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湖北省宜昌市葛洲坝中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学(理)试题


宜昌市葛洲坝中学 2014-2015 学年第二学期 高一年级期中考试试卷
时间:120 分钟 总分:150 分

数学(理科) 试题
考试时间:2015 年 4 月

☆祝考试顺利☆
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) . 1.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B. ) C. a 2 ? b 2 D. a 3 ? b 3 )

1 1 ? a b

2.已知数列 a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an ,(n ? N ? ) ,则 a2011 的值是( A.

1

B.

?4

C.

4

D. 5 ) D.120°

3.Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 ( A.60° B.30°或 150° C. 60°或 120°

2014 4.各项都是正数的等比数列 {an } 中,3a1 , 1 a3 ,2a2 成等差数列,则 2012 ? ( a2013 ? a2011 2

a

?a

)

A. 1

B. 3

C. 6

D. 9

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a ? 3 , b ? 2 , cos( A ? B) ?

1 ,则 3

c ?(
(A) 4

) (B) 15 (C) 3 (D) 17

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 6.设 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值是( ?y ? 0 ?
B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图, 在四边形 ABCD 中, 已知 AD⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60°, ∠BCD=135°,则 BC 的长为 ( ). A. 4
A.8 2 B.9 2 C.14 2 D.8 3

)

8 .已知向量 a ? ( x, 2) , b ? (1, y ) ,其中 x ? 0, y ? 0 . 若 a ? b ? 4 ,则

1 2 ? 的最小值为 ( x y

)

A.

3 2

B. 2 ,且 B.100

C.

9 4
,则

D. 2 2 ( D.10200
2

9.已知函数 A.0

)

C.5050

10 .在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, cos ( ) (A)正三角形

A 1 b ? ? ,则 ?ABC 的形状为 2 2 2c
(D)等腰三角形

(B)直角三角形

(C)等腰直角三角形

11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S15>0,S16<0,则 项为( ) A.

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大的 a1 a2 a15

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S9 a9

D.

S8 a8

12. 如果有穷数列 即

a1 , a2 ,...,an (n ? N * ) 满足条件: a1 ? an , a2 ? an?1 ,...,an ? a1 ,

ai ? an?i ?1 , (i ? 1,2,...,n) 我 们 称 其 为 “ 对 称 数 列 ”. 例 如 : 数 列 1,2,3,3,2,1 和 数 列
{bn } 是项数不超过 2m(m ? 1, m ? N * ) 的“对

1,2,3,4,3,2,1 都为 “对称数列”。已知数列 称数列”,并使得 1,2,2 ,...,2
2 m ?1

依次为该数列中连续的前 m 项,则数列 )

{bn }

的前 2009 项和

S 2009
①2

所有可能的取值的序号为 (

2009

? 1 ② 2(2

2009

? 1) ③ 3 ? 2 m?1 ? 2 2 m?2010 ? 1 ④ 2 m?1 ? 2 2 m?2009 ? 1
B. ②③④ C.①②④ D. ①③④

A.①②③

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置 上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 13.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln ?1 ?

? ?

1? ? ,则 a5 ? n?

.

14.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 c ? 2a sin C, bc ? 4 ,则△ABC 的 面积等于__________。 15.已知 f ( x) ? ?

?1,x ? 0; ,则不等式 x ? ?x ? 2? ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是__________ ?? 1,x ? 0

16..将一个等差数列依次写成下表: 第 1 行:2 第 2 行:5811

第 3 行:1417202326 ?????????????????? 第 m 行: a( m,1) a( m,2) a( m,3) a( m,4) a( m,5) ?????? a( m,2m?1) (其中 a(i , j ) 表示第 i 行中的第 j 个数) 那么第 m 行的数的和是_________________. 三、解答题(共 70 分,要求写清楚解答过程) 17.已知集合 A ? {x |

6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0}. x ?1

(I)当 m =3 时,求 A ? (CR B) ; (Ⅱ)若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值.

18.在海岸 A 处,发现北偏西 75°的方向,距离 A2 海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏东 45°方向, 距离 A( 3 -1)海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截走私船. 此 时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 向北偏西 30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最 快追上走私船?

19.在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

20.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? an ,其中 n ? N .
*

(1)求证:数列 ?an ? 1? 是等比数列; (2)令 bn ? (2 ? n)( an ?1) ,求数列 ?bn ? 的最大项.

21.某公司欲建连成片的网球场数座,用288万元购买土地20000平方米,每座球场 的建筑面积为1000平方米,球场每平方米的平均建筑费用与所建的球场数有关,当该球 场建n座时,每平方米的平均建筑费用 f ?n ? 表示,且 f ?n ? ? a?1 ?

? ?

n -5? ,又 ? (其中 n ? N ) 20 ?

知建5座球场时,每平方米的平均建筑费用为400元. (1)为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和) ,公司 应建几座网球场? (2)若球场每平方米的综合费用不超过820元,最多建几座网球场?

22.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有

2Sn 1 2 2 * =an+1- n -n- ,n∈N . 3 3 n

1 1 1 7 + +?+ ? . a1 a2 an 4
4.B 10.B 参考答案 5.D 11.D 6.B 12.D
2 16. ? 2m ? 1? 3m ? 3m ? 2

1.D 7.A

2.A 8.C

3.C 9.C 14.1

13. 2 ? ln 5 .

15. ? ? ?, ? 2

? ?

3? ?

?

?

17. (I) A ? (?R B) ? {x | 3 ? x ? 5} ;(Ⅱ)m=8. 18.缉私船沿北偏西 60°的方向能最快追上走私船 【解析】由已知条件得,AB=2,AC= 3 -1,∠BAC=120°, ∴BC=

AB 2+AC 2-2 AB ? AC ? cos?BAC= 4+4-2 3+2 3-2= 6 .

在△ABC 中,

AB BC 2 = ,解得 sin∠ACB= ,∴∠ACB=45°, sin?ACB sin?BAC 2

∴BC 为水平线,设经过时间 t 小时后,缉私船追上走私船,则在△BCD 中, BD=10t,CD=10 3 t,∠DBC=120°,

3 10t ? BDsin?CBD 2 =1 , = sin∠BCD= CD 2 10 3t
∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏西 60°的方向能最快追上走私船. 19.(1) A ? 试题解析: (1)因为 f ( x) ? m ? n ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? 所以 2 sin( 2 A ? 解得 A ?

? 3 (2) 3 2

?
6

) ,且 f ( A) ? 1.

?
6

) ? 1 ,可得 2 A ?

?
6

?

?
6



? 或 A ? 0 (舍) 3

5? . 6

(2)由余弦定理得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? ( 3)2 2 2 ,整理得 bc ? b ? c ? 3 2bc

联立方程

b?c ?3

解得

?b ? 2 ? ?c ? 1

或?

?b ? 1 。 ?c ? 2

所以 S ?ABC ?

1 1 3 bc sin A ? S?ABC ? bc sin A ? . 2 2 2

考点:向量的数量积运算;三角函数特殊角;余弦定理;三角形面积公式. 20. (1)

c ? c2 ? ...... ? c2014 ? 32014 . an ? 2n ?1, bn ? 3n?1 ; (2) 1

试题解析: (1)? a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,

?(1 ? 4d )2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ), 解得 d ? 2 (? d ? 0) ? an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1. 又?b2 ? a2 ? 3, a5 ? b3 ? 9
所以,等比数列 {bn } 的公比 q ?

b3 ? 3. ? bn ? b2 q n?2 ? 3n?1 b2
? 当 n ? 2 时,

(2)?

c c1 c2 ? ? ...... ? n ? an ?1 b1 b2 bn

c c1 c2 ? ? ...... ? n?1 ? an b1 b2 bn?1

两式相减,得

cn ? an ?1 ? an ? 2 (n ? 2) bn

?cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ? 2)

当 n ? 1 时,

n ?1 ?3, c1 ? a2 , ? c1 ? 3 不满足上式 故 cn ? ? . n ?1 b1 n?2 ?2 ? 3

? c1 ? c2 ? ...... ? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ...... ? 2 ? 32013 ? 3 ?
21. (1)12;(2)18 【解析】 试题解析: (1)设建成 n 个球场,则每平方米的购地费用为 由题意知 n ? 5, f (n) ? 400,则 f (5) ? a(1 ? 所以 f ( n) ? 400 (1 ?

6 ? 6 ? 32013 ? 3 ? 3 ? 32014 ? 32014 1? 3

288? 104 2880 ? , 1000n n

5?5 ) ? 400 ,所以 a ? 400 . 20

n?5 ) ? 20 n ? 300 ,从而每平方米的综合费用为 20 2880 144 y ? f ( n) ? ? 20(n ? ) ? 300 ? 20 ? 2 144 ? 300 ? 780 (元). n n 当且仅当 n =12 时等号成立.所以当建成 12 座球场时,每平方米的综合费用最省.
分 (2)由题意得 20 (n ?

8

144 ) ? 300 ? 820 ,即 n2 ? 26n ? 144 ? 0 , n
12 分

解得: 8 ? n ? 18 .所以最多建 18 个网球场. 22. (1) 【解析】 试题解析:解:(1) a 2 ? (2)由 a n ?1 ?

1 1 2 , ;(2) a n ? n ;(3)? ?2 ? ? ? 3 . 3 ?1 4 13
1 1 , a3 ? 4 13
2分

an a ?3 1 3 得 ? n ? 1? a n ? 3 an?1 an an
4分



1 a n ?1

?

1 1 1 ? 3( ? ) 2 an 2



1 1 3 ? ? a1 2 2

所以 ?

? 1 1? 3 ? ? 是以 为首项,3 为公比的等比数列. 2 ? an 2 ?
1 1 3 n?1 3n ? ? ?3 ? an 2 2 2
n

6分

所以

2 3 ?1 n (3) bn ? n ?1 2
即 an ?

8分 9分

Tn ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 0 2 2 2 2 2

Tn 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n 2 2 2 2 2
两式相减得

Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 2
11 分

Tn ? 4 ?

n?2 2 n ?1 2

? ( ?1) n ? ? 4 ?

2 n ?1 2

若 n 为偶数,则 ? ? 4 ?

?? ? 3 2 n ?1 2 若 n 为奇数,则 ? ? ? 4 ? n ?1 ? ?? ? 2 ? ? ? ?2 2 ? ?2 ? ? ? 3 14 分
考点:1.等比数列的性质和前 n 项和;2.错位相减;3 不等式恒成立问题.

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