系建立直角坐标系.利用法向量求出二面角. 解答: 解:连接 AC,因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF 是△ABC 的中位线,所以
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EF∥AC.由长方体的性质知 AC∥A1C1, 所以 EF∥A1C1, 所以 A1、C1、F、E 四点共面. 以 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 分别为 xyz 轴,建立空间直角坐标系,易求得

, 设平面 A1C1EF 的法向量为



,所以

,即



z=1,得 x=1,y=1,所以



所以

=

, 所以直线 CD1 与平面 A1C1FE 所成的角的大小 arcsin .

点评: 本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法,属高考常考题型.


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