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三角函数全章公式、结论


高中数学 三角函数公式、结论

三角函数公式、结论
一、终边相同的角集合定理 所有与角 α 终边相同的角 β ,连同角 α 在内,构成的集合 S ? {β | β ? α ? 2kπ, k ?Z} . 推论 1: 第Ⅰ象限角集合: S ? {α | 2kπ ? α ? π ? 2kπ, k ? Z} ;
2

第Ⅱ象限角

集合: S ? {α | 2kπ ? π ? α ? π ? 2kπ, k ? Z} ;
2

第Ⅲ象限角集合: S ? {α | 2kπ ? π ? α ? 3π ? 2kπ, k ? Z} ;
2

第Ⅳ象限角集合: S ? {α | 2kπ ? 3π ? α ? 2π ? 2kπ, k ? Z} .
2

推论 2: 终边在 x 轴非负半轴上的角集合: S ? {α | α ? 2kπ, k ?Z} . 终边在 x 轴非正半轴上的角集合: S ? {α | α ? π ? 2kπ, k ?Z} . 终边在 x 轴上的角集合: S ? {α | α ? kπ, k ?Z} . 终边在 y 轴非负半轴上的角集合: S ? {α | α ? π ? 2kπ, k ? Z} .
2

终边在 y 轴非正半轴上的角集合: S ? {α | α ? 3π ? 2kπ, k ? Z} .
2

终边在 y 轴上的角集合: S ? {α | α ? π ? kπ, k ? Z} .
2

二、当 α 分别为一、二、三、四象限的角时,二倍角 2α 、半角 α 2 的终边分布规律

?
2?


终边在横轴上方 一或三 象限角


终边在横轴下方 一或三 象限角


终边在横轴上方 二或四 象限角


终边在横轴下方 二或四 象限角

? 2

三、弧度公式: α ?

l . r

四、特殊角的度数与弧度数的对应表

度 弧度
150 ? 5π 6

0?

15? π 12

30?
π 6

45?
π 4

60?
π 3

75?
5π 12

90?
π 2

120 ? 2π 3

135? 3π 4

0
180 ?

210 ? 7π 6

225 ? 5π 4

240 ? 4π 3

270 ? 3π 2

300 ? 5π 3

315 ? 7π 4

330 ? 11π 6

360 ?

π



-1-

高中数学 三角函数公式、结论

五、弧长、扇形面积公式

nπr nπr 2 1 1 ?| α | r , 扇形面积公式: S ? ? lr ? | α | r 2 . 弧长公式: l ? 180 360 2 2

2rad y 1rad 1x 6rad 5rad

3rad


六、 1rad、2rad、3rad、4rad、 5rad、6rad 角的终边位置图

4rad

七、任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐 标是 ( x, y ) ,它与原点的距离是 r ( r ? ,则 x2 ? y 2 ? 0 )

比值
yr xr
y x

函数名称 正弦 余弦 正切

符号及函数定义式
sinα ? y r
cosα ? x r

定义域(弧度)
R R

tanα ? y x

{x ?R | x ? π 2 ? kπ, k ?Z}

八、三角函数线定义 过角 α 终边与单位圆的交点 P ,引 x 轴的垂线,垂足为 M ,过单位圆与 x 轴正半轴的交点 A ,作单位圆 的切线,与角 α 的终边或反向延长线于点 T ,则有如下定义:




y x


y x


y x




三角函数线 正弦线 余弦线 正切线

定义 有向线段数量 MP 叫做正弦线 有向线段数量 OM 叫做余弦线 有向线段数量 AT 叫做正切线

证明

sin α ? MP | OP | ? MP 1 ? MP cos α ? OM | OP | ? OM 1 ? OM tan α ? AT OA ? AT 1 ? AT

九、正弦、余弦、正切函数的值在各象限内的符号 由角 α 所在象限,结合三角函数定义,可得三角函数的值在各象限内的符号如下:

-2-

高中数学 三角函数公式、结论
三角函数

象限


正 正 正


正 负 负


负 负 正


负 正 负

sinα
cosα

tanα

记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 十、由三角函数值的符号确定角 α 的终边分布

符号

α 终边所在区域

符号

α 终边所在区域

sin α ? 0 ? cos α ? 0 ? tan α ? 0 ?

x 轴(含)上方
y 轴(含)右侧
第一象限含 x 轴

sin α ? 0 ? cos α ? 0 ? tan α ? 0 ?

x 轴(含)下方
y 轴(含)左侧
第三象限含 x 轴

十一、特殊角的正弦值、余弦值、正切值
1.特殊角的三角函数值 度 弧度
sinα
cosα

0?

30?

45?

60?

90?

120 ?

135?

150 ?

180 ?

0 0 1 0

π 6
12
3 2 3 3

π 4
2 2 2 2

π 3
3 2

π 2

2π 3
3 2

3π 4
2 2
? 2 2

5π 6
12
? 3 2

π
0
?1

1 0 不存在

12 3

?1 2 ? 3

tanα

1

?1

? 3 3

0

2.常见三角比对应的锐角(角度值)
若 sin ? ?
2 7 2 ,则 ? ? 8.13? .若 sin ? ? ,则 ? ? 81.87? . 10 10 2 6 1 ,则 ? ?11.54? .若 sin ? ? ,则 ? ? 78.46? . 5 5 15 1 ,则 ? ?14.48? .若 sin ? ? ,则 ? ? 75.52? . 4 4 6? 2 6? 2 ? 0.2588 ,则 ? ?15? .若 sin ? ? ? 0.9659 ,则 ? ? 75? . 4 4

若 sin ? ?

4 3 1 ,则 ? ? 8.21? .若 sin ? ? ,则 ? ? 81.79? . 7 7

若 sin ? ?

若 sin? ?

16 63 ,则 ? ?14.25? .若 sin? ? ,则 ? ? 75.75? . 65 65

若 sin ? ?

若 sin ? ?

若 sin ? ?

10 ? 2 5 5 ?1 ? 0.3090 ,则 ? ?18? .若 sin ? ? ? 0.9511 ,则 ? ? 72? . 4 4

-3-

高中数学 三角函数公式、结论 若 sin ? ?
10 3 10 ,则 ? ?18.43? .若 sin ? ? ,则 ? ? 71.57? . 10 10 3 39 7 ,则 ? ? 20.49? .若 sin ? ? ,则 ? ? 69.51? . 20 20

若 sin ? ?

1 ,则 ? ?19.47? . 3

若 sin ? ?

2 2 ,则 ? ? 70.53? . 3

若 sin ? ?

若 sin ? ?

2? 2 2? 2 ? 0.3827 ,则 ? ? 22.5? .若 sin ? ? ? 0.9239 ,则 ? ? 67.5? . 2 2

若 sin? ?

5 12 ,则 ? ? 22.62? .若 sin? ? ,则 ? ? 67.38? . 13 13

若 sin ? ?

21 2 ,则 ? ? 23.58? . 若 sin ? ? ,则 ? ? 66.42? . 5 5 5 2 5 ,则 ? ? 26.57? .若 sin ? ? ,则 ? ? 63.43? . 5 5

若 sin ? ?

2 10 3 ,则 ? ? 25.38? . 若 sin ? ? ,则 ? ? 64.62? . 7 7

若 sin ? ?

若 sin? ?

8 15 ,则 ? ? 28,07 ? .若 sin? ? ,则 ? ? 61.93? . 17 17
3 1 ,则 ? ? 30? .若 sin ? ? ,则 ? ? 60? . 2 2

若 sin ? ?

2 7 ,则 ? ? 28.13? . 若 sin ? ? ,则 ? ? 61.87? . 3 3

若 sin ? ?

若 sin? ?

33 56 ,则 ? ? 30.51? .若 sin? ? ,则 ? ? 59.49? . 65 65
7 3 2 ,则 ? ? 31.95? . 若 sin ? ? ,则 ? ? 58.05? . 5 5

若 sin ? ?

13 6 ,则 ? ? 31.00? .若 sin ? ? ,则 ? ? 59.00? . 7 7

若 sin ? ?

若 sin ? ?

2 3 ,则 ? ? 33.69? .若 sin ? ? ,则 ? ? 56.31? . 13 13
10 ? 2 5 5 ?1 ? 0.8090 ,则 ? ? 54? . ? 0.5878 ,则 ? ? 36? .若 sin ? ? 4 4

若 sin ? ?

若 sin ? ?

3 4 ,则 ? ? 36.87? .若 sin ? ? ,则 ? ? 53.13? . 5 5
5 2 ,则 ? ? 41.81? .若 sin ? ? ,则 ? ? 48.19? . 3 3

若 sin ? ?

7 3 ,则 ? ? 41.41? .若 sin ? ? ,则 ? ? 48.59? . 4 4 4 21 17 ,则 ? ? 42.84? .若 sin ? ? ,则 ? ? 47.16? . 25 25

若 sin ? ?

若 sin ? ?

若 sin ? ?

2 6 5 ,则 ? ? 44.42? .若 sin ? ? ,则 ? ? 45.58? . 7 7 2 ,则 ? ? 45? 或 ? ? 135? . 2

若 sin ? ?

119 120 ,则 ? ? 44.76? .若 sin ? ? ,则 ? ? 45.24? . 169 169

若 sin ? ?

十二、九组诱导公式
函数
x

sin x


cos x cos α

tan x ? tan α
不要求

、 2π ? α

? sinα
cos α

π 2?α

? sinα
? cosα

π ?α
3π 2 ? α

? sinα
? cosα

? tanα
不要求

? sinα
cos α

2kπ ? α

? sinα

? tanα

-4-

高中数学 三角函数公式、结论

(1)文字概括:奇变偶不变,符号看象限. (2)求值、化简、证明三角函数式,运用顺序:负化正,大化小,化到锐角再查表. 十三、同角基本关系式 1.最基本的同角基本关系式:
2 2 (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 ;

(2)商数关系:

sin ? ? tan ? ? sin ? ? cos ? tan ? . cos ?

2.正余弦齐次分式化切: ①

a sin ? ? b cos ? a tan ? ? b ; ? c sin ? ? d cos ? c tan ? ? d cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ? ? tan( ? ? ) , ? ? tan( ? ? ) ; cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 4 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 4

特别地, ②

a1 sin 2 α ? a2 sin α cos α ? a3 cos 2 α a1 tan 2 α ? a2 tan α ? a3 ? . b1 sin 2 α ? b2 sin α cos α ? b3 cos 2 α b1 tan 2 α ? b2 tan α ? b3

3.正余弦齐次整式化切 ① sin ? cos ? ? tan ? cos2 ? ? 或: sin ? cos ? ?

tan ? . 1 ? tan 2 ?

sin ? cos ? tan ? . ? sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? tan 2 ? 2sin ? cos ? 2 tan ? . ? sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? tan 2 ? a tan 2 ? ? b tan ? ? c . 1 ? tan 2 ?

或: sin 2? ? 2sin ? cos ? ?

2 2 2 2 ② a sin ? ? b sin ? cos ? ? c cos ? ? cos ? (a tan ? ? b tan ? ? c) ?

2 2 或: a sin ? ? b sin ? cos ? ? c cos ? ?

a sin 2 ? ? b sin ? cos ? ? c cos2 ? a tan 2 ? ? b tan ? ? c . ? sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? tan 2 ?

4.同角关系式的衍生结论: 定理 1 已知 sin x ? cos x ? m, x ?[0, 2π], m ?[? 2, 2] ,则由 m 的取值情况,进一步缩小角 x 的范围:

①m? 2 ? x ?

π ; 4

π ② m ? (1, 2) ? x ? (0, ) . 2

③ m ?1 ? x ? 0 或 x ?

π ; 2

π 3π 3π 7π 7π ④ m ? (0,1) ? x ? ( , ) ; ⑤ m ? 0 ? m ? 或 m ? ; ⑥ m ? (?1,0) ? x ? ( , 2π) ; 2 4 4 4 4

⑦ m ? ?1 ? x ? π 或 x ?
现仅就结论⑧证明如下:

3π 3π ;⑧ m ? (? 2, ?1) ? x ? (π, ) ; 2 2

⑨m? ? 2 ? x ?

5π . 4

? 3π sin x ? cos x ? m ? (? 2, ?1) ? ?sin x ? 0, ? x ? (π, ) . ??? 2 2sin x cos x ? m2 ? 1 ? 0 ? ? cos x ? 0 ?

定理 2

π ? 已知 sin x ? cos x ? m , x ? [0, 2 ],m ? [

2, 2],则由 m 的取值情况可判断 sin x ? cos x (或

cos x ? sin x )的值的个数:
-5-

高中数学 三角函数公式、结论 ① m ? 2 ? 方程 sin x ? cos x ? m 有唯一解 x ? ? sin x ? cos x ? 0 (或 cos x ? sin x ? 0 ) ;
π 2 π 2 π 4

② m ? (1, 2) ? x ? (0, ) ? 方程 sinx ? cosx ? m 在 (0, ) 内有两根,且两根关于 ; cosx ? sinx 有两个值: ? 2 ? m 2 ) ③ m ? 1 ? 方程 sin x ? cos x ? m 有两解 x ? 0 或 x ?

π 对称 ? sin x ? cosx 有两个值: ? 2 ? m 2 (或 4

π ; ? sin x ? cos x ? ?1 (或 cos x ? sin x ? ?1 ) 2

④ m ? (0,1) ? x ?( ,

π 3π 7π π 3π 7π 5π 且两根关于 对称 ? sin x ? cos x ) ? ( ,2π) ? 方程 sin x ? cos x ? m 分别在 ( , ) 、 ( ,2π ) 内各有一解, 2 4 4 2 4 4 4

有唯一值: 2 ? m 2 (或 cos x ? sin x 有唯一值: ? 2 ? m 2 ) ; ⑤ m ? 0 ? 方程 sin x ? cos x ? m 有两解 x ?
3π 7π 或 x? ; ? sin x ? cos x ? ?1 (或 cos x ? sin x ? ?1 ) 4 4

⑥ m ?(?1,0) ? x ? (

3π 3π 7π 3π 3π 7π 5π 且两根关于 对称 ? sin x ? cos x , π) ? ( , ) ? 方程 sin x ? cos x ? m 分别在 ( , π) 、 , ) 内各有一解, ( 4 2 4 4 2 4 4

有两个值: ? 2 ? m 2 (或 cos x ? sin x 有两个值: ? 2 ? m 2 ) ; ⑦ m ? ?1 ? 方程 sin x ? cos x ? m 有两解 x ? π 或 x ?
3π ; ? sin x ? cos x ? ?1 (或 cos x ? sin x ? ?1 ) 2

⑧ m ? (? 2, ?1) ? x ? (π,

3π 3π 5π 且两根关于 对称 ? sin x ? cos x 有两个值:? 2 ? m 2 (或 ) ? 方程 sin x ? cos x ? m 在 (π, ) 内有两根, 2 2 4

; cos x ? sin x 有两个值: ? 2 ? m 2 ) ⑨ m? ? 2 ? 方程 sin x ? cos x ? m 有唯一解 x ?
5π ? sin x ? cos x ? 0 (或 cos x ? sin x ? 0 ). 4

定理 3 个数:

已知 sin x ? cos x ? m, x ?[0, 2π], m ?[? 2, 2] ,则由 m 的取值情况可判断 sin x ? cos x 的值的

注: 若已知 cos x ? sin x ? m, x ?[0, 2π], m ?[? 2, 2] , 则方程两边同乘以 ?1 , 根据上面结论直接由 ?m 的取值情况可判断 sin x ? cos x 的值的个数.



(1)已知 sin α ? cos α ? n ,且 ? ? (0, ? ) ,求 sin α ? cos α 、 sin α cos α .

(2)已知 sin α ? cos α ? n ,且 ? ? (0, ? ) ,求 sin α ? cos α 、 sin α cos α . (3)已知 sin α cos α ? q ,且 ? ? (0, ? ) ,求 sin α ? cos α 、 sin ? ? cos ? .

s 5. (1)已知 sin ? ? cos ? ? m ,求 sin ? cos ? (或 sin 2? ) n 、i

α? o c s

α.

2 思路:平方: (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ,求出 sin ? cos ? (或 sin 2? ) ;









s ? n ? c值 o 的 正 i s

负 -6-







s α ?n i

α

c o 号s 后 符





高中数学 三角函数公式、结论

sin α ? cos α ? ? (sin α ? cos α)2 ? 4sin α cos α 求出.
例如:已知 sin ? ? cos ? ? 1 2 ,求 sin ? ? cos ? . 解:将平方 sin ? ? cos ? ? 1 2 并解得 2sin ? cos ? ? ?3 4 ,可知 ? 为第二或四象限角. 当时 ? 为第二象限角时, sin ? ? cos ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 3 4 ? 7 2 . 当时 ? 为第四象限角时, sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ? 1 ? 3 4 ? ? 7 2 . (2)已知 sin α ? cos α ? n ,求 sin α ? cos α 、 sin α cos α . 例 (3)已知 sin α cos α ? q ,求 sin α ? cos α 、 sin ? ? cos ? . 例 6.三者关系: (sin ? ? cos ? )2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ;

(sin ? ? cos ? )2 ? (sin ? ? cos ? )2 ? 2 ; (sin ? ? cos ? )2 ? (sin ? ? cos ? )2 ? 4sin ? cos ? ? 2sin 2? .
7.正余弦齐次式化切(详见前面) 8.已知 tanα ? m 分别求 sin α 与 cosα : (1)最佳解法:由 ?

? ?

sin α ? m, 解出. cos α ?sin 2 α ? cos 2 α ? 1. ?

(2)借助直角三角形求(适合于小题) ; (3)利用衍生倒数关系: cos 2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? 1 求,结果为: ① cos α ? ? 取“-”号) ; ② sin α ? ? 取“-”号) ; 9. sin ? 与 cos? 大小关系 当角 ? 终边在直线 y ? x 上方时,有 sin ? ? cos ? ;当角 ? 终边在直线 y ? x 下方时,有 sin ? ? cos ? ; 当角 ? 终边落在直线 y ? x 上时,有 sin ? ? cos ? . 十四、四种函数性质 函数 y ? sin x , x ?R 性质 1.定义域: R . 2.值域: [ ?1,1] . 3.最值: x ? 2k? ? ? 2 (k ? Z) 时, ymax ? 1 ; x ? 2k? ? 3? 2(k ? Z) 时, ymin ? ?1 . 4.周期性: T ? 2? -7-

1 1 ? tan 2 α tan α 1 ? tan 2 α

( α 为一或四象限角时,表达式前取“+”号; α 为二或三象限角时,表达式前

( α 为一或四象限角时,表达式前取“+”号; α 为二或三象限角时,表达式前

高中数学 三角函数公式、结论

5.奇偶性:奇函数,图像关于原点对称 6.单调性:增区间 [2k? ? ? 2, 2k? ? ? 2](k ? Z) ,减区间 [2k? ? ? 2, 2k? ? 3? 2](k ? Z) 7.对称性:对称轴方程: x ? k? ? ? 2(k ? Z) ;对称中心: (k? , 0) (k ? Z) . 函数 y ? cos x , x ?R 性质 1.定义域: R . 2.值域: [?1,1] . 3.最值: x ? 2 k ? 时, ymax ? 1 ; x ? 2k? ? ? (k ? Z) 时, ymin ? ?1 . 4.周期性: T ? 2? . 5.奇偶性:偶函数,图像关于 y 轴对称. 6.单调性:增区间 [2k? ? ? , 2k? ](k ? Z) ,减区间 [2k? , 2k? ? ? ](k ? Z) . 7.对称性:对称轴方程: x ? k? (k ? Z) ,对称中心: (k? ? ? 2, 0)(k ? Z) . 函数 y ? tan x , x ?R , x ? k? ? ? 2 性质 1.定义域: {x ? R|x ? k? ? ? 2, k ? Z} . 2.值域: R . 3.周期性: T ? ? . 4.奇偶性:奇函数,图像关于原点对称. 5.单调性:增区间 (2k? ? ? 2, 2k? ? ? 2) (k ? Z) ,无减区间. 6.对称性:对称轴:无,对称中心: (k? 2, 0) (k ? Z) . 7.渐近线方程: x ? k? ? ? 2 (k ? Z) . 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 性质 1.定义域: R . 2.值域: [? A, A] . 3.最值: (1) ? x ? ? ? 2k? ? ? 2 (k ? Z) 时, ymax ? A ; 证明:因为 A ? 0 ,故 y ? A sin(? x ? ? ) 有最大值 A ? y ? sin(? x ? ? ) 有最大值 1 ? y ? sin z 有最 大值 1 ? z ? 2k? ?
z ?? x ??

? ? x ? ? ? 2k? ? ? x ? ?(k ? Z) . 2 2 (2) ? x ? ? ? 2k? ? 3? 2(k ? Z) 时, ymin ? ? A .
因为 A ? 0 ,故 y ? A sin(? x ? ? ) 有最小值 ? A ? y ? sin(? x ? ? ) 有最小值 ?1 ? y ? sin z 有最小
z ?? x ??

?

?

值 ?1 ? z ? 2k? ?

?

2 4.周期性: T ? 2? | ? | .
5.奇偶性:

? ? x ? ? ? 2k? ?

?
2

? x ? ?(k ? Z) .

(1) f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 是奇函数 ? ? ? k? (k ? Z) . 证明:图象过原点 ? f (0) ? 0 ? A sin(? ? 0 ? ? ) ? 0 ? sin ? ? 0 ? ? ? k? (k ? Z) . -8-

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(2) f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 是偶函数 ? ? ? k? ? ? 2(k ? Z) . 证明:图象关于 6.单调性:

y 轴对称 ? f (0) ? ? A ? sin(? ? 0 ? ? ) ? ?1 ? sin ? ? ?1 ? ? ? k? ? ? 2(k ? Z) .
?
2 ? y ? A sin(? x ? ? ) 递增;

2k? ? 2k? ?
证明

?
2

? ? x ? ? ? 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ?

?
2

3? ? y ? A sin(? x ? ? ) 递减. 2
z ?? x ??

因为 A ? 0 , ? ? 0 ,故

y ? A sin(? x ? ? ) 递增 ? y ? sin(? x ? ? ) 递增 ? y ? sin z 递增 ? 2k? ?

?
2

? z ? 2k? ?

?
2

? 2k? ?

?
2

? ? x ? ? ? 2k? ?

?
2

?

1

?

(2k? ?

?
2

??) ? x ?

1

?

(2k? ?

?
2

? ? )(k ? Z) ;

y ? A sin(? x ? ? ) 递减 ? y ? sin(? x ? ? ) 递减 ? y ? sin z 递减 ? 2k? ?

z ?? x ??

?
2

? z ? 2k? ?

3? 2

? 2k? ?
扩展

?
2

? ? x ? ? ? 2k? ?

3? 1 ? 1 3? ? (2k? ? ? ? ) ? x ? (2k? ? ? ? )(k ? Z) . 2 ? 2 ? 2

ⅰ.若 A ? 0 , ? ? 0 ,则

y ? A sin(? x ? ? ) 递增 ? y ? sin(? x ? ? ) 递减 ? y ? sin z 递减 ? 2k? ?

z ?? x ??

?
2

? z ? 2k? ?

3? 2

? 2k? ?

?
2

? ? x ? ? ? 2k? ?

3? 1 ? 1 3? ? (2k? ? ? ? ) ? x ? (2k? ? ? ? )(k ? Z) ; 2 ? 2 ? 2
z ?? x ??

y ? A sin(? x ? ? ) 递减 ? y ? sin(? x ? ? ) 递增 ? y ? sin z 递增 ? 2k? ?

?
2

? z ? 2k? ?

?
2

? 2k? ?

?
2

? ? x ? ? ? 2k? ?

?
2

?

1

?

(2k? ?

?
2

??) ? x ?

1

?

(2k? ?

?
2

? ? )(k ? Z) .

ⅱ.若 A ? 0 , ? ? 0 ,则 先变形为 y ? ? A sin(?? x ? ? ) ,使 x 系数变为正数 ?? . 因为 ?A ? 0 , ?? ? 0 故

y ? A sin(? x ? ? ) 递增 ? y ? ? A sin(?? x ? ? ) 递增 ? y ? sin(?? x ? ? ) 递减 ? y ? sin z 递减

z ??? x ??

? 2k? ?

?
2

? z ? 2k? ?

3? ? 3? ? 2k? ? ? ?? x ? ? ? 2k? ? 2 2 2

?

1 ? 1 3? (2k? ? ? ? ) ? x ? (2k? ? ? ? )(k ? Z) ; ?? 2 ?? 2
z ??? x ??

y ? A sin(? x ? ? ) 递减 ? y ? ? A sin(?? x ? ? ) 递减 ? y ? sin(?? x ? ? ) 递增 ? y ? sin z 递增

? 2k? ?

?
2

? z ? 2k? ?

?
2

? 2k? ?

?
2

? ?? x ? ? ? 2k? ?

?
2

-9-

高中数学 三角函数公式、结论

?

1 ? 1 ? (2k? ? ? ? ) ? x ? (2k? ? ? ? )(k ? Z) ; ?? 2 ?? 2

ⅲ.若 A ? 0 , ? ? 0 ,则 先变形为 y ? ? A sin(?? x ? ? ) ,使 x 系数变为正数 ?? . 因为 ?A ? 0 , ?? ? 0 故

y ? A sin(? x ? ? ) 递增 ? y ? ? A sin(?? x ? ? ) 递增 ? y ? sin(?? x ? ? ) 递增 ? y ? sin z 递增

z ??? x ??

? 2k? ?

?
2

? z ? 2k? ?

?
2

? 2k? ?

?
2

? ?? x ? ? ? 2k? ?

?
2

?

1 ? 1 ? (2k? ? ? ? ) ? x ? (2k? ? ? ? )(k ? Z) ; ?? 2 ?? 2
z ??? x ??

y ? A sin(? x ? ? ) 递减 ? y ? ? A sin(?? x ? ? ) 递减 ? y ? sin(?? x ? ? ) 递减 ? y ? sin z 递减

? 2k? ?

?
2

? z ? 2k? ?

3? ? 3? ? 2k? ? ? ?? x ? ? ? 2k? ? 2 2 2

?

1 ? 1 3? (2k? ? ? ? ) ? x ? (2k? ? ? ? )(k ? Z) . ?? 2 ?? 2

7.对称性: (1)对称轴方程形如: x ? x0 ,其中的 x 0 满足: ? x0 ? ? ? k? ? ? 2(k ? Z) ; (2)对称中心坐标形如: ( x0 , 0) ,其中横坐标 x 0 满足: ? x0 ? ? ? k? (k ? Z) . 十五、三角函数图象作图与变换 1. “五点法”作简图 用五点作图法作函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的图象,五个点是函数图象的最高点、最低点及图象与直线

y ? b 的交点.基本操作步骤为:
第一步 由?x ?? ? 0,

? 3? ,? , , 2? 先求出,再由 ? x ? ? 的值求出 y ; 2 2 ? 2

五点坐标如下表:

?x ??

0

?
? ?

3? 2

2?
2?

x

?
b

? ?

?
2?

?

? ? ? ? ?
b

3? ? ? 2? ?
?A ? b

?
b

?

? ?

y
第二步 第一步

A?b

在同一坐标系内描出各点; 用光滑曲线顺次连结这些点得到图象.

2.图象变换 (1)三种基本变换

y ? sin x ? y ? sin ? x(? ? 0)
当 ? ? 1 时, 将函数 y ? sin x 图象上各点横坐标缩短到原来的 - 10 -

1 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y ? sin ? x 图 ?

高中数学 三角函数公式、结论

象. 当 0 ? ? ? 1 时, 将函数 y ? sin x 图象上各点横坐标伸长到原来的 图象. 证明

1 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y ? sin ? x ?

y ? sin ? x ? y ? sin(? x ? ? )(? ? 0)
当 ? ? 0 时,将函数 y ? sin ? x 图象上各点向左平移 当 ? ? 0 时,将函数 y ? sin ? x 图象上各点向右平移 证明

|? |

?
|? |

?

? 个单位,得到函数 y ? sin(? x ? ? ) 图象. ?

?

个单位,得到函数 y ? sin(? x ? ? ) 图象.

因? ? 0 , 故需将函数 y ? sin ? x 图象向左平移, 设左移 h( h ? 0) 个单位, 事实上进行了如下代换:

x ? x ? h ,从而平议后的函数图象解析式变为

y ? sin ?( x ? h) ? sin(? x ? ?h) ? sin(? x ? ? ) ? ?h ? ? ? h ?
图象上各点应向左平移

? ? 即将函数 y ? sin ? x ? x ? x? , ? ?

? 个单位,得到函数 y ? sin(? x ? ? ) 图象. ?

另一情况证明略.

y ? sin x ? y ? A sin x( A ? 0)
当 A ? 1 时,将函数 y ? sin ? x 图象上各点纵坐标伸长到原来的 A 倍,横坐标不变,得到函数 y ? A sin x 图象. 当 0 ? A ? 1 时,将函数 y ? sin ? x 图象上各点纵坐标缩短到原来的 A 倍,横坐标不变,得到函数

y ? A sin x 图象.
(2)一般地,函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 图象可按以下两种基本变换路径得到 ⅰ 路径一 行: 第一步 第二步 将函数 y ? sin x 图像上各点纵坐标不变, 横坐标变为原来的 若 ? ? 0 ,则将函数 y ? sin ? x 图象向左平移 先伸缩后平移

y ? s i nx ? y ? s ?n x ? y ? s? n (x ? i i ?

? y ? A ? i nx(? 分三步进 ) s ? ) .

1 倍, 得到函数 y ? sin ? x 的图象. ?

? 个单位,得到函数 y ? sin(? x ? ? ) 的图象;若 ?

? ? 0 ,则将函数 y ? sin ? x 图象向右平移
第三步 ⅱ 路径二 步进行: 第一步

? 个单位,得到函数 y ? sin(? x ? ? ) 的图象. ?

( 将 函 数 y ? s i n? x ? ? ) 像 上 各 点 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍 , 得 到 函 数 图
先平移后伸缩

y ? As i n? x? ? 的图象. ( )
y ? s i nx ? y ? s i nx(? ? ? y ? ? i nx(? ) s ? ? y ? A ? s i x?( ) n .分三 ) ?

若? ? 0 , 则将函数 y ? sin x 图象向左平移 ? 个单位, 得到函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象; ? ? 0 , 若

则将函数 y ? sin x 图象向右平移 | ? | 个单位,得到函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象. 第二步 将 函 数 y ? sin( x ? ? ) 图 像 上 各 点 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

1 倍,得到函数 ?

y ? sin(? x ? ? ) 的图象.
- 11 -

高中数学 三角函数公式、结论

第三步

( 将 函 数 y ? s i n? x ? ? )图 像 上 各 点 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 , 得 到 函 数
先伸缩后平移与先平移后伸缩两个路径中的平移单位是不同的.

y ? As i n? x? ? ) ( 的图象.
两种基本变换路径的不同点 十六、两角和与差公式

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,

tan(α ? β ) ?

tan α ? tan β . 1 ? tan α tan β

十七、公式 Tα ? β 变形

tan α ? tan β 1 ? tan α π 1 ? tan α π , ? tan(α ? ) , ? tan( ? α) , 1 ? tan α tan β ? tan(α ? β ) 1 ? tan α 4 1 ? tan α 4
tan α ? tan β ? tan(α ? β )[1 ? tan α tan β ] , tan(α ? β ) tan α tan β ? tan(α ? β ) ? tan α ? tan β .
十八、辅助角公式 (1) a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) , (2) b cos x ? a sin x ? a2 ? b2 cos( x ? ? ) 辅助角 ? 的确定:所在象限与点 ( a , b ) 所在象限相同;它的一个函数值为: tan ? ? 辅助角 ? 的确定:所在象限与点 (b, a ) 所在象限相同;它的一个函数值为: tan ? ? 证明

b . a a . b

(1)由 a sin x ? b cos x 的系数 a , b 可得点 P(a, b) (一定要注意 a 与 b 顺序) ,射线 OP ( O 为坐

标原点)可作为某个角的终边,设为 ? ,于是有:

tan ? ?
所以

a b ? a ? a 2 ? b 2 cos ? , sin ? ? , cos ? ? 2 2 a a ?b

b a ?b
2 2

? b ? a 2 ? b 2 sin ?

a s i n? b c o?s x x

2

a 2 b ( s?ix n ? c o s ? x c ? 2s ? o

2 sai n b )? ? x ? .

s i n (
b . a

)

其中, ? 叫做辅助角,它所在象限取决于点 P(a, b) 所在象限,它的一个函数值为: tan ? ?

(2)由 b cos x ? a sin x 的系数 b, a 可得点 Q(b, a) (一定要注意 b 与 a 顺序) ,射线 OQ ( O 为坐标原点) 可作为某个角的终边,设为 ? ,于是有:

tan ? ?
所以

b a ? b ? a 2 ? b 2 cos ? , sin ? ? , cos ? ? 2 2 b a ?b

a a ?b
2 2

? a ? a 2 ? b 2 sin ?

b c o s? x

a s i? x n

2

a 2 b ( c? o s ? c o s? x s?i 2 ? x n

2 sai n b )? ? x ? .

s i n (
a . b

)

其中, ? 叫做辅助角,它所在象限取决于点 Q(b, a) 所在象限,它的一个函数值为: tan ? ? - 12 -

高中数学 三角函数公式、结论

若 ? 、 ? 都取锐角,则 ? ? ? ? 推论:

?
2

.

s i x? n

c x ?s o

2x ? i ; ( 3 sin x ) cos x ? 2sin( x ? ) ; sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) ; s n ? 4 6 3

?

?

?

cos x ? sin x ? 2 cos( x ? ) ; 3 cos x ? sin x ? 2cos( x ? ) ; cos x ? 3 sin x ? 2cos( x ? ) . 4 6 3
含 3 的公式记忆口诀:正余化正,加减不变,余正化余,加减颠倒,前 6 后 3. 十九、二倍角公式及其变形 1.二倍角公式:

?

?

?

sin2α ? 2sin α cos α , cos 2α ? cos 2 α ? sin 2 α ? 2cos 2 α ? 1 ? 1 ? 2sin 2 α , tan 2α ?
2.升、降幂公式: 升幂公式: 1 ? cos α ? 2cos 2
α α , 1 ? cos α ? 2sin 2 . 2 2

2 tan α . 1 ? tan 2 α

, . sin2α ? 2sin α cos α (广义) cos 2α ? cos 2 α ? sin 2 α ? 2cos 2 α ? 1 ? 1 ? 2sin 2 α (广义)
1 1 降幂公式: cos2 α ? (1 ? cos 2α) , sin 2 α ? (1 ? cos 2α) . 2 2

, , , 2sin α cos α ? sin2α(广义) 2cos 2 α ? 1 ? cos 2α(广义) cos 2 α ? sin 2 α ? cos 2α(广义) 1 ? 2sin 2 α ? cos 2α (广义) . 3. tan

?
2

??

1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? . (符号由半角终边位置决定) . 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?

二十、正弦定理 1.正弦定理 2.变形 (1) a sin B ? b sin A , c sin B ? b sin C , c sin A ? a sin C ; (2)

a b c . ? ? sin A sin B sin C

a sin A b sin B c sin C , ? , ? ; ? b sin B c sin C a sin A

(3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C ; (4)

a b a b c a b c , B? , sin sin ? ? ? 2R , ? 2 R sin A , ? 2 R sin B , ? 2 R sin C , A ? 2R 2R sin A sin B sin C

sin C ?

c ; 2R k1 a ? k2 b ? k3 c a b c ? ? ? (5) ( k1 , k2 , k3 不同时为零) . sin A sin B sin C k1 sin A ? k 2 sin B ? k3 sin C
3.利用正弦定理,可以解决以下两类有关斜三角形的问题: (1)已知两角和任意边,求其它两边和一角. - 13 -

高中数学 三角函数公式、结论

(2)已知两边和其中一边所对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他两边和角) . 4.已知三角形两边和其中一边所对角(如 a , b, A ) ,利用正弦定理,需判断三角形的解的情况. 先求出 sin B ?

b sin A ;然后根据 sin B 的值判断解的情况: a

sin B ? 1 ? 无解; sin B ? 1 ? 直角解; 1 ? sin B ? sin A ? 2 解(锐角、钝角) sin B ? sin A ? 1 解 ;
(锐角) . 口诀:正弦大 1 没有解,正弦得 1 直角解,正弦大二不大一. 口诀注释: (未知角的)正弦大(于)1 没有解, (未知角的)正弦得 1 直角解, (未知角的)正弦大(于 已知角正弦有)二(解)不大(于已知角正弦有)一(解) 二十一、利用余弦定理
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.定理 a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? c ? a ? 2ca cos B , c ? a ? b ? 2ab cos C .

2.推论 (1) cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 c 2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos B ? , cos C ? . 2bc 2ca 2ab

2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) A 为锐角 ? b ? c ? a ? 0 , A 为直角 ? b ? c ? a ? 0 , A 为钝角 ? b ? c ? a ? 0 .

3.利用余弦定理,可以解决以下两类解三角形问题: (1)已知三边,求三角. (2)已知两边及夹角,求第三边和其他两个角. 二十二、三角形中常见结论 1.角 (1) A ? B ? C ? π ; (2) A, B, C 成等差 ? B ? π 3 ; (3)最大角 ? π 3 ,最小角 ? π 3 ; (4)三角形内的诱导公式: sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C , tan( A ? B) ? ? tan C ;

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(5) tan A ? tan B ? tan C ? tan Atan B tan C ; (6) sin A ? sin B ? A ? B ? sin( A ? B) ? 0 ; (7) sin 2 A ? sin 2 B ? A ? B 或 A ? B ? π 2 ;

cos A ? cos B ? cos 2 A ? cos 2 B ? A ? B ? cos( A ? B) ? 1
(8) sin A ? sin B ? sin C ? A ? B ? C ? cos A ? cos B ? cos C ; (9) C ? ? 2 ? A ? B ? ? 2 ? A ? ? 2 ? B ? ? 2 或 B ? ? 2 ? A ? ? 2 ,然后视情况取函数值. 2.边 (1) a ? b ? c , a ? b ? c ;
2 (2) a , b, c 成等比 ? b ? ac ;

3.边角关系 (1) a 2 ? b2 ? c 2 ? C ? π 2 , a 2 ? b2 ? c 2 ? C ? π 2 , a 2 ? b2 ? c 2 ? C ? π 2 ; (2) sin A ? sin B ? sin C ? a ? b ? c ? A ? B ? C ? cos A ? cos B ? cos C ; - 14 -

高中数学 三角函数公式、结论

(3) c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? C ? π 3 , c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? C ? 2π 3 ,

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? C ? π 4 , c2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? C ? 3π 4 , c2 ? a2 ? b2 ? 3ab ? C ? π 6 , c2 ? a2 ? b2 ? 3ab ? C ? 5π 6 .
2 (4) a , b, c 成等比 ? b ? ac ? cos B ?

a2 ? c2 ? b2 2ac ? ac 1 ? ? ? B ? π 3. 2ac 2ac 2

(5)△ ABC (C ? π 2) 中

a ? c sin A ? c cos B , b ? c cos A ? c sin B , a ? b tan A , b ? a tan B ;
(6) Rt△ABC (C ? 90? ) 中的射影定理

CD 2 ? AD ? BD , AC 2 ? AD ? AB , BC 2 ? BD ? AB , AD : BD ? AC 2 : BC 2 .
(7)一般三角形中射影定理(不作要求)

a ? b cos C ? c cos B , b ? a cos C ? c cos A , c ? a cos B ? b cos A .
4.面积公式

1 1 1 S ? aha ? bhb ? chc ; 2 2 2 1 1 1 S ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ; 2 2 2 1 ; S ? (a ? b ? c)r ( r 为内切圆半径) 2 S? abc ; ? 2R2 sin A sin B sin C ( R 为外接圆半径) 4R

1 S ? s(s ? a)(s ? b)(s ? c) ( s ? (a ? b ? c) ) . 2
二十三、特殊三角形中常见结论 1.正三角形(边长为 a )中结论 高:

3 3 3 3 2 a ;边心距: a ;半径与边心距的比: 2 :1 ;面积: a ;半径: a ; 3 6 2 4
?

2.含 30 的直角三角形结论 较长直角边是较短直角边的 3 倍;斜边是较短直角边的 2 倍;斜边是较长直角边的 3.顶角为 120 的等腰三角形中的结论 腰是高的二倍;底是腰的 3 倍. 二十四、简单的三角方程
k 1. sin x ? sin α ? x ? 2kπ ? α 或 x ? 2kπ ? (π ? α ) (k ? Z) ,统一成 x ? kπ ? (?1) α (k ? Z) .

2 3 倍. 3

?

- 15 -

高中数学 三角函数公式、结论

2. cos x ? cos α ? x ? 2kπ ? α (k ? Z) . 3. tan x ? tan α ? kπ ? α (k ? Z) .

- 16 -


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