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高中数学竞赛综合练习(14)


高中数学竞赛综合练习题(14)
班级:__________学号:__________姓名:___________

一、填空题
1、设 a, b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是 24·3·2· 那么这样的有序正整数对(a, b)有 3 7 11, _ 组. 1 2、方程 16sinπxcosπx=16x+ 的解集合为 x 3、三棱锥 S

? ABC 是三条侧棱两两垂直的三棱锥, O 是底面 ?ABC 内的一点, 那么 W ? tan ?OSA ? tan ?OSB ? tan ?OSC 的最小值是______________
2 4、对任意 x, y ? R ,代数式 M ? 2 x ? 6 x ? 5 ?

y 2 ? 4 y ? 5 ? 2 x 2 ? 2 xy ? y 2 的最小值

为________ 5、计算: sin

?
2011

sin

2? 3? 2010? sin ?sin ? _______________ 2011 2011 2011

6、篮球场上有 5 个人在练球,其战术是由甲开始发球(第一次传球) ,经过六次传球跑动后 (中途每人的传球机会均等) 回到甲, 由甲投 3 分球, 其中不同的传球方式为___________ 种. 7、对 ?x, y ? R ,函数 f ( x, y ) 都满足:① f (0, y) ? y ? 1 ;② f ( x ? 1,0) ? f ( x,1) ; ③ f ( x ? 1, y ? 1) ? f ( x, f ( x ? 1, y)) ;则 f (3, 2011) ? __________________
2 n ?1

8、设 2n 个实数 a1 , a2 ,?, a2 n 满足条件

? (a
i ?1

i ?1

? ai ) 2 ? 1

则 ? ? (an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 的最大值为________________ 9. 已知 f ( x) ? x ? (b ? 4 ? a ) x ? 3a ? b 是偶函数, 则函数图像与 y 轴交点的纵坐标的最大值 是 1 2 2 2 10. 对所有的实数 x 及 1 ? t ? 2 均有 ( x ? t ? 2) ? ( x ? at ) > , 则实数 a 的取值范围是 8 ______ .
2 2

二、解答题 11.设由不超过 1000 的两个正整数组成的数对 (m, n) 满足条件:
试求所有这样的数对 (m, n) 的个数.

m m ?1 . ? 2? n ?1 n

12. P 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点, F1 , F2 是椭圆的焦点, PF1 , PF2 分别交椭圆
与 A, B 两点,求证:

x2

y2

| PF1 | | PF2 | 是定值. ? | F1 A | | F2 B |

13. 数列{an}满足对任意 n∈N*, ? ai ? 1 ? ? (ai ? 1) ,求 ? ai ? i 的最小值.
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

2003

14. 给定大于 2011 的正整数 n ,将 1, 2,3,?, n 2 分别填入 n ? n 的棋盘的方格中,使每个方
格恰有一个数,如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2011 个方格内所填的数,且 大于它所在列至少 2011 个方格内所填的数,则称这个方格为“优格” ,求棋盘中“优格” 个数的最大值.

高中数学竞赛综合练习题(14)答案
1、设 a ? 2 ? 3 2 ? 7 3 ?11 4 , b ? 2 1 ? 3 2 ? 7 3 ?11 4 , 则有
?1 ? ? ? ? ? ? ?

{?1 , ?1}max ? 4,{? 2 , ? 2 }max ? 3,{?3 , ?3}max ? 2,{? 4 , ? 4 }max ? 1 . 故有序正整数对(a, b)有 (2 ? 4 ? 1)(2 ? 3 ? 1)(2 ? 2 ? 1)(2 ?1 ? 1) =945 组.
1 1 2、当 x>0 时,16x+ ≥8,(x= 取到等号)而 x 4 1 ,(x= + 4 1 k, k∈Z 取到等号), 于是有当 x>0 时,方程只有一个解 x= 。由于奇函数的性质,可知 4 1 x= 是方程的另一解。 4 1 1 故方程的解集合为{ , - } 4 4 3、解:由 cos ?OSA ? cos ?OSB ? cos ?OSC ? 1 ,
2 2 2

得 sin ?OSC ? cos ?OSA ? cos ?OSB ≥ 2cos ?OSA ? cos ?OSB ,
2 2 2

同理还有两个不等式,则 W≥ 2 2 . 4 、 解 : 配 方 得 M ?

( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? ( x ? y ) 2 , 设 A( 1 , 2B) ,x x( , C , , y ( 0 , ) ) 点 A 关于直线 y ? x 的对称点为 A1 (2,1) ,关于 y 轴的对称点为 A2 (?1, 2) ,
所以: M ?| AB | ? | AC | ? | BC |?| A1B | ? | A2C | ? | BC | ≥ | A1 A2 |? 10 .

2? 2? , 则 z1 是方程 z n ? 1 的根, ? i sin n n 2 n ?1 2 n ?1 则 1 ? z ? z ? z ? ( z ? z1 )( z ? z1 )? ( z ? z1 ) , ? 2? (n ? 1)? ,令 n ? 2011 ,则原 ? n ?| (1 ? z1 )(1 ? z12 )? (1 ? z1n?1 ) |? 2n?1 sin sin ?sin n n n 2011 式= 2010 2 n ?1 6、解:设经过 n 次传球跑动后回到甲的不同传球方式为 an ( n ≥2) ,则 an ? an ?1 ? 4 ,
5、解:设 z1 ? cos
5 4 3 2 所以 a6 ? (a6 ? a5 ) ? (a5 ? a4 ) ? ?? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 820

7










n ?3






2014





f (1, n) ? n ? 2 f (2, n) ? 2n ? 3 f (3, n) ? 2 ? 3 . f (3, 2011) ? 2 8、解: 当 n ≥2 时,令 x1 ? a1 , xi ?1 ? ai ?1 ? ai i ? 1, 2,3,?, 2n ? 1
2 n ?1

?3

则 所

?x
i?2

2 i

? 1 , ai ? x1 ? x2 ? ? ? xi
以 :
2

? ? n( 1 ?

???

n

?

?

?

?

?

??? x

?

?) ?

n

???

x

? x2 ? 2 x3 ? ? ? (n ? 1) xn ? nxn?1 ? (n ? 1) xn? 2 ? ? ? x2 n
≤ (1 ? 2 ? ? ? n ? ? ? 1 )
2 2 2 2 2 n ?1 i ?2

? xi2 ?


9





f ( x)







n(2n 2 ? 1) . 3 , ∴ f (? x) ? f ( x)

,



x 2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 3a ? b ? x 2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 3a ? b , (b ? 4 ? a 2 ) x ? 0 , b ? 4 ? a 2 .

f ( x) 的 图 像 与 y 轴 交 点 的 纵 坐 标 是

3a ? b ? 3a ? 4 ? a 2 ,
设 a=2cosθ, b=2sinθ, θ∈[0, π], 3a-b=6cosθ-2sinθ, 当 θ=π 时,最大为 6 10、 2[( x ? t ? 2) ? ( x ? at ) ] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )]
2 2 2 2 2 2 2

2[( x ? t 2 ? 2)2 ? ( x ? at )2 ] ? (2 x ? t 2 ? 2 ? at )2 ? (t 2 ? 2 ? at )2 1 1 即 (2 x ? t 2 ? 2 ? at ) 2 ? (t 2 ? 2 ? at ) 2 ? 恒成立, 则 (t 2 ? 2 ? at ) 2 ? , 4 4 3 5 t2 ? t2 ? 1 1 2 或 a? 2 . 即 t 2 ? 2 ? at ? 或 t 2 ? 2 ? at ? ? . a? 2 2 t t 3 3 2 t2 ? t2 ? 2 ? 6, 2? t t 3 t2 ? 6 3 2 2) ? 6 . ? [1, 2] .故 a ? ( 当且仅当 t ? , 即 t ? min 2 2 t 5 5 5 5 t2 ? t2 ? 12 ? 2 ? t ? 2 在 [1, 2] 单调递减, 故 a ? ( 2) ? 2?7. 又易知函数 max t t t 1 2 7 综上可知, 实数 a 的取值范围是 (??, 6) ? ( , ??) . 2
11、解:由



m m ?1 可得 2n ? 1 ? m ? 2(n ? 1) ? 2? n ?1 n 对 于 每 个 n , 在 这 个 范 围 内 的 [ 2(n ? 1)] ? [ 2n ? 1] ? [ 2(n ? 1)] ? [ 2n] ? 1











又 707 2 ? 1000 ? 708 2 , 则 n ≤707, 但当 n ? 707 时, m ? 999,1000 所以:数对 (m, n) 的总数为
706

? ([
n ?1

706

2(n ? 1)] ? [ 2n] ? 1) ? 2

? ? ([ 2(n ? 1)] ? [ 2n]) ? 708
n ?1

? 708 ? [707 2] ? [ 2] ? 708 ? 999 ? 1 ? 1706
12、证明:如图, 由椭圆的定义知: | PP |? 1

| PF1 | , | F1M |? p , e

P
P1 M A1

| AA1 |?

| FA1 | 其中 e 为该椭圆的离心率, e

p 为该椭圆的焦准距.由相似形及和分比定理得: | PF1 | | AF1 | ? | AP | | AF1 | ? | F1P | e e ? | PF1 | ? | AF1 | ? 2 | PF1 | ? ? | AF1 | | AF1 | | AF1 | ep ? | AF1 | ep p? e | PF1 | 2 | PF1 | | PF2 | 2 | PF2 | ? ? 1 , 同理可得: ? ?1 所以: | AF1 | ep | BF2 | ep

A

F1

F2

B

所以:

| PF1 | | PF2 | 2 4a 4a 2 ? (| PF1 | ? | PF2 |) ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 为定值. ? ep b | F1 A | | F2 B | ep

13. 由已知:

? ai ? 1 ? ? ?ai ? 1? ,从而还有 ? ai ? 1 ? ? ?ai ? 1?
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n ?1

n ?1

以上两式相减,得 ?a n ?1 ? 1? (1)若数列中所有项均为 1,则

? ai ? an?1 ? 1, 故 an?1 ? 1或? ai ? 1 . ①
i ?1 2003 i ?1

n

n

?a
i ?1

i

?i ?

2003 i ?1

? 1 ? i ? ? j ? 2005003 .
j ?0

2002

(2)若数列中所有项不均为 1,设 a1=a2=?am?1=1(m=1 时该式省去),am≠1. ①中,取 n=m, 有 am+1=1 或 a1a2?am?1am=1. 由前面所设,a1a2?am-1am=am ≠1∴am+1=1.设 am+k=am+k-1=?am+1=1, 则①中,取 n=m+k, 有 am+ k+1=1 或 a1a2?am+k=1,同理,只可能是 am+ k+1=1. 另外,由下式②可说明,当 am ≠1,n≥m 时,可以保证条件成立:

? ai ? am ? ai ? am ? ?am ? 1? ? 1 ? ? ?ai ? 1? ? 1 ? ? ?ai ? 1?.②
i ?1 1?i ? n i?m 1?i ? n i?m i ?1

m

n

当 m>2003 时,归为(1)的情形. 若 1 ≤ m
2


2 0

2003


2



?a
i ?1

i

?i ?

0 2

? j? a
j ?0

0 0 m

? m ? 1? m ?

3 0

2

? j?0?2
j ?0

?2 0

0

0 . 0

0 2

3

0

综上,当 a1=a2=?a2002=1,a2003=2003 时,取最小值,等于 2003001. 14、解:定义一个方格中填的数大于它所在行至少 2011 个方格中所填的数,则称此格为行 优的. 又每一行中填较小的 2011 个数的格子不是行优的, 得到每行中有 n ? 2011个格子为行优的. 另外,每一个“优格”一定是行优的,所以棋盘中“优格”个数≤ n(n ? 2011) . 将棋盘的第 i (i ? 1, 2,3,?, n) 行第 i, i ? 1,?, i ? 2010 (大于 n 时,取模 n 的余数)列中的 格子填入 “*” 再将 1, 2,3,?, 2011n 填入有 , “*” 的格子, 其余的数填入没有 “*” 的格子. 没 有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中填的数,所以,棋盘中没有“*”的格子都是 “优格” ,共有 n(n ? 2011) 个. 容易验证这种填法满足条件,所以“优格”个数的最大值为 n(n ? 2011) 个.


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