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高中数学 第三章 推理与证明 推理与证明中的创新题拓展资料素材 北师大版选修1-2


推理与证明中的创新题
推理与证明在高考中是无处不在,不可避免的。因为数学就是一种推理,将题目中的要 求与自己所学的知识进行比较, 归结转化为自己熟悉的知识, 将熟悉的内容与题目中的新事 物进行比较,找到异同点得到结论,然后证明所得的结论,就是推理与证明的解题过程。下 面根据几个具体的题目来说明他们的应用。 1:做下面实验,假设若干杯甜度相同的糖水,经过下面操作后,糖水的甜度(浓度) 是否改变? 1)①:将所有杯糖水倒在一起 ②:将任意多杯糖水倒在一起 2) :将某杯水中加入一小勺糖,糖全部溶化类比这一试验,你能得到数学上怎样的关系 是? 分析:1)上述实验表示,将任意多杯甜度相同的糖水,倒在一起后,糖水的甜度不变,

a c m a ? c ??? m , , ? , 看作倒前糖水的甜度,则倒后甜水的甜度为 从而 b d n b ? d ??? n a c m a ? c ??? m a c m ? ??? 得 ? ? ? ? ? (b ? d ??? n ? 0) b d n b ? d ??? n b d n b b?m 2) :设某杯水甜度为 ,加入糖的质量为 m ( m ? 0)由于糖全溶化后甜度为 , a a?m b?m b ? 糖变甜了,则 (a ? b, m ? 0) a?m a
由此类比若将 解:1)得出数学上某些定理

a c m a ? c ??? m a c m ? ? ? ? ,则 ? ? ??? b d n b ? d ??? n b d n b?m b ? 2)得不等式:若 a、b ? 0 ,且 a ? b 、 m ? 0 则 a?m a
若 点评: 本题由实验过程猜测实数的某些定理及不等式关系, 这用了归纳推理及类比推理 的方法,有助于培养学生的实验能力及合情推理能力 2:1997 年 11 月 8 日中央电视台正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况, 截流从上午 9:00 开始,当时龙口的水面宽度 40 米,水深若干米,每隔一段时间播音员报 告龙口的水面宽度和工程的进展情况,现记录部分时段公布的数据如下: 时间 龙口宽 9:00 40m 10:00 39m 11:00 … 12:00 34m … 16:00

工程进度 数据列

1m

a1



a 2 ? a3

预计下午 16:00 合拢,现根据截至 12:0 的部分数据 1)学生甲将工程进度模拟成等差数列, a1 =1 , a 2 ? a3 =5

2)学生乙将工程进度模拟成等比数列, a1 =1 , a 2 ? a3 =5 试问:通过计算,学生甲和学生乙的结果分别说明的什么?(指解是否如期合拢) 分析:本题主要根据甲、乙分别对工程进度猜想的数列模式进行运算,学生运算的结果 与实际情况相比较,寻找更合理的结论。 解:学生甲的方法:将工程进度 ?an ? 的模拟成等差数列 以 a1 =1, a 2 ? a3 = 2a1 ? 3d ? 5 ∴ d ? 1 ∴ S 7 ? 7a1 ? 21d ? 28 ? 40 说明按甲模拟的结果不能如期合拢 学生乙的方法:将工程进度 ?an ? 模拟成公比为 q 的等比数列 由 a1 =1, a 2 ? a3 = a1q ? a1q 2 ? 5 得q ?

? 1 ? 21 ? 1.8 2

∴ S7 ?

1 ? (1 ? 1.8 7 ) ? 75.3 ? 40 1 ? 1.8

说明按乙模拟的结果可以提前完成 点评:生活中,通过报纸、电视、广播、网络等手段,可获取相当多的数据与信息,若 其可看作数学问题,则可用合情推理的方法获得结论,再以证明的方法加以验证,从而真正 让数学与生活中的方方面面结合起来。 3:在 ?ABC 中, AB ? BC, AD ? BC 与 D ,求证:

1 1 1 ? ? ,那么在四 2 2 AD AB AC 2

面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由。 分析:首先利用综合法证明结论正确,然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜 想结论,并予以证明。 解:如右图所示,由射影定理

AD2 ? BD ? DC , AB 2 ? AD ? BC


A

1 1 BC 2 BC 2 ? ? ? AD2 BD ? DC BD ? BC ? DC ? BC AB 2 ? AC 2
B D C

而 BC 2 ? AB2 ? AC 2



1 AB2 ? AC 2 1 1 ? ? ? 2 2 2 2 AD AB ? AC AB AC 2

猜想: 类比 AB ? AC, AD ? BC 猜想四面体 ABCD 中 AB 、AC 、AD 两两垂直,AE ? 平 面 BCD 与 E ,则:

1 1 1 1 ? ? ? 2 2 2 AE AB AC AD 2
A

证明:如图、连接 BE 交 CD 与 F 、连接 AF ∵ AB ? AC, AB ? AD ∴ AB ? 平面 ACD B E

而 AF ? 面 ACD ,∴ AB ? AF

F

1 1 1 ? ? 2 2 AE AB AF 2 1 1 1 ? ? 在 Rt ?ACD 中 AF ? CD ∴ 2 2 AF AC AD 2 1 1 1 1 ? ? ? ∴ ,∴猜想正确 2 2 2 AE AB AC AD 2
在 Rt ?ABF 中, AE ? BF ∴ 点评: 类比推理是根据两个对象有一部分属性类比推出这两个对象其属性(为), 类似的 一种推理方法。 4、有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然椭圆、双曲线都是有心曲线,过有心圆锥曲 线中心的弦叫有心圆锥曲线的直径 定理:过圆: x ? y ? r (r ? 0) 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端
2 2 2

点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1。 1) :写出定理在椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中的推广,并加以证明 a2 b2

x2 y2 2) :写出定理在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0、b ? 0) 中的推广,你能从上述结论中得到 a b
有心圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、圆)的一般性结论吗?请写出你的结论! 分析:本题主要由圆上的点与直径端点的连线的关系,类比到椭圆、双曲线上的点与直 径端点的连线的位置关系,然后对它们的关系进行归纳、整理。

解:1)设椭圆上长轴的两个端点分别为 A、B。由椭圆的对称性可知,A、B 关于原点对 称,所以 A、B 两点的坐标,分别为 A ( x1 , y1 ) ,B (? x1 ,? y1 ) ,P ( x, y ) 是椭圆 任意一点,且 x ? ? x1 ∵A、B、P 三点都在椭圆上,所以有

x2 y2 ? ? 1上 a2 b2

x12 y12 ? ?1 a2 b2 x2 y2 ? ?1 a2 b2
②-①得

2 既 b 2 x1 ? a 2 y12 ? a 2b 2



既 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2



b 2 ( x 2 ? x12 ) ? a 2 ( y 2 ? y12 ) ? 0
而 K PA ?

y ? y1 x ? x1

, K PB ?

y ? y1 x ? x1

∴ K PA ? K PB ?

y 2 ? y12 b2 ? ? x 2 ? x12 a2

所以定理在椭圆中的推广为 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点的 a2 b2

b2 连线,叫两条连线所在直线的斜率之积为定值 ? 2 a
2)定理在双曲线中的推广应为: 过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0、b ? 0) 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两 a2 b2 b2 a2

个端点连线,叫两条连线所在直线的斜率之积为定值 3)定理在有心圆锥曲线中的推广为:

过有心曲线 Ax ? By ? 1 ( AB ? 0) 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两
2 2

个端点的连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值 ?

A B



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