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高中数学竞赛辅导讲义第七讲 解三角形【讲义】


第七章
一、基础知识

解三角形

在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边长, p = 1.正弦定理:
a+b+c 为半周长。 2

a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) 。 sin A sin B sin C 1 2 1

2 1 2

推论 1:△ABC 的面积为 S△ABC= ab sin C = bc sin A = ca sin B. 推论 2:在△ABC 中,有 bcosC+ccosB=a.
a b = , a=A. 则 sin a sin(q - a)

推论 3: △ABC 中, 在 A+B= q , a 满足 解

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证 推论。先证推论 1,由正弦函数定义,BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ABC= ab sin C ;再证推论 2,因为 B+C= p -A,所以 sin(B+C)=sinA, 即 sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再 证推论 3,由正弦定理
a b sin a sin(q - a ) = ,所以 = ,即 sin A sin B sin A sin(q - A) 1 [cos( q -A+a)-cos( q -A-a)]= 2 1 2

sinasin( q -A)=sin( q -a)sinA , 等 价 于 -

1 [cos( q -a+A)-cos( q -a-A)],等价于 cos( q -A+a)=cos( q -a+A),因为 2

0< q -A+a, q -a+A< p . 所以只有 q -A+a= q -a+A,所以 a=A,得证。

2.余弦定理:a =b +c -2bccosA ? cos A = 弦定理证明几个常用的结论。

2

2

2

b2 + c2 - a2 ,下面用余 2bc

(1) 斯特瓦特定理: △ABC 中, 是 BC 边上任意一点, 在 D BD=p, DC=q,则 AD2=
b2 p + c2q - pq. p+q

(1)

【证明】

因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ?ADB , ① ②

所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos ?ADB. 同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos ?ADC , 因为 ? ADB+ ? ADC= p , 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0, 所以 q×①+p×②得

qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即 AD2=

b2 p + c2q - pq. p+q

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式 AD =
&

2b 2 + 2c 2 - a 2 . 2 1 2 2 bc 4

2 (2)海伦公式:因为 S DABC = b2c2sin2A= b2c2 (1-cos2A)=

1 4

1 4

é (b 2 + c 2 - a 2 ) 2 ù 1 2 2 2 2 ê1 ú = [(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 2 2 4b c ? ? 16

这里 p =

a+b+c . 2

所以 S△ABC= p( p - a)( p - b)( p - c). 二、方法与例题 1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射 线满足 ?POQ = a , ?QOR = b ,另外 OP,OQ,OR 的长分别为 u, w, v, 这里 α,β,α+β∈(0, p ),则 P,Q,R 的共线的充要条件是
sin b sin a sin(a + b ) + = . u v w

【证明】P,Q,R 共线 ? S ΔPQR = 0 ? S DOPR = S DOPQ + S DORQ
? 1 1 1 uv sin (α+β)= uwsinα+ vwsinβ 2 2 2 sin(a + b ) sin b sin a = + ,得证。 w u v

?

2.正弦定理的应用。 例 2 如 图 所 示 , △ABC 内 有 一 点 P , 使 得

? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB。

求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点 P 作 PD ^ BC,PE ^ AC,PF ^ AB,垂足分别为

D,E,F,则 P,D,C,E;P,E,A,F;P,D,B,F 三组四点共 圆, 所以 ? EDF= ? PDE+ ? PDF= ? PCA+ ? PBA= ? BPC- ? BAC。 由题 设及 ? BPC+ ? CPA+ ? APB=3600 可得 ? BAC+ ? CBA+ ? ACB=1800。 所以 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB=600。 所以 ? EDF=600,同理 ? DEF=600,所以△DEF 是正三角形。 所 以 DE=EF=DF , 由 正 弦 定 理 ,

CDsin ? ACB=APsin ? BAC=BPsin ? ABC,两边同时乘以△ABC 的外 接圆直径 2R,得 CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证: 例3 如图所示,△ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直

线 GF 与 DE 交于 P,求证:PA ^ BC。 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M,
GM O1 A AF . = = MD AO2 AE

因为 O1G ^ BC,O2D ^ BC,所以只需证

由正弦定理

AP AF PA AE = , = , sin(p - ?1) sin a sin(p - ?2) sin b

所以

AE sin ?1 sin b = × . AF sin ?2 sin a GM PM MD PM = , = , sin a sin ?1 sin b sin ?2

另一方面,

所以

GM sin ?2 sin a × , = MD sin ?1 sin b GM AF = ,所以 PA//O1G, MD AE

所以

即 PA ^ BC,得证。 3.一个常用的代换:在△ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的 切线长分别为 x, y, z,则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在△ABC 中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y,则

【证明】

abc=(x+y)(y+z)(z+x)

? 8 xy × yz × zx =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4.三角换元。 例5 设 a, b, c∈R+,且 abc+a+c=b,试求 P =
2 2 3 - 2 + 2 a +1 b +1 c +1
2

的最大值。

【解】

由题设 b =

a+c ,令 a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1 - ac 10 1? 10 ? - 3? sin g - ÷ ? , 3 3? 3 è
2

则 tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤

当且仅当 α+β= ,sinγ= ,即 a=

p 2

1 3

2 2 10 , b = 2, c = 时,Pmax= . 2 4 3 1 2

例6

在△ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc< .
p 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β ? ? 0, ? . ? ÷
è 2?

【证明】

因为 a, b, c 为三边长,所以 c< , c>|a-b|,
p 从而 b ? ? 0, ? ,所以 sin2β>|cos2α·cos2β|. ? ÷
è 4?

1 2

因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β = [1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β] = + cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
1 4 1 4 1 4

> + cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)= . 所以 a2+b2+c2+4abc< . 三、基础训练题
2- 3 , cosAcosB 则 4 1 2

1 4

1 4

1 4

1. △ABC 中, AB 为最长边, sinAsinB= 在 边 且 的最大值为__________.

2. △ABC 中, AB=1, 在 若 BC=2, ?C 的取值范围是__________. 则 3.在△ABC 中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+ 3 = 3 tanCtanB,则
△ABC 的面积为__________.

4 . 在 △ABC 中 , 3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1 , 则
?C =__________.

5.在△ABC 中, “a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6.在△ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范 围是__________. 7.在△ABC 中,sinA= ,cosB=
3 5 5 ,则 cosC=__________. 13 A 2 C 1 = ” 2 3

8.在△ABC 中, “三边 a, b, c 成等差数列”是“tan × tan 的__________条件.

9. △ABC 中, sinC=2cosAsinB, 在 若 则三角形形状是__________. 10.在△ABC 中,tanA·tanB>1,则△ABC 为__________角三 角形. 11.三角形有一个角是 600,夹这个角的两边之比是 8:5,内切 圆的面积是 12 p ,求这个三角形的面积。 12.已知锐角△ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别
△ 与 AC, 相交于 M, 两点。 BC N 求证: MNC 的外接圆半径等于△ABD

的外接圆半径。 13.已知△ABC 中,sinC= 四、高考水平训练题 1.在△ABC 中,若 tanA= , tanB= ,且最长边长为 1,则最短 边长为__________. 2.已知 n∈N+,则以 3,5,n 为三边长的钝角三角形有________ 个. 3 . 已 知 p, q∈R+, p+q=1 , 比 较 大 小 :
1 2 1 3 sin A + sin B ,试判断其形状。 cos A + cos B

psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4. △ABC 中, sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC, △ABC 在 若 则 为__________角三角形.

5.若 A 为△ABC 的内角,比较大小: cot

A - cot A __________3. 8

6. △ABC 满足 acosA=bcosB, △ABC 的形状为__________. 若 则 7.满足 A=600,a= 6 , b=4 的三角形有__________个. 8.设 q 为三角形最小内角,且 acos2 +sin2 -cos2 -asin2 =a+1, 则 a 的取值范围是__________. 9. B, 是一段笔直公路上的三点, A, C 分别在塔 D 的西南方向, 正西方向,西偏北 300 方向,且 AB=BC=1km,求塔与公路 AC 段的 最近距离。 10.求方程 x y - 1 + y x - 1 = xy 的实数解。 11.求证: < sin 20 0 < 五、联赛一试水平训练题 1. △ABC 中,2=ac, sinB+cosB 的取值范围是____________. 在 b 则 2.在 △ABC 中,若 ____________. 3.对任意的△ABC, T ? cot 则 T 的最大值为____________.
A B C + cot + cot -(cotA+cotB+cotC), 2 2 2 sin B cos A + 2 cos C = ,则 △ABC 的形状为 sin C cos A + 2 cos B 1 3 7 . 20

q 2

q 2

q 2

q 2

4.在△ABC 中, sin sin B sin C 的最大值为____________. 5.平面上有四个点 A,B,C,D,其中 A,B 为定点,|AB|= 3 , C,D 为动点,且|AD|=|DC|=|BC|=1。记 S△ABD=S,S△BCD=T,则 S2+T2 的取值范围是____________. 6.在△ABC 中,AC=BC, ?ACB = 80 0 ,O 为△ABC 的一点,
?OAB = 10 0 , ? ABO=30 ,则 ? ACO=____________.
0

A 2

7.在△ABC 中,A≥B≥C≥ ,则乘积 cos sin cos ____________,最小值为__________.

p 6

A 2

B 2

C 的最大值为 2

8 . 在 △ABC 中 , 若 c-a 等 于 AC 边 上 的 高 h , 则
sin C-A A+C + cos =____________. 2 2

9.如图所示,M,N 分别是△ABC 外接圆的弧 AB ,AC 中点, P 为 BC 上的动点,PM 交 AB 于 Q,PN 交 AC 于 R,△ABC 的内心 为 I,求证:Q,I,R 三点共线。 10.如图所示,P,Q,R 分别是△ABC 的边 BC,CA,AB 上一 点, AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。 且 求证: AB+BC+CA≤2 PQ+QR+RP) ( 。 11.在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC,△ADC,△AEB, 使 BF=FC,CD=DA,AE=EB, ? ADC=2 ? BAC, ? AEB=2 ? ABC,
? BFC=2 ? ACB,并且 AF,BD,CE 交于一点,试判断△ABC 的形

状。

六、联赛二试水平训练题 1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且 与两腰 AB 和 AC 分别相切于点 D 和 G,EF 与半圆相切,交 AB 于 点 E,交 AC 于点 F,过 E 作 AB 的垂线,过 F 作 AC 的垂线,两垂 线相交于 P,作 PQ ^ BC,Q 为垂足。求证:PQ =
EF ,此处 q = ? B。 2 sin q

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点,点 H1,H2(不重合)分别是△AOB 与△COD 的垂心, 求证:H1H2 ^ MN。 3.已知△ABC,其中 BC 上有一点 M,且△ABM 与△ACM 的 内切圆大小相等,求证: AM = P( P - a) ,此处 P = (a+b+c), a, b, c 分 别为△ABC 对应三边之长。 4 . 已 知 凸 五 边 形 ABCDE , 其 中 ? ABC= ? AED=900 ,
? BAC= ? EAD,BD 与 CE 交于点 O,求证:AO ^ BE。 1 2

5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G 作 EF 与上、 下底平行, E 和 F 分别在 AB 和 CD 上, 点 求证: AFB=900 ? 的充要条件是 AD+BC=CD。 6 . AP , AQ , AR , AS 是 同 一 个 圆 中 的 四 条 弦 , 已 知
? PAQ= ? QAR= ? RAS,求证:AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS) 。

7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如 果 a2+b2+c2+d2=8R2,试问对此四边形有何要求? 8.设四边形 ABCD 内接于圆,BA 和 CD 延长后交于点 R,AD 和 BC 延长后交于点 P,? A,? B,? C 指的都是△ABC 的内角,求 证:若 AC 与 BD 交于点 Q,则
cos A cos C cos B + = . AP CR BQ

9.设 P 是△ABC 内一点,点 P 至 BC,CA,AB 的垂线分别为 PD , PE , PF ( D , E , F 是 垂 足 ), 求 证 :

PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。


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