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第八周第4课时九下第一章1-2从梯子的倾斜程度谈起(2)教案郭店中学 张秀荣


课题: 从梯子的倾斜程度谈起(2)
主备人:郭店中学 【课标与教材分析】 : 课标:利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数。 教材分析:教材是通过实验的方法,让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角 边之间确实也存在着一定的关系,从而,探索出直角三角形中,一个锐角的直角 边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的。 【学情分析】 : 1、学生已经知道的:学习过有关正切的

知识,两直角边之间的关系。 2、 学生想知道的: 直角三角形中斜边与直角边之间是否也存在着一定的关系呢? 3、学生需要教师指导解决什么:引导学生自己观察、分析,发现直角三角形中 边、角之间的关系,鼓励每一位学生亲自试验,要注意克服想当然的习惯。 【教学目标】 : 知识技能目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正弦和余弦的意 义. 2.能够运用 sinA、cosA 表示直角三角形两边的比. 数学思考目标:1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力,能有条理地、清晰 地阐述自己的观点. 2.体会数形结合的思想,并利用它分析、解决问题,提高解决问题的能力. 问题解决目标:能够用正弦、余弦进行简单的计算. 情感态度目标:1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 【教学重点】 :理解正弦、余弦的数学意义,密切数学与生活的联系. 【教学难点】 :理解正弦、余弦的数学意义,并用它来表示两边的比. 【创新支点】 :在学习的过程中,而要鼓励学生开展讨论,把问题“当 Rt△ABC 中 的一个锐角 A 确定时,其它边之间的比值也确定吗?”抛给学生,让学生进行充分 的讨论和说理。 【教学评价】 :教师评价、生生评价、测试评价 【教学方法】 : 教法:探索——交流法. 郑之波 复备人:张秀荣

学法:自主探索,小组合作交流。 【教学媒体】 :PPT 【教学过程】 :一.创设情景,导入新课 我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度, 并且得出了当倾斜角确定时,其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与 倾斜角有关,与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边 与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题: [问题 1]当直角三角形中的锐角确定之后,其他边之间的比也确定吗? [问题 2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有,是怎样的关系? 活动目的:让学生思考直角三角形的边角关系,通过同类问题的多种分析,课题 引入。 二.学生探究、讲授新课 1.正弦、余弦及三角函数的定义 多媒体演示如下内容: 想一想:如图 (1)直角三角形 AB1C1 和直角三角形 AB2C2 有 什么关系?
A2 C 2 A1C1 和 BA2 有什么 (2) BA1 BC1 BC 2 和 BA1 BA2 呢? 关系?

(3)如果改变 A2 在梯子 A1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论? (4)如果改变梯子 A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 活动目的:让学生积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲。形成实事求 是的态度以及独立思考的习惯。 请同学们讨论后回答. (用多媒体演示)

在 Rt△ABC 中,如果锐角 A 确定,那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比 也随之确定.如图,∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine),记作 sinA,即

?A的对边 sinA= 斜边

∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine),记作 cosA,即
?A的邻边 cosA= 斜边

锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction). 你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA 都是之 A 的三 角函数”呢? 活动目的:经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正弦、余弦的意义 2.梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系 我们上一节知道了梯子的倾斜程度与 tanA 有关系:tanA 的值越大,梯子越陡. 由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和 sinA、cosA 有关系呢?如果有关系,是怎 样的关系? 如图所示,AB=A1B1,
19

BC 在 Rt△ABC 中,sinA= AB ,在
B1C Rt△A1B1C 中,sinA1= A1 B1 . B1C BC ∵ AB < A1 B1 ,

即 sinA<sinA1,而梯子 A1B1 比梯子 AB 陡, 所以梯子的倾斜程度与 sinA 有关系.sinA 的值越大, 梯子越陡.正弦值也能反 映梯子的倾斜程度.
A1C AC 同样道理 cosA= AB cosA1= A1 B1 , A1C AC AB > A1 B1 即 cosA>cosA1,

∵AB=A1B1

所以梯子的倾斜程度与 cosA 也有关系.cosA 的值越小,梯子越陡. 活动目的:从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度。 3.例题讲解 [例 1]如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AC= 200.sinA=0.6,求 BC 的长. . 思考:(1)cosA=? (2)sinC=? cosC=?

(3)由上面计算,你能猜想出什么结论? [例 2]做一做:
12 如图, Rt△ABC 中,∠C=90°, 在 cosA= 13 ,AC=10, 等于多少?sinB 呢?cosB、 AB

sinA 呢?你还能得出类似例 1 的结论吗?请用一般式表达.

活动目的:让学生运用新知识能解决与直角三角形有关的实际问题,并将进一步 感受数形结合的思想,体会数形结合的方法。 三.拓展延伸、拔高升华 多媒体演示 1.在等腰三角形 ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求 sinB,cosB,tanB.

4 2.在△ABC 中,∠C=90°,sinA= 5 ,BC=20,求△ABC 的周长和面积.

1 3.在△ABC 中.∠C=90°,若 tanA= 2 ,

则 sinA=

.

活动目的:能运用新知识解决与直角三角形有关的问题,并能够用正弦和余 弦进行简单的计算。 当堂测试
1.在△ABC 中,∠C=90°,a、b 分别是∠A、∠B 所对的两条直角边,c 是斜边,则有 ( )

A.sinA=

c a

B.cosB=

b c

C.tanA=

a b

D.cosB=

b a

2、在 △ABC 中, ?C ? 90? , AB =15,sin A = A.45 B.5 C.

1 5

1 ,则 BC 等于( 3 1 D. 45



3.把 Rt△ABC 的三边都扩大十倍,关于锐角 A 的正弦值:甲同学说扩大十倍;乙同学 说不变;丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.都不正确 4.如图 1,两条宽度均为 40 m 的公路相交成α 角,那么这两条公路在相交处的公共部分 (图中阴影部分)的路面面积是 ( )

?

图1

A.

1600 2 (m ) sin ?

B.

1600 2 (m ) cos?

C.1600sinα (m2) 二、填空题 5.在△ABC 中.∠C=90°,若 tanA=

D.1600cosα (m2)

1 ,则 sinA= 2
C

.

A

D

B

6、如图, ∠C=90°CD⊥AB. SinB=(

)=(

)=(

)

三、解答题 7.在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求 sinB,cosB.
A

B

D

C

(选做题)8、如图 4,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 是 BC 边上一点,AC=2,CD=1,设∠ CAD=α . (1)求 sinα 、cosα 、tanα 的值; (2)若∠B=∠CAD,求 BD 的长.

A ??

B

D

C

图4

【板书设计】 :1.正弦、余弦及三角函数的定义

2.梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系 3、做一做


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