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2015年湖北省高考数学试卷(文科) 考点卡片


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2015 年湖北省高考数学试卷(文科)

考点卡片
1.集合中元素个数的最值 【知识点的认识】 【命题方向】 【解题方法点拨】 求集合中元素个数的最大(小)值问题的方法通常有:类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问 题一般化等.需要注意的是,有时一道题需要

综合运用几种方法才能解决. 2.命题的否定 【知识点的认识】 命题的否定就是对这个命题的结论进行否认.(命题的否定与原命题真假性相反)命题的否命题就是对这个命题 的条件和结论进行否认.(否命题与原命题的真假性没有必然联系).?P 不是命题 P 的否命题,而是命题 P 的否 定形式.对命题“若 P 则 Q“来说,?P 是“若 P 则非 Q”;P 的否命题是“若非 P 则非 Q” 注意两个否定:“不一定是”的否定是“一定是”; “一定不是”的否定是“一定是”. 【解题方法点拨】若 p 则 q,那么它的否命题是:若?p 则?q,命题的否定是:若 p 则?q.注意两者的区别. 全(特)称命题的否定命题的格式和方法;要注意两点:1)全称命题变为特称命题;2)只对结论进行否定.将 量词“?”与“?”互换,同时结论否定. 【命题方向】命题存在中学数学的任意位置,因此命题的范围比较广,涉及知识点多,多以小题形式出现,是课 改地区常考题型. 3.必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】 正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概 念是本节的重点;掌握逻辑推理能力和语言互译能力,对充要条件概念本质的把握是本节的难点. 1. 充分条件: 对于命题“若 p 则 q”为真时, 即如果 p 成立, 那么 q 一定成立, 记作“p?q”, 称 p 为 q 的充分条件. 意 义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立,换句话说要使结论 q 成立,具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分 条件.如 p:x≥6,q:x>2,p 是 q 成立的充分条件,而 r:x>3,也是 q 成立的充分条件. 必要条件:如果 q 成立,那么 p 成立,即“q?p”,或者如果 p 不成立,那么 q 一定不成立,也就是“若非 p 则非 q”, 记作“¬p?¬q”,这是就说条件 p 是 q 的必要条件,意思是说条件 p 是 q 成立的必须具备的条件. 充要条件:如果既有“p?q”,又有“q?p”,则称条件 p 是 q 成立的充要条件,或称条件 q 是 p 成立的充要条件,记 作“p?q”. 2.从集合角度看概念: 如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示,那么 ①“p?q”,相当于“P?Q”.即:要使 x∈Q 成立,只要 x∈P 就足够了﹣﹣有它就行. ②“q?p”,相当于“P?Q”,即:为使 x∈Q 成立,必须要使 x∈P﹣﹣缺它不行. ③“p?q”,相当于“P=Q”,即:互为充要的两个条件刻画的是同一事物.
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3.当命题“若 p 则 q”为真时,可表示为,则我们称 p 为 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.这里由,得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的.但为什么说 q 是 p 的必要条件呢?事实上,与“”等价的逆否命题是“”.它的意义是:若 q 不成立,则 p 一定不成立.这就是说,q 对于 p 是必不可少的,所以说 q 是 p 的必要条件. 4.“充要条件”的含义,实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是说,如果命题 p 等价于命题 q,那 么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立;同时有命题 q 成立的充要条件是命题 p 成立. 【解题方法点拨】 1.借助于集合知识加以判断,若 P?Q,则 P 是 Q 的充分条件,Q 是的 P 的必要条件;若 P=Q,则 P 与 Q 互为充 要条件. 2.等价法:“P?Q”?“¬Q?¬P”,即原命题和逆否命题是等价的;原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的. 3.对于充要条件的证明,一般有两种方法:其一,是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明;其二, 是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接. 【命题方向】 充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系,它是中学数学最重要的数学概念之一,它是今后的高中 乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中,都会考查此类问题. 4.函数的定义域及其求法 【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围. 求解函数定义域的常规方法:①分母不等于零; ②根式(开偶次方)被开方式≥0; ③对数的真数大于零,以及对数底数大于零且不等于 1; ④指数为零时,底数不为零. ⑤实际问题中函数的定义域; 【解题方法点拨】 求函数定义域,一般归结为解不等式组或混合组.(1)当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有意义 的自变量的取值集合.(2)当函数是由实际问题给出时,其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义,还要有实际 意义(如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等). (3)若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的, 则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集,则函数不存在.(4)抽象 函数的定义域:①对在同一对应法则 f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的;②函数 g(x)中的自变 量是 x,所以求 g(x)的定义域应求 g(x)中的 x 的范围. 【命题方向】高考会考中多以小题形式出现,也可以是大题中的一小题. 5.函数的值域 【知识点的认识】函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.A 是函数的定义域. 【解题方法点拨】(1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法:配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等. 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域. (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目. 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力. 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强. (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和 数学建模能力.
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【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一,有时在函数与导数的压轴题中出现,是常 考题型. 6.函数的最值及其几何意义 【知识点的认识】 函数最大值或最小值是函数的整体性质,从图象上看,函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵 坐标,求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值,然后进行比较可得. 【解题方法点拨】 ①基本不等式法:如当 x>0 时,求 2x+ 的最小值,有 2x+ ≥2 =8;

②转化法:如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值,那么可以看成是数轴上的点到 x=5 和 x=3 的距离之和,易知最小值为 2; ③求导法:通过求导判断函数的单调性进而求出极值,再结合端点的值最后进行比较. 【命题方向】 本知识点是常考点,重要性不言而喻,而且通常是以大题的形式出现,所以务必引起重视.本知识 点未来将 仍然以复合函数为基础,添加若干个参数,然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者 参数的范围.常用方法有分离参变量法、多次求导法等. 7.根的存在性及根的个数判断 【根的存在性及根的个数判断】 第一个定理应该叫介值定理.内容是如果一个连续的函数 f(x),[a,b]在这个函数的定义域内,并且 f(a) 与 f(b)异号,那么存在 c∈[a,b]使得 f(c)=0 也就是 c 是方程 f(x)=0 的根 第二个定理可以叫 Rolle 定理 如果函数 f(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且 f(a)=f(b),那么在(a,b) 内 至少有一点 ξ (a<ξ<B),使得函数 f′(ξ)= =0,这个可以判断出导函数零点是否存在.

第三个定理是代数学基本定理 任何复系数一元 n 次方程在复数域上至少有一根(n≥1)由此推出,n 次复系数多项式方程在复数域内有且只 有 n 个根(重根按重数计算),这个是复数域上,高考较少涉及. 【判定方法】 这里面用的比较多的是 f(a)?f(b)<0 和数形结合法,我们以具体例子为例: x 例题:判断函数 f(x)=e ﹣5 零点的个数 3 解:法一 f(0)=﹣4<0,f(3)=e ﹣5>0, ∴f(0)?f(3)<0. x 又∵f(x)=e ﹣5 在 R 上是增函数, x ∴函数 f(x)=e ﹣5 的零点仅有一个. x x 法二 令 y1=e ,y2=5,画出两函数图象,由图象可知有一个交点,故函数 f(x)=e ﹣5 的零点仅有一个

【高考趋势】 根的存在问题相对来说是零点里头最重要的一个点,也是比较常考的点,一般都是以中档题的形式在选择题 里出现,在解这种题的时候,做出函数图象是首要选择,然后根绝图形去寻找答案.
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8.导数在最大值、最小值问题中的应用 【知识点的知识】 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是 函数的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),是极大值点. 2、极小值 一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),是极小值点. 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味 着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. (ⅲ) 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x1 是极大值点, x4 是极小值点,而 f(x4)>f(x1).

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点 4、判别 f(x0)式极大值、极小值的方法: 若 x0 满足 f′(x0)=0,且在 x0 的两侧 f(x)的导数异号,则 x0 是 f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 f′ (x)在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左负 右正”,则 x0 是 f(x)的极小值点,f(x0)是极小值. 5、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左 右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得 极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值
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观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数 f(x)的图象.图中 f(x1)与 f(x3)是极小值,f(x2)是极大值.函 数 f(x)在[a,b]上的最大值是 f(b),最小值是 f(x1). 一般地,在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 说明:(1)在开区间(a,b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值.如函数 f(x)= 在(0,+∞)内 连续,但没有最大值与最小值; (2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. (3)函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,是 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出 函数的最值了. 设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求 f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; (2)将 f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较得出函数 f(x)在[a,b]上的最值. 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点: (1)按定义,极值点 x0 是区间[a,b]内部的点,不会是端点 a,b(因为在端点不可导). (2)极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数 在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说极大值与 极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小. (3)若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. (4)若函数 f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个 极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地,当函数 f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值 点时,函数 f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的, (5)可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值点,不可导的点也可能是极值点,也 可能不是极值点. 9.简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一种重要的数学模型.简 单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出.我们高中阶段接触 的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域,然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值. 【例题解析】 例:若目标函数 z=x+y 中变量 x,y 满足约束条件 .

(1)试确定可行域的面积; (2)求出该线性规划问题中所有的最优解. 解:(1)作出可行域如图:对应得区域为直角三角形 ABC, 其中 B(4,3),A(2,3),C(4,2), 则可行域的面积 S= = .

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(2)由 z=x+y,得 y=﹣x+z,则平移直线 y=﹣x+z, 则由图象可知当直线经过点 A(2,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最小, 此时 z 最小为 z=2+3=5, 当直线经过点 B(4,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最大, 此时 z 最大为 z=4+3=7, 故该线性规划问题中所有的最优解为(4,3),(2,3) 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型,解这种题一律先画图,把每条直线在同一个坐标系中表示出来, 然后确定所表示的可行域,也即范围;最后通过目标函数的平移去找到它的最值. 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛,因此具有很高的实用价值,所以也成为了高考的一个热点.大家在备考的时候, 需要学会准确的画出可行域,然后会平移目标曲线. 10.数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和,一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等,常用的方 法包括: (1)公式法: ①等差数列前 n 项和公式:Sn=na1+ n(n﹣1)d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式:

③几个常用数列的求和公式:

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(2)错位相减法: 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和,其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法: 适用于求数列{ }的前 n 项和,其中{an}为各项不为 0 的等差数列,即 = ( ).

(4)倒序相加法: 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加, 就可以得到 n 个(a1+an). (5)分组求和法: 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的 数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【典型例题分析】 典例 1:已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求 an 及 Sn; (Ⅱ)令 bn= (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*

分析:形如

的求和,可使用裂项相消法如: .

解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3=7,a5+a7=26, ∴ ,解得 a1=3,d=2,

∴an=3+2(n﹣1)=2n+1;
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Sn= =n +2n.
2

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=2n+1, ∴bn= = = = ,

∴Tn= 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= .

=

=



点评:该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法,这也是数列求和当中常用的方法,就像友情提示那样,两个 等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和. 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点,大家要学会上面所列的几种最基本的方法,即便是放缩也要往这里面考. 11.平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①( ± ) =
2 2

±2 ? +

2

.②( ﹣ ) ( + )=

2



2

.③ ?( ? )

≠( ? )? ,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的,有些不一样. 【例题解析】 例:由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“ ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( ③“t≠0,mt=nt?m=n”类比得到“ ④“|m?n|=|m|?|n|”类比得到“| |=| |?| |”; )? = ”; ” )? = ? ”; ”;

⑤“(m?n)t=m(n?t)”类比得到“(

⑥“

”类比得到



以上的式子中,类比得到的结论正确的是 ①② .

解:∵向量的数量积满足交换律, ∴“mn=nm”类比得到“ 即①正确; ∵向量的数量积满足分配律, ∴“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 即②正确;
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”,

)? =

”,

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∵向量的数量积不满足消元律, ∴“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到“ 即③错误; ∵| |≠| |?| |, |=| |?| |”; ?

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”,

∴“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| 即④错误; ∵向量的数量积不满足结合律,

∴“(m?n)t=m(n?t)”不能类比得到“( 即⑤错误; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴ ”不能类比得到 ,

)? =

”,

即⑥错误. 故答案为:①②. 向量的数量积满足交换律, 由“mn=nm”类比得到“ 类比得到“( “ )? = ? ”;| ”; 向量的数量积满足分配律, 故“ (m+n) t=mt+nt”

”;向量的数量积不满足消元律,故“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到 |≠| |?| |,故“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| )? = |=| |?| |”;向量的数量积不满

足结合律,故“(m?n)t=m(n?t)”不能类比得到“(

”;向量的数量积不满足消元律,故

”不能类比得到



【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也是一个常考点,题目相对来说也不 难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握. 12.虚数单位 i 及其性质 【虚数单位 i 的概念】 2 i 是数学中的虚数单位,i =﹣1,所以 i 是﹣1 的平方根.我们把 a+bi 的数叫做复数,把 a=0 且 b≠0 的数叫做 纯虚数,a≠0,且 b=0 叫做实数.复数的模为 .

【复数的运算】 ①复数的加法,若 M=a+bi,N=c+di,那么 M+N=(a+c)+(b+d)i,即实部与实部相加,虚部与虚部相加. ②复数的乘法,若 M=a+bi,N=c+di,那么 M?N=(ac﹣bd)+(ad+bc)i,与多项式乘法类似,只不过要加上 i. 【例题解析】 例:定义运算
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,则符合条件

的复数 z 为.
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= =3﹣i.

解:根据定义,可知 1×zi﹣(﹣1)×z=4+2i,即 z(1+i)=4+2i,∴z=

这个题很好地反应了复数的一般考法,也就是考查复数的运算能力,其中常常用到复数与复数相除.这个题的第 一步先把复数当做一个整体进行运算,第二部相除,思路就是把分母变成实数,方法就是乘以它的共轭复数(虚 数前面的符号变为相反既是).处理这种方法外,有的时候还需要设出复数的形式为 a+bi,然后在求出 a 和 b, 这种类型的题一般用待定系数法. 【考点分析】 复数考查的比较基础,需要掌握的主要是一要会运算,特别是如何把复数的分母变成实数;二要学会待定系 数法;三是会求模. 13.频率分布直方图 【知识点的认识】 1.频率分布直方图:在直角坐标系中,横轴表示样本数据,纵轴表示频率与组距的比值,将频率分布表中的各组 频率的大小用相应矩形面积的大小来表示,由此画成的统计图叫做频率分布直方图.

2.频率分布直方图的特征 ①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值,所有小矩形面积和为 1. ②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势. ③从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息被抹掉. 3.频率分布直方图求数据 ①众数:频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标. ②平均数:频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和. ③中位数:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 y 轴的直线横坐标. 【解题方法点拨】 绘制频率分布直方图的步骤:

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14.随机抽样和样本估计总体的实际应用 【知识点的知识】 1、样本与总体. ①总体:我们所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体. ②样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本的容量. 2、三种抽样方法 类别 共同点 简单随机抽样 抽样过程中每 个个体被抽取 系统抽样 的概率是相同 的

分层抽样

各自特点 相互联系 从总体中逐个 抽取 将总体均匀分 在起始部分抽 成几个部分,按样时采用简单 事先确定的规 随机抽样 则在各部分抽 取 将总体分成几 各层抽样时采 层,分层进行抽用简单随机抽 取 样或系统抽样

适用范围 总体中的个体 数较少 总体中的个体 数较多

总体由差异明 显的几部分组 成

3、用样本估计总体: (1)用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法.当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取 样本的不同数值及其相应的频率来表示,其几何表示就是相应的条形图,当总体中的个体取不同值较多,甚至无 限时,其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识.
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(2)用样本估计总体,除在整体上用样本的频率分布去估计总体的分布以外,还可以从特征数上进行估计,即用 样本的平均数去估计总体的平均数,用关于样本的方差(标准差)去估计总体的方差(标准差). 15.变量间的相关关系 【知识点的知识】 1、变量之间的相关关系 两个变量之间的关系可能是确定的关系(如:函数关系),或非确定性关系.当自变量取值一定时,因变量 也确定,则为确定关系;当自变量取值一定时,因变量带有随机性,这种变量之间的关系称为相关关系.相关关 系是一种非确定性关系,如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系,而人的身高与体重的关系,学生 的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系. 2、线性相关和非线性相关: 两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关,如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近, 则变量之间具有相关关系(不确定性的关系),如果所有样本点都落在某一直线附近,那么变量之间具有线性相 关关系,相关关系只说明两个变量在数量上的关系,不表明他们之间的因果关系,也可能是一种伴随关系. 3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系 (1)相同点:两者均是两个变量之间的关系. (2)不同点:函数关系是一种确定的关系,如匀速直线运动中时间 t 与路程 s 的关系,相关关系是一种非确定的 关系,如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系,函数关系是两个随机变量之间的关系,而相关关系是非随机 变量与随机变量之间的关系;函数关系式一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. 16.几何概型 【考点归纳】 1.定义:若一个试验具有下列特征: (1)每次试验的结果有无限多个,且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示; (2)每次试验的各种结果是等可能的. 那么这样的试验称为几何概型. 2.几何概率:设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域 Ω,事件 A 所对应的区域用 A 表示(A?Ω), 则 P(A)= 称为事件 A 的几何概率.

17.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换 【知识点的知识】 函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤

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两种变换的差异 先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量 是 (ω>0)个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对 x 而言的.

【解题方法点拨】 1.一个技巧 列表技巧:表中“五点”中相邻两点的横向距离均为 ,利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标. 2.两个区别 (1) 振幅 A 与函数 y=Asin (ωx+φ) +b 的最大值, 最小值的区别: 最大值 M=A+b, 最小值 m=﹣A+b, 故 A= .

(2)由 y=sin x 变换到 y=Asin (ωx+φ)先变周期与先变相位的(左、右)平移的区别:由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先 周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x

而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值. 3.三点提醒 (1)要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象; (2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数; (3)由 y=Asin ωx 的图象得到 y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平移的单位数应为 ,而不是|φ|.

18.由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式 【知识点的知识】 根据图象确定解析式的方法: 在由图象求三角函数解析式时, 若最大值为 M, 最小值为 m, 则 A= 求出,φ 由特殊点确定. 19.解三角形的实际应用 【知识点的知识】 1.已知两角和一边(如 A、B、C),由 A+B+C=π 求 C,由正弦定理求 a、b.
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, k=

, ω 由周期 T 确定, 即由

=T

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2. 已知两边和夹角 (如 a、 b、 c) , 应用余弦定理求 c 边; 再应用正弦定理先求较短边所对的角, 然后利用 A+B+C=π, 求另一角. 3.已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A),应用正弦定理求 B,由 A+B+C=π 求 C,再由正弦定理或余弦定 理求 c 边,要注意解可能有多种情况. 4.已知三边 a、b、c,应用余弦定理求 A、B,再由 A+B+C=π,求角 C. 5.方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般 指锐角),通常表达成.正北或正南,北偏东××度,北偏西××度,南偏东××度,南偏西××度. 6.俯角和仰角的概念: 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中 OD、 OE 是视线,是仰角,是俯角.

7.关于三角形面积问题 ①S△ ABC=\frac{1}{2}aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高); ②S△ ABC= absinC= bcsinA= acsinB; ③S△ ABC=2R sinAsinBsinC.(R 为外接圆半径) ④S△ ABC= ⑤S△ ABC= ; ,(s= (a+b+c));
2

⑥S△ ABC= r?s,( r 为△ ABC 内切圆的半径) 20.圆的标准方程 【知识点的认识】 1.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点叫做圆心,定长就是半径. 2.圆的标准方程: 2 2 2 (x﹣a) +(y﹣b) =r (r>0), 其中圆心 C(a,b),半径为 r. 特别地,当圆心为坐标原点时,半径为 r 的圆的方程为: 2 2 2 x +y =r . 其中,圆心(a,b)是圆的定位条件,半径 r 是圆的定形条件. 【解题思路点拨】 已知圆心坐标和半径,可以直接带入方程写出,在所给条件不是特别直接的情况下,关键是求出 a,b,r 的值再 代入.一般求圆的标准方程主要使用待定系数法.步骤如下: 2 2 2 (1)根据题意设出圆的标准方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ; (2)根据已知条件,列出关于 a,b,r 的方程组; (3)求出 a,b,r 的值,代入所设方程中即可. 另外,通过对圆的一般方程进行配方,也可以化为标准方程. 【命题方向】
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可以是以单独考点进行考查,一般以选择、填空题形式出现,a,b,r 值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥 曲线、对称等内容相结合,以增加解题难度.在解答题中,圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合 问题的第一问中,难度不大,关键是读懂题目,找出 a,b,r 的值或解得圆的一般方程再进行转化. 2 2 例 1:圆心为(3,﹣2),且经过点(1,﹣3)的圆的标准方程是 (x﹣3) +(y+2) =5 分析:设出圆的标准方程,代入点的坐标,求出半径,求出圆的标准方程. 2 2 2 解答:设圆的标准方程为(x﹣3) +(y+2) =R , 2 2 2 由圆 M 经过点(3,5)得 R =5,从而所求方程为(x﹣3) +(y+2) =5, 2 2 故答案为(x﹣3) +(y+2) =5 点评:本题主要考查圆的标准方程,利用了待定系数法,关键是确定圆的半径. 例 2:若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x﹣3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是( ) 2 2 A.(x﹣2) +(y﹣1) =1 2 2 B.(x﹣2) +(y+1) =1 2 2 C.(x+2) +(y﹣1) =1 2 2 D.(x﹣3) +(y﹣1) =1 分析:要求圆的标准方程,半径已知,只需找出圆心坐标,设出圆心坐标为(a,b),由已知圆与直线 4x﹣3y=0 相切,可得圆心到直线的距离等于圆的半径,可列出关于 a 与 b 的关系式,又圆与 x 轴相切,可知圆心纵坐标的 绝对值等于圆的半径即|b|等于半径 1,由圆心在第一象限可知 b 等于圆的半径,确定出 b 的值,把 b 的值代入求出 的 a 与 b 的关系式中,求出 a 的值,从而确定出圆心坐标,根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可. 解答:设圆心坐标为(a,b)(a>0,b>0), 由圆与直线 4x﹣3y=0 相切,可得圆心到直线的距离 d= 化简得:|4a﹣3b|=5①, 又圆与 x 轴相切,可得|b|=r=1,解得 b=1 或 b=﹣1(舍去), 把 b=1 代入①得:4a﹣3=5 或 4a﹣3=﹣5,解得 a=2 或 a=﹣ (舍去), ∴圆心坐标为(2,1), 则圆的标准方程为:(x﹣2) +(y﹣1) =1. 故选:A 点评:此题考查了直线与圆的位置关系,以及圆的标准方程,若直线与圆相切时,圆心到直线的距离 d 等于圆的 半径 r,要求学生灵活运用点到直线的距离公式,以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程. 2 2 例 3:圆 x +y +2y=1 的半径为( ) A.1 B. C.2 D.4 分析:把圆的方程化为标准形式,即可求出圆的半径. 2 2 2 2 解答:圆 x +y +2y=1 化为标准方程为 x +(y+1) =2, 故半径等于 , 故选 B. 点评:本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义,把圆的方程化为标准形式,是解题的关键. 21.圆的切线方程 【知识点的认识】 圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程,特点是与圆只有一个交点,且过圆心与切点的直线垂直切线. 圆的切线方程的类型: (1)过圆上一点的切线方程:对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率,继而求出 直线方程
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2 2

=r=1,

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(2)过圆外一点的切线方程.这种情况可以先设直线的方程,然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率 的值,进而求出直线方程. 【实例解析】 2 2 例 1:已知圆:(x﹣1) +y =2,则过点(2,1)作该圆的切线方程为 . 2 2 解:圆:(x﹣1) +y =2,的圆心为 C(1,0),半径 r= . ①当直线 l 经过点 P(2,1)与 x 轴垂直时,方程为 x=2, ∵圆心到直线 x=2 的距离等于 1 ,∴直线 l 与圆不相切,即 x=2 不符合题意; ②当直线 l 经过点 P(2,1)与 x 轴不垂直时,设方程为 y﹣1=k(x﹣2),即 kx﹣y+1﹣2k=0. 2 2 ∵直线 l 与圆:(x﹣1) +y =2 相切, ∴圆心到直线 l 的距离等于半径,即 d= = ,解之得 k=﹣1,

因此直线 l 的方程为 y﹣1=﹣(x﹣2),化简得 x+y﹣3=0. 综上所述,可得所求切线方程为 x+y﹣3=0. 这里讨论第一种情况是因为 k 不一定存在,所以单独讨论,用的解题思想就是我上面所说,大家可以对照着看 就是. 2 2 例 2:从点 P(4,5)向圆(x﹣2) +y =4 引切线,则圆的切线方程为 . 2 2 解:由圆(x﹣2) +y =4,得到圆心坐标为(2,0),半径 r=2, 当过 P 的切线斜率不存在时,直线 x=4 满足题意; 当过 P 的切线斜率存在时,设为 k, 由 P 坐标为(4,5),可得切线方程为 y﹣5=k(x﹣4),即 kx﹣y+5﹣4k=0, ∴圆心到切线的距离 d=r,即 =2,

解得:k=

, (x﹣4),即 21x﹣20y+16=0,

此时切线的方程为 y﹣5=

综上,圆的切线方程为 x=4 或 21x﹣20y+16=0. 这个例题用的方法也是前面所说,但告诉我们一个基本性质,即圆外的点是可以做两条切线的,所以以后解题 只求出一条的时候就要想是不是少写了一种. 【考点分析】 本考点也是比较重要的一个知识点,但解题方法很死板,希望大家都能准确的掌握,确保不丢分. 22.椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆标准方程的两种形式: (1) (a>b>0),焦点在 x 轴上,焦点坐标为 F(±c,0),焦距|F1F2|=2c;

(2)

(a>b>0),焦点在 y 轴上,焦点坐标为 F(0,±c),焦距|F1F2|=2c.
2 2 2

两种形式相同点:形状、大小相同;都有 a>b>0;a =b +c 两种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同.
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标准方程 (a>b>0) 中心在原点,焦点在 x 轴上 图形

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(a>b>0) 中心在原点,焦点在 y 轴上

顶点 对称轴

焦点 焦距 离心率 准线

A(a,0),A′(﹣a,0) A(b,0),A′(﹣b,0) B(0,b),B′(0,﹣b) B(0,a),B′(0,﹣a) x 轴、y 轴,长轴长 2a,短轴长x 轴、y 轴,长轴长 2a,短轴长 2b 2b 焦点在长轴长上 焦点在长轴长上 F1(﹣c,0),F2(c,0) F1(0,﹣c),F2(0,c) |F1F2|=2c(c>0) |F1F2|=2c(c>0) 2 2 2 2 2 2 c =a ﹣b c =a ﹣b e= (0<e<1) x=± e= (0<e<1) y=±

23.双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 (a>0,b>0) 图形

(a>0,b>0)

焦点 焦距 范围 对称
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F1(﹣c,0),F2( c,0) |F1F2|=2c |x|≥a,y∈R 关于 x 轴,y 轴和原点对称

F1(0,﹣c), F2(0,c) 2 2 2 a +b =c |y|≥a,x∈R
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顶点 性 轴 离心率 准线 质 渐近线

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(0,﹣a)(0, a)

(﹣a,0).(a,0) 实轴长 2a,虚轴长 2b e= (e>1) x=± ± =0

y=± ± =0

24.直线与圆锥曲线的关系 【直线与圆锥曲线的关系】 直线与圆锥曲线的关系主要是相不相交,交点个数为多少,由此而引出的圆锥曲线到直线的距离,圆锥曲线 与直线相切,直线截圆锥曲线的线段长度等问题,是高考的一个重点,也是高考的一个难点.下面简单的说一个 例题供大家参悟. 【例题讲解】 例:已知△ ABC 的两个顶点 A,B 的坐标分别是(0,﹣1),(0,1),且 AC,BC 所在直线的斜率之积等于 m (m≠0). (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种圆锥曲线; (2)当 m=﹣ 时,过点 F(1,0)的直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q(M,Q 不重 合) 试问:直线 MQ 与 x 轴的交点是否为定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由. 解:(1)设点 C(x,y),由 AC,BC 所在直线的斜率之积等于 m(m≠0), 得: ,化简得:﹣mx +y =1(x≠0).
2 2

当 m<﹣1 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,﹣1)两点; 当 m=﹣1 时,轨迹 E 表示以(0,0)为圆心,半径是 1 的圆,且除去(0,1),(0,﹣1)两点; 当﹣1<m<0 时,轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,﹣1)两点; 当 m>0 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去(0,1),(0,﹣1)两点. (2)当 m=﹣ 时,曲线 E 的方程为 .

由题意可知直线 l 的斜率存在切不等于 0,则可设 l:y=k(x﹣1), 再设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,﹣y2) (x1≠x2). 联立 ,得(1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0.
2 2 2 2

∴ ∵M,Q 不重合,则 x1≠x2,y1≠﹣y2. ∴MQ 所在直线方程为





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令 y=0,得

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=

=



∴直线 MQ 过定点(2,0). 这个题符合高考的一贯命题思路,先求曲线表达式,第二问讨论的是直线与点的关系,严格的来说线段也可以 说是点的关系.解题思路就是应用韦达定理,把直线的自变量和因变量都用 x1,x2 和参数 k 表示,然后看自变量 和因变量的关系,应该说思路不难,难点在于计算,这也告诉大家,要解决好这类题,计算能力必须加强,另外, 考的时候尽量合理利用时间. 【考点点评】 本考点是非常重要的一个考点,基本上都是作为压轴题的形式在考试中出现,解决这类题除了掌握常用的一 些方法外,还需要加强计算的能力,在考试当中尽量的多拿分. 25.棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式: V 柱=sh,V 锥= Sh.

26.直线与平面垂直的判定 【知识点的认识】 直线与平面垂直: 如果一条直线 l 和一个平面 α 内的任意一条直线都垂直,那么就说直线 l 和平面 α 互相垂直,记作 l⊥α,其中 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面. 直线与平面垂直的判定: (1)定义法:对于直线 l 和平面 α,l⊥α?l 垂直于 α 内的任一条直线. (2)判定定理 1:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. (3)判定定理 2:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 27.不等式的证明 【知识点的知识】 证明不等式的基本方法: 1、比较法: (1)作差比较法 ①理论依据:a>b?a﹣b>0;a<b?a﹣b<0. ②证明步骤:作差→变形→判断符号→得出结论. 注:作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系. (2)作商比较法 ①理论依据:b>0, >1?a>b;b<0, <1?a<b; ②证明步骤:作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论.
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2、综合法 (1)定义:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得到命题成立,这种 证明方法叫做综合法.综合法又叫做推证法或由因导果法. (2)思路:综合法的思索路线是“由因导果”,也就是从一个(组)已知的不等式出发,不断地用必要条件代替前 面的不等式,直至推导出要求证明的不等式. 3、分析法 (1)定义:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. (2)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从要证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式, 直到打到已知不等式为止. 注:综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理清楚.当问题比较复杂时, 通常把分析法和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路,用综合法叙述、表达整个证明过程. 4、放缩法 (1)定义:证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这 种证明方法称为放缩法. (2)思路:分析证明式的形式特点,适当放大或缩小是证题关键. 常用的放缩技巧有:

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