当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案 新人教A版必修4


第二章 2.4 2.4.2

平面向量

平面向量的数量积

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1.掌握平面向量数量积的 坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.掌握向量垂直的坐标表示、夹角的坐标表示及平面两点间的距离公式.

基 础 梳 理 一、平面向量数量积的坐标表

示 已知两个非零向量 a=(x1,y1), b=(x2,y2), a·b=x1x2+y1y2(坐标形式). 这就是说, (文字语言)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 练习 1:a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)=-7. 思考应用 1.平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的? 解析:数量积的坐标表示的基础是:向量的坐标表示和数量积的运算律.设 i,j 分别 是和 x 轴、y 轴同向的单位向量,则 i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,设 a=(x1,y1),

b=(x2,y2),则 a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i +x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j =x1x2+y1y2. 数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化, 为用向量来处理几何问题, 特别 是解析几何问题提供了便利条件. 二、平面向量的模、夹角的坐标表示 1.平面内两点间的距离公式.
2 2

1

2 2 2 2 2 (1)设 a=(x,y),则|a| =_x +y 或|a|= x +y . (2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 A(x1,y1), B(x2,y2),则

|→ AB|=

(x1-x2) +(y1-y2) (平面内两点间的距离公式).

2

2

2.向量垂直的判定. 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0. 3.两向量夹角的余弦(0≤θ ≤π ). cos θ =

a · b x1x2+y1y2 = 2 . 2 |a||b| x1+y12 x2 2+y2

π 练习 2:已知 a=(1, 3),b=( 3+1, 3-1),则 a 与 b 的夹角是 . 4 思考应用 2.怎样求向量的投影?试求向量 a=(1,2)在向量 b=(2,-2)方向上的投影. 分析:本题考查向量的数量积的几何意义.要求向量的投影,需先求两向量的夹角,而 这可根据数量积的性质求得. 解析:设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,则

a·b 1×2+2×(-2) 10 cos θ = = 2 =- . 2 2 2 |a||b| 10 1 +2 × 2 +(-2)
∴a 在 b 方向上的投影为 | a|cos θ = 5×?- 自 测 自 评 1.已知 a=(-3,4),b=(5,2),则|a|=5,|b|= 29,a·b=-7. 2.已知 a=(2,-3),b=(-2,1),c=(-1,-2),则 a·(b+c)=-3.

? ?

2 10? ?=- 2 . 10 ?

→ → 3.在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD= (-4,2),则四边形 ABCD 的面积为(C) A. 5 B.2 5 C.5 D.10

→ → 解析:∵AC·BD=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0, → → ∴AC⊥BD, 1 → 1 → ∴S 四边形 ABCD= |AC|·|BD|= × 5×2 5=5. 2 2 4.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为(A)

2

A.

65 B . 65 5

C.

13 5

D. 13

解析:a 在 b 方向上的投影为

a·b 2×(-4)+3×7 65 = = .故 选 A 2 2 |b| 5 (-4) +7

基 础 提 升 1.设 m,n 是两 个非零向量,m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下不等式与 m⊥n 等价的 个数有(D) ①m·n=0;②x1·x2=- y1y2;③|m+n|=|m-n|;④|m+n|= m +n . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2 2

2.已知向量 a=(k,3),b=(1,4)c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k=(C) 9 A.- B.0 2 15 C.3 D. 2

解析:因为 a=(k,3),b=(1,4),所以 2a-3b=(2k-3,-6)又因为(2a-3b)⊥c, 所以,(2a-3b)·c=0;所以 2(2k-3)+(-6)=0,解得:k=3.故选 C. 考点:1.平面向量的坐标运算;2.平面向量的数量积. 3.设向量 a=(-1,2),b=(2,-1),则(a·b)·(a+b)=(B) A.(1,1) B.(-4,-4) C.-4 D.(-2,-2) 解析:(a·b)·(a+b)=[-1×2+2×(-1)](-1+2,2-1)=-4(1,1)=(-4,- 4).故选 B. π 4.设 e1,e2 为单位向量,且 e1,e2 的夹角为 ,若 a=e1+3e2,b=2e1,则向量 a 在 b 3 方向上的射影为________. 解析:由于 a=e1+3e2,b=2e1, 1 2 所以|b|=2,a·b=(e1+3e2)·2e1=2e1+6e1·e2=2+6× =5, 2 所以 a 在 b 方向上的射影为|a|·cos〈a,b〉=

a·b 5 = . |b| 2

3

5 答案: 2 5 . 已 知

a =

(4,2)

, 则 与

a

垂 直 的 单 位 向 量 坐 标 为

________________________________________________________________________. 答案:? 2 5? ? 5 2 5? ? 5 ,- ?或?- , ? 5 5 5 5 ? ? ? ?

6.已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. 答案:3 2 巩 固 提 高 7.设向量 a=(1,2),b=(x,1),当向量 a+2b 与 2a-b 平行时,a·b 等于(A) A. 5 7 B.2 C.1 D. 2 2

解析:a+2b=(1+2x,4),2a-b=(2-x,3). ∵a+2b 与 2a-b 平行,∴a+2b=λ (2a-b).
? ?1+2x=λ (2-x), ∴? ?4=3λ , ?

1 ∴x= . 2 1 5 ?1 ? 故 a·b=(1,2)·? ,1?=1× +2×1= . 2 2 ?2 ? 8.已知向量 a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中 e1=(1,0),e2=(0,1). (1)求 a·b; (2)求|a+b|; (3)求 a 与 b 的夹角的余弦值. 解析:(1)由 e1=(1,0),e2=(0,1)得

a=3e1-2e2=(3,-2),b=4e1+e2=(4,1),
∴a·b=12-2=10. (2)a+b=(7,-1),∴|a+b|=5 2. (3)cos〈a,b〉=

a·b 10 10 221 = = . |a||b| 13× 17 221

9.已知向量 a=(1,2),b=(x,1), (1)当 x 为何值时,使(a+2b)∥(2a-b)? (2)当 x 为何值时,使(a+2b)⊥(2a-b)? 解析:由 a=(1,2), b=(x,1),得
4

a+2b=(2x+1,4),2a-b=(2-x,3).
(1)∵(a+2b)∥(2a-b), 1 ∴3(2x+1)-4(2-x)=0,解得 x= . 2 (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), 7 ∴(2x+1)(2-x)+12=0,解得 x=-2 或 x= . 2 10.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). → → (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹的锐角的余 弦值. (1)证明:由 A(2,1),B(3,2),D(-1,4), → → 得AB=(1,1),AD=(-3,3), → → 又AB·AD=1×(-3)+1×3=0, → → ∴AB⊥AD . (2)解析:∵四边形 ABCD 为矩形,且 AB⊥AD, → → ∴AD=BC. 设点 C(x,y),则(-3,3)=(x-3,y-2),
? ?-3=x-3, ∴? ?3=y-2, ?

∴?

? ?x=0, ? ?y=5.

∴点 C 的坐标为(0,5). → → 又AC=(-2,4),BD=(-4,2), → → → =2 5, → =2 5, ∴AC·BD=8+8=16,而 AC BD → → 设AC与BD的夹角为 θ ,则 cos θ = → → AC·BD 16 4 = = . 5 → → 2 5 × 2 5 AC BD

| |

| |

| || |

5

1.注意向量的坐标运算与向量运算的区别与联系. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习 中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.

6


相关文章:
2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案 新人教A版必修4
2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。第二章 2.4 2.4.2 平面向量 平面向量的数量积...
2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时作业 新人教A版必修4
2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时作业 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。课时作业 23 平面向量数量积的坐标表示、模...
2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角练习手册 新人教A版必修4
2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角练习手册 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。【红对勾】 2015-2016 学年高中数学 2.4.2...
【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时作业
【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示夹角课时作业_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 ...
新人教A版必修4高中数学2.4.2平面向量数量积坐标表示、模、夹角学案
高中数学 2.4.2 平面向量数量积坐标表示、夹角学案 新人教 A 版必修 4 【学习目标】 1、 平面向量数量积的坐标表示, 会用向量的坐标表示形式 求数量积、...
2015-2016学年高中数学人教A版必修4课时训练:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(含答案)
2015-2016学年高中数学人教A版必修4课时训练:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教A版必修4课时训练(含答案...
(课堂设计)2014-2015高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案 新人教A版必修4
(课堂设计)2014-2015高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示夹角学案 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、...
2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时作业 新人教A版必修4
2015-2016学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时作业 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 2.4.2 平面向量...
【步步高 学案导学设-2015学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时作业 新人教A版必修4
【步步高 学案导学设-2015学年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时作业 新人教A版必修4_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 平面向量数量...
更多相关标签:
绩优学案配人教版答案 | 人教版九年级化学学案 | 人教版九年级英语学案 | 人教版离骚学案 | 人教版九年级物理学案 | 人教七英上u2学案课伴 | 新人教版分式方程学案 | 电功率复习学案人教版 |